Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Sèk ak Tanjant
Sèk ak tanjant se de sijè yo diskite souvan nan matematik, sitou nan nivo lekòl segondè. Konprann konsèp ak aplikasyon tanjant nan sèk enpòtan anpil pou apwofondi konesans ou nan jeyometri. Atik sa a pral bay egzanp pwoblèm ak diskisyon sou sèk ak tanjant pou bay lektè yo yon konpreyansyon pi pwofon.
Entwodiksyon nan Teyori Sèk ak Tanjant yo
Lingkaran
Yon sèk se yon ansanm pwen nan yon plan ki ekidistan ak yon pwen fiks yo rele sant sèk la. Distans fiks sa a rele reyon sèk la. Matematikman, yon sèk ka defini pa ekwasyon sa a:
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
kote \((a, b)\) se kowòdone sant sèk la epi \(r\) se reyon an.
Tanjant
Yon tanjant ak yon sèk se yon liy ki touche sèk la nan yon sèl pwen. Pwen sa a rele pwen tanjans lan. Karakteristik prensipal yon tanjant se ke li pèpandikilè ak reyon ki trase soti nan sant sèk la rive nan pwen tanjans lan.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Kesyon 1: Detèmine ekwasyon liy tanjant lan
Kesyon:
Etandone yon sèk ki gen sant li nan \( (2, 3) \) ak reyon 5. Detèmine ekwasyon liy tanjant sèk la nan pwen \( P \) ak kowòdone \( (5, 7) \).
Diskisyon:
Etap 1: Asire w ke pwen \(P\) a vrèman sou sèk la.
Pou verifye si \( P (5, 7) \) sou yon sèk ki gen sant \( (2, 3) \) ak reyon \( 5 \), ranplase kowòdone \( P \) yo nan ekwasyon sèk la:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Piske egalite a vre, pwen \(P\) a sitiye sou sèk la.
Etap 2: Detèmine gradyan reyon ki pase nan \( (2, 3) \) ak \( (5, 7) \):
\[ m_{reyon} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Etap 3: Gradyan tanjant pèpandikilè ak gradyan reyon an (gradyan pwodwi a se -1):
\[ m_{tanjant} = -\frac{1}{m_{reyon}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Etap 4: Detèmine ekwasyon liy tanjant lan lè w sèvi ak pwen \( P (5, 7) \):
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Senplifye:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Kidonk, ekwasyon liy tanjant lan se:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Kesyon 2: Detèmine Pwen Tanjans lan apati Ekwasyon Liy lan
Kesyon:
Etandone yon sèk ak ekwasyon \(x^2 + y^2 = 25\) ak yon dwat \(y = \frac{3}{4}x + 2\). Detèmine pwen tanjyans ant dwat la ak sèk la.
Diskisyon:
Etap 1: Ranplase ekwasyon liy lan nan ekwasyon sèk la:
Ekwasyon yon sèk:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Ranplase \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) nan ekwasyon sèk la:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Etap 2: Senplifye ekwasyon an:
16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Etap 3: Jwenn rasin yo lè l sèvi avèk fòmil kwadratik la:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Chwazi yon \( x \) ki valab ki baze sou pwen tanjyans lan (yon sèl \( x \) ap pwodui yon pwen tanjyans):
\[ x = \frac{141.501}{50} \anviwon 2.83 \]
\[ x \anviwon 2.83 \]
Etap 4: Ranplase \( x \) nan ekwasyon liy lan pou jwenn \( y \):
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \anviwon 2.12 + 2 \]
\[y \anviwon 4.12 \]
Kidonk, pwen tanjyans ant liy lan \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) ak sèk la \( x^2 + y^2 = 25 \) se \( (2.83, 4.12) \).
Konklizyon
Metrize konsèp sèk ak tanjant yo mande pou konprann fondamantal jeyometri yo ak kapasite pou rezoud pwoblèm lè l sèvi avèk ekwasyon matematik. Pwoblèm tankou sa yo ki anwo yo ede elèv yo pratike aplike teyori nan sitiyasyon ki pi konkrè. Avèk pratik konsistan, elèv yo dwe konprann epi rezoud pwoblèm pi fasil.
