Egzanp yon kesyon diskisyon sou koyefisyan detèminasyon an
Koyefisyan detèminasyon an (R²) se yon paramèt enpòtan nan analiz regresyon, ki endike kijan yon modèl regresyon byen eksplike varyabilite reyèl done yo. Nan atik sa a, nou pral eksplike konsèp koyefisyan detèminasyon an atravè yon egzanp detaye ak yon diskisyon.
Konsèp debaz koyefisyan detèminasyon an
Yo mezire koyefisyan detèminasyon an oubyen \(R^2\) sou yon echèl de 0 a 1, kote:
– \(R^2 = 0 \) endike ke modèl regresyon an pa kapab eksplike varyabilite done yo ditou.
– \(R^2 = 1 \) montre ke modèl regresyon an kapab eksplike tout varyabilite done yo parfe.
Fòmil debaz pou kalkile koyefisyan detèminasyon an se:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Ki kote:
SSR (Sòm Rezidyèl Kare) se sòm kare diferans ki genyen ant valè modèl la te predi yo ak valè reyèl yo.
– SST (Sòm Total Kare) se total sòm kare diferans ki genyen ant valè reyèl la ak mwayèn valè reyèl yo.
Egzanp pwoblèm
Ann diskite sou yon pwoblèm egzanp pou nou konprann kalkil koyefisyan detèminasyon an pi pwofondman.
Egzanp pwoblèm:
Sipoze nou gen done sou kantite èdtan etid (X) ak nòt egzamen (Y) 10 elèv yo:
| Elèv | Lè Etid (X) | Nòt Egzamen (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Nou pral kreye yon modèl regresyon lineyè senp kote nòt egzamen yo (Y) yo predi dapre kantite èdtan etid yo (X).
Pembahasan
1. Konstwi yon Modèl Regresyon Lineyè Senp
Yon modèl regresyon lineyè senp gen fòm sa a:
\[ Y = a + bX \]
Ki kote:
– \(Y \) se nòt tès prevwa a.
– \( X \) se kantite èdtan etid la.
– \(a \) se entèsepsyon an (pwen entèseksyon sou aks Y a lè X = 0).
– \(b \) se pant lan (enklinasyon liy regresyon an).
Pou kalkile paramèt \(a\) ak \(b\) yo, nou itilize fòmil sa a:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Kote \(n \) se kantite done yo (nan ka sa a n = 10).
Apati tablo a nou ka kalkile:
– \(\sòm{X} = 36\)
– \(\sòm{Y} = 704\)
– \(\sòm{X^2} = 140\)
– \(\sòm{Y^2} = 50428\)
– \(\sòm{XY} = 2576\)
Ann kalkile b anvan:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frak{416}{104} \]
\[b = 4\]
Apre sa, nou kalkile yon:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Kidonk, modèl regresyon lineyè nou jwenn nan se:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Kalkile Valè Prevwa a (Y')
Apre sa, nou kalkile valè prevwa a \( Y' \) pou chak \( X \):
| Elèv | Lè Etid (X) | Nòt Egzamen (Y) | Nòt Prevwa (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. Kalkile SSR ak SST
Apre sa, nou kalkile SSR ak SST pou nou jwenn \(R^2\).
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Ki kote:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ Presyon SST = 1107.44 \]
4. Kalkile Koyefisyan Detèminasyon an \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Konklizyon
Apati kalkil ki anwo a, nou jwenn yon koyefisyan detèminasyon (R2 = 0.59). Sa endike ke modèl regresyon lineyè nou te kreye a ka eksplike apeprè 59% nan varyabilite nan nòt egzamen yo ki baze sou kantite èdtan etid yo. 41% varyabilite ki rete a ta ka akòz lòt faktè ki pa enkli nan modèl la.
Lè nou konprann etap ak kalkil ki anwo yo, nou ka wè enpòtans koyefisyan detèminasyon an nan evalye kijan modèl regresyon nou bati a byen eksplike varyabilite reyèl done yo. Li se yon zouti ki trè itil nan analiz estatistik ak modèl done.
