Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Aplikasyon Entegral nan Kalkile Sifas yon Plan Plat
Nan ansèyman matematik, yo souvan rankontre entegral nan kalkil. Youn nan aplikasyon entegral ki pi byen koni se kalkile sifas ki anba yon koub oswa yon plan. Atik sa a pral diskite plizyè pwoblèm egzanp epi diskite sou aplikasyon entegral pou kalkile sifas yon plan.
Entwodiksyon nan Teyori
Anvan nou kontinye ak pwoblèm egzanp lan, an nou revize konsèp debaz pou kalkile sifas anba yon koub lè l sèvi avèk entegral. Si nou gen yon fonksyon f(x) ki kontinyèl sou entèval [a, b] la, alò sifas anba koub y = f(x) la soti nan x = a rive nan x = b se:
L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Jewometrikman, sa vle di nou ap adisyone sifas yon rektang trè mens soti nan x = a pou rive nan x = b.
Egzanp Kesyon 1
Kesyon
Kalkile sifas ki anba koub y = x² nan entèval [1, 3] la.
Pembahasan
Pou kalkile sifas la, nou itilize entegral la:
L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Nou kòmanse pa jwenn antiderivatif \( x^2 \). Antiderivatif \( x^2 \) a se \( \frac{x^3}{3} \). Lè sa a, entegral la vin tounen:
\[ L = \goch [ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Sonje byen nou dwe evalye antiderivatif la sou limit entegral la:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
L = 9 – \frac{1}{3}
L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3}
\[ L = \frak{26}{3} \]
Kidonk, sifas ki anba koub y = x² a soti nan x = 1 pou rive nan x = 3 se:
\[ \frac{26}{3} \, \text{inite sifas} \]
Egzanp Kesyon 2
Kesyon
Detèmine sifas rejyon ki limite pa koub y = x³ ak liy x = 1 ak x = 2 yo.
Pembahasan
Pou kalkile sifas la, nou itilize entegral la:
L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Jan nou abitye fè a, nou kòmanse pa jwenn antiderivatif \( x^3 \). Antiderivatif \( x^3 \) a se \( \frac{x^4}{4} \). Entegral la vin tounen:
\[ L = \goch [ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Evalye limit entegral la:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
L = 4 – \frac{1}{4}
L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4}
\[ L = \frak{15}{4} \]
Kidonk, sifas ki anba koub y = x³ a soti nan x = 1 pou rive nan x = 2 se:
\[ \frac{15}{4} \, \text{inite sifas} \]
Egzanp Kesyon 3
Kesyon
Detèmine sifas rejyon ki limite pa koub y = x² + 1 ak y = 2x + 2 nan entèval x = 0 pou rive x = 1.
Pembahasan
Premyèman, nou bezwen jwenn pwen entèseksyon yo pou detèmine limit entegrasyon an. Solisyon pou \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Lè w ap itilize fòmil kwadratik la:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Sepandan, pou limit siperyè ak enferyè ant 0 ak 1, nou pa bezwen itilize solisyon kwadratik la, jis limit entegral òdinè a soti nan 0 rive nan 1. Apre sa, kalkile sifas koub y anwo a mwens koub y anba a dapre limit sa yo:
L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)], dx
Senplifikasyon fonksyon:
L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Apre sa, nou jwenn antiderivatif la:
Antiderivatif \( (-x^2) \) a se \( -\frac{x^3}{3} \),
Antiderivatif \( (2x) \) a se \( x^2 \),
Antiderivatif \( (1) \) a se \( x \).
Se konsa, sa,
L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Pwochen evalyasyon an:
L = [-frac{1^3}{3} + 1^2 + 1] – [-frac{0^3}{3} + 0^2 + 0]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
L = -\frac{1}{3} + 2
L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3}
\[ L = \frak{5}{3} \]
Kidonk, sifas rejyon ki limite pa koub y = x² + 1 ak y = 2x + 2 sou entèval [0, 1] la se:
\[ \frac{5}{3} \, \text{inite sifas} \]
-
Apati egzanp ki anwo yo, nou ka wè kijan entegral yo ka itilize pou kalkile sifas ki anba yon koub oswa ant de koub. Avèk yon bon konpreyansyon sou konsèp debaz entegral yo ak teknik antiderivatif yo, kalkile sifas sa yo vin trè sistematik e efikas. Espere ke atik sa a ogmante konpreyansyon nou sou aplikasyon entegral yo nan mond reyèl la, patikilyèman nan domèn mezi sifas sifas plan yo.
