Egzanp Kesyon ki Diskite Seri Jewometrik Enfini
Yon seri jewometrik enfini se yon seri ki gen ladan yon kantite tèm enfini nan yon pwogresyon jewometrik. Seri sa yo gen egzijans espesifik pou sòm yo (oswa limit yo) ka kalkilab. Nan atik sa a, nou pral diskite sou konsèp debaz seri jewometrik enfini an, egzijans pou konstwi yo, ak plizyè pwoblèm egzanp ak solisyon yo.
Konsèp debaz seri jewometrik enfini an
Esansyèlman, yon seri jewometrik se yon sekans nimewo kote chak tèm apre premye a jwenn lè yo miltipliye tèm anvan an pa yon konstan yo rele rapò komen (r). Sipoze nou gen yon seri jewometrik:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Pou yon seri jewometrik enfini, nou konsidere sòm tout tèm ki nan seri a. Sòm seri sa a defini kòm:
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots
Sòm yon seri jewometrik enfini konvèje (gen yon valè definitif) si e sèlman si valè rapò a \( |r| < 1 \). Si \( |r| \geq 1 \), alò seri a divèje epi li pa gen yon sòm definitif (li ale nan enfini). Si \( |r| < 1 \), sòm S yon seri jewometrik enfini ka defini kòm: \[ S = \frac{a}{1-r} \] kote: - \( S \) se sòm seri a, - \( a \) se premye tèm nan, - \( r \) se rapò komen an. Egzanp Kesyon ak Diskisyon Kesyon Egzanp 1 Kesyon: Jwenn sòm seri jewometrik enfini an pou seri sa a: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Diskisyon: Ann idantifye eleman enpòtan nan seri a: Premye tèm nan \( a = 3 \) Rapò a \( r \) ka jwenn lè w divize dezyèm tèm nan pa premye tèm nan, sa vle di: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Piske \( |r| = 0.5 < 1 \), seri sa a konvèje epi nou ka kalkile sòm seri enfini an. Sèvi ak fòmil la pou sòm yon seri jewometrik enfini: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Kidonk, sòm seri jewometrik enfini an se 6. Kesyon Egzanp 2 Kesyon: Jwenn sòm yon seri jewometrik enfini ak premye tèm nan 8 ak rapò a \( r = -\frac{1}{3} \). Solisyon: Premye tèm \( a = 8 \) Rapò \( r = -\frac{1}{3} \) Piske \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), seri sa a konvèje epi nou ka kalkile sòm seri enfini an. Sèvi ak fòmil la pou sòm yon seri jewometrik enfini: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Kidonk, sòm seri jewometrik enfini an se 6. Kesyon Egzanp 3 Kesyon: Èske seri sa a gen yon sòm enfini? Si se wi, jwenn sòm nan. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Diskisyon: Premye tèm nan \( a = 5 \) Ou ka jwenn rapò \( r \) a lè w divize dezyèm tèm nan pa premye tèm nan, sa vle di: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Piske \( |r| = 0.5 < 1 \), seri sa a konvèje epi nou ka kalkile sòm seri enfini an. Sèvi ak fòmil la pou sòm yon seri jewometrik enfini: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Kidonk, sòm seri jewometrik enfini an se 10. Kesyon Egzanp 4 Kesyon: Detèmine si seri sa a konvèjan oswa divèjan: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Solisyon: Premye tèm nan \( a = 4 \) Ou ka jwenn rapò \( r \) a lè w divize dezyèm tèm nan pa premye tèm nan, sètadi: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Piske \( |r| = 1.5 > 1 \), seri sa a divèjan e li pa gen yon sòm definitif.
Kidonk, seri a divèjan.
Egzanp Kesyon 5
Kesyon: Ann sipoze ou gen seri enfini sa a:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Detèmine sòm seri a.
Diskisyon:
Premye tèm nan \( a = \frac{1}{2} \)
Ou ka jwenn rapò a \(r \) lè w divize dezyèm tèm nan pa premye tèm nan, sa vle di:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Piske \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), seri sa a konvèje epi nou ka kalkile sòm seri enfini an. Sèvi ak fòmil la pou sòm yon seri jewometrik enfini: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Kidonk, sòm seri jewometrik enfini an se 1. Konklizyon Yon seri jewometrik enfini se yon konsèp matematik enpòtan ki gen aplikasyon laj nan divès domèn. Pou detèmine sòm yon seri jewometrik enfini, nou dwe asire nou ke rapò \( |r| < 1 \) a. Kidonk, nou ka kalkile sòm seri a lè l sèvi avèk yon fòmil senp epi dirèk. Apati pwoblèm egzanp ki anwo yo, nou ka wè ke teknik sa a fè li trè fasil pou rezoud pwoblèm ki enplike seri jewometrik enfini.
