Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Dekwasans Eksponansyèl
Dekwasans eksponansyèl se yon fenomèn natirèl yo jwenn nan plizyè disiplin tankou fizik, chimi, byoloji ak ekonomi. Kòm yon modèl matematik, dekwasans eksponansyèl dekri pwosesis kote yon kantite diminye pwopòsyonèlman ak kantite aktyèl li. Nan matematik, dekwasans eksponansyèl swiv fòm jeneral sa a:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Ki kote:
– \( N(t) \) se kantite ki rete nan moman \( t \),
– \( N_0 \) se nimewo inisyal la,
– \( \lambda \) se konstan dekonpozisyon an (souvan yo rele li vitès dekonpozisyon an),
– \(t \) se tan,
– \(e \) se baz logaritm natirèl la (anviwon 2.718).
Nan atik sa a, nou pral diskite sou kèk egzanp pwoblèm dekwasans eksponansyèl ansanm ak eksplikasyon yo pou ede nou konprann konsèp sa a pi pwofondman.
Egzanp Kesyon 1: Dezentegrasyon Radyoaktif
Kesyon:
Yon sibstans radyoaktif gen yon demi-vi 5 an. Si te gen 100 gram sibstans lan okòmansman, konbyen ki t ap rete apre 15 an?
Diskisyon:
Yo ka modle dezentegrasyon radyoaktif la lè l sèvi avèk fòmil dezentegrasyon eksponansyèl la. Mwatye lavi a (\( t_{1/2} \)) se tan ki nesesè pou mwatye kantite materyèl radyoaktif la dezentegre. Li konnen ke \( t_{1/2} = 5 \) ane.
Premyèman, nou bezwen jwenn konstan dekonpozisyon an \( \lambda \) avèk fòmil sa a:
\[ \lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \anviwon 0.1386 \text{ ane}^{-1} \]
Kidonk, fòmil dekwasans eksponansyèl la se:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \fwa 15} \]
Kounye a, nou kalkile valè a:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 \ fwa 0.125 \]
\[ N(t) \anviwon 12.5 \text{ gram} \]
Kidonk, apre 15 ane, rete anviwon 12.5 gram materyèl radyo-aktif.
Egzanp 2: Dezentegrasyon Kondansateur
Kesyon:
Yon kondansateur ki gen yon chaj inisyal \( Q_0 = 200 \text{ C} \) ka dechaje nan yon sikwi. Konstan tan an se \( \tau = 4 \text{ s} \). Konbyen chaj ki rete apre 10 segonn?
Diskisyon:
Nan ka deklinasyon chaj kondansateur, modèl eksponansyèl yo itilize a se:
Q(t) = Q_0 e^{-t/τ}
Etandone \( Q_0 = 200 \text{ C} \) ak \( \tau = 4 \text{ s} \). Nou bezwen jwenn \( Q(10) \):
Q(10) = 200 e^{-10/4}
Q(10) = 200 e^{-2.5}
Kalkile valè eksponansyèl yo:
Q(10) = 200 × 0.0821
\[ Q(10) \anviwon 16.42 \tèks{ C} \]
Kidonk, apre 10 segonn, chaj ki rete sou kondansateur a se anviwon 16.42 C.
Egzanp Kesyon 3: Dezentegrasyon Chimik
Kesyon:
Yon pwodui chimik gen yon konstan dezentegrasyon \( \lambda = 0.05 \text{ jou}^{-1} \). Konbyen tan li pral pran pou pwodui chimik la diminye a 25% nan kantite orijinal li?
Diskisyon:
Nou kòmanse avèk fòmil jeneral pou dekwasans eksponansyèl:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Nou vle pou N(t) a egal a 25% de \( N_0 \), konsa:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
Elimine \( N_0 \) nan tou de bò yo:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
Itilizasyon logaritm natirèl pou rezoud ka eksponansyèl:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
Rezoud pou \(t \):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \anviwon 27.726 \text{ jou} \]
Kidonk, tan ki nesesè pou pwodui chimik la diminye a 25% nan kantite inisyal li se apeprè 27.726 jou.
Egzanp Kesyon 4: Dekonpozisyon Popilasyon Bakteri
Kesyon:
Yon popilasyon bakteri diminye nan yon vitès eksponansyèl, konsa apre 3 èdtan, popilasyon an se mwatye kantite inisyal li. Si popilasyon inisyal la te 8000 bakteri, konbyen bakteri ki rete apre 9 èdtan?
Diskisyon:
Li konnen ke mwatye lavi a se \( t_{1/2} = 3 \) èdtan. Premyèman, nou jwenn konstan dezentegrasyon an \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \anviwon 0.231 \text{ èdtan}^{-1} \]
Apre sa, nou itilize fòmil dekwasans eksponansyèl la:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
N(9) = 8000 e^{-0.231 \fwa 9}
Kalkile valè eksponansyèl yo:
N(9) = 8000 e^{-2.079}
\[ N(9) = 8000 \fwa 0.125 \]
\[ N(9) \anviwon 1000 \]
Kidonk, apre 9 èdtan, ap rete anviwon 1000 bakteri.
Konklizyon
Modèl dekonpozisyon eksponansyèl la bay yon apwòch efikas pou rezoud pwoblèm ki gen rapò ak pwosesis dekonpozisyon nan yon varyete aplikasyon syantifik ak enjenyè. Lè nou konprann konsèp debaz tankou konstan dekonpozisyon, mwatye lavi, ak itilizasyon fòmil eksponansyèl, nou ka kalkile chanjman nan yon kantite sou tan avèk yon fasilite relatif. Pwoblèm pratik ki diskite pi wo yo ta dwe ede nou konprann epi aplike konsèp dekonpozisyon eksponansyèl la nan sitiyasyon ki pi konplèks.
