Egzanp Kesyon ki Diskite Fonksyon Distribisyon Binòm lan
Distribisyon binomyal la se yon distribisyon pwobabilite diskrè ki dekri kantite siksè nan yon eksperyans ki gen ladan yon kantite esè endepandan ak de rezilta posib: siksè ak echèk. Chak esè yo rele yon esè, epi distribisyon binomyal la souvan itilize nan sitiyasyon kote kantite siksè atravè yon kantite esè endepandan enteresan. Nan atik sa a, nou pral diskite sou konsèp debaz distribisyon binomyal la epi bay egzanp ak solisyon.
Konsèp debaz fonksyon distribisyon binomyal la
Anvan nou antre nan kesyon egzanp yo ak diskisyon an, ann diskite sou kèk konsèp debaz ki gen rapò ak distribisyon binomyal la.
1. Definisyon: Distribisyon binomyal la defini kòm sòm siksè nan 'n' esè endepandan, kote chak esè gen de rezilta posib: siksè (ak pwobabilite p) oswa echèk (ak pwobabilite q = 1 – p).
2. Fonksyon Pwobabilite: Fonksyon pwobabilite distribisyon binomyal la se:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Ki kote:
– \( P(X = k) \) se pwobabilite pou gen k siksè nan n esè.
– \( \binom{n}{k} \) se yon konbinezon de n pran k, ki defini kòm \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p\) se pwobabilite pou reyisi nan chak esè.
– \( (1-p) \) se pwobabilite pou echèk nan chak esè.
3. Valè espere ak varyans:
– Valè espere (mwayèn) distribisyon binomyal la se \( \mu = np \).
– Varyans distribisyon binomyal la se \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Kounye a, ann aplike konsèp sa yo nan yon pwoblèm egzanp pou nou ka pi byen konprann li.
Egzanp Kesyon 1: Kalkil debaz distribisyon binomyal la
Kesyon:
Yon konpayi pwodui konpozan elektwonik avèk yon pwobabilite 0.95 pou chak konpozan pase yon tès kalite. Si yo pwodui 10 konpozan, kalkile pwobabilite pou egzakteman 8 konpozan pase tès kalite a.
Diskisyon:
Nou ka itilize fòmil distribisyon binomyal la pou rezoud pwoblèm sa a. Premyèman, nou idantifye paramèt sa yo:
– \(n \) (kantite total esè) = 10
– \(k \) (kantite siksè) = 8
– \(p \) (pwobabilite pou reyisi) = 0.95
– \(q \) (pwobabilite pou echèk) = 1 – 0.95 = 0.05
Apre sa, ranplase valè sa yo nan fòmil distribisyon binomyal la:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Premyèman, kalkile konbinezon \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Apre sa, kalkile pwobabilite yo \( (0.95)^8 \) ak \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \anviwon 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Finalman, miltipliye tout valè sa yo pou jwenn:
\[
P(X = 8) = 45 \times 0.6634 \times 0.0025 \apeprè 0.0744
\]
Kidonk, pwobabilite pou egzakteman 8 sou 10 konpozan pase tès kalite a se anviwon 0.0744 oswa 7.44%.
Egzanp Kesyon 2: Pwobabilite Kimilatif
Kesyon:
Toujou avèk menm konpayi an, kalkile pwobabilite pou omwen 9 sou 10 konpozan pase tès kalite a.
Diskisyon:
Pou rezoud pwoblèm sa a, nou bezwen kalkile pwobabilite kimilatif la. Pwobabilite pou omwen 9 sou 10 konpozan reyisi tès la vle di nou kalkile \( P(X \geq 9) \), ki ka ekri kòm:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Lè w sèvi ak fòmil distribisyon binomyal la:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Premyèman, kalkile konbinezon an pou chak ka:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Apre sa, kalkile pwobabilite yo pou \( P(X = 9) \) ak \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \anviwon 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \times 0.6302 \times 0.05 \apeprè 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \anviwon 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Pwobabilite total pou \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≤ 0.9138
\]
Kidonk, pwobabilite pou omwen 9 sou 10 konpozan pase tès kalite a se anviwon 0.9138 oswa 91.38%.
Egzanp Kesyon 3: Valè espere ak Varyans
Kesyon:
Kalkile valè espere ak varyans kantite konpozan ki pase tès kalite a sou 10 konpozan ki pwodui, avèk yon pwobabilite pou pase 0.95.
Diskisyon:
Sèvi ak fòmil sa a:
– Valè espere (mwayèn) \( \mu = np \)
– Varyans \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Avèk \(n = 10\) ak \(p = 0.95\):
\[
\mu = 10 \ fwa 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Kidonk, valè espere kantite konpozan ki pase tès kalite a se 9.5, epi varyans lan se 0.475.
Konklizyon
Atravè twa pwoblèm egzanp ki anwo yo, nou te diskite kijan pou kalkile pwobabilite lè l sèvi avèk distribisyon binomyal la pou divès sitiyasyon: kalkile pwobabilite egzak, pwobabilite kimilatif, epi kalkile valè espere ak varyans. Konnen distribisyon binomyal la itil nan divès domèn, tankou fabrikasyon, rechèch medikal, ak estatistik sosyal, kote rezilta eksperyans repete ak de rezilta posib yo ka analize pou ede pran desizyon. Espere ke pwoblèm egzanp ak diskisyon yo bay yo ap ede w pi byen konprann distribisyon binomyal la.
