Egzanp Kesyon ki Diskite Sekans ak Seri
Sekans ak seri se konsèp fondamantal nan matematik, yo souvan rankontre depi lekòl primè rive nan inivèsite. Yon sekans se yon koleksyon nimewo ki ranje dapre yon règ espesifik, alòske yon seri se sòm tèm sekans sa a. Nan atik sa a, nou pral diskite plizyè pwoblèm egzanp epi diskite sou sekans ak seri.
Egzanp 1: Sekans Aritmetik
Kesyon:
Etandone yon sekans aritmetik ak premye tèm nan (a) = 3 ak diferans lan (d) = 5. Detèmine:
1. 10yèm tèm sekans lan.
2. Sòm 20 premye tèm sekans lan.
Diskisyon:
1. 10yèm tèm
Fòmil pou nyèm tèm nan yon sekans aritmetik se:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Pou 10yèm tèm nan (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Sòm 20 Premye Tèm yo
Fòmil pou sòm premye n tèm yo (S_n) nan yon sekans aritmetik se:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Pou sòm 20 premye tèm yo (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Egzanp 2: Seri Jewometrik
Kesyon:
Etandone yon sekans jewometrik ak premye tèm nan (a) = 4 ak rapò a (r) = 2. Detèmine:
1. 6yèm tèm sekans lan.
2. Sòm 8 premye tèm sekans lan.
Diskisyon:
1. 6yèm tèm
Fòmil pou nyèm tèm nan yon sekans jewometrik se:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
Pou 6yèm tèm nan (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Sòm 8 Premye Tèm yo
Fòmil pou sòm premye n tèm yo (S_n) nan yon sekans jewometrik se:
\[
S_n = yon \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Pou sòm 8 premye tèm yo (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Egzanp 3: Seri Enfini Jewometrik Konvèjan
Kesyon:
Etandone yon seri jewometrik ak premye tèm nan (a) = 1 ak rapò a (r) = 1/2. Detèmine sòm seri enfini an.
Diskisyon:
Fòmil pou sòm yon seri enfini (S_∞) nan yon seri jewometrik konvèjan se:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Kidonk pou seri sa a:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Egzanp 4: Sekans ak seri nonb kare
Kesyon:
Etandone yon sekans nonb kare ak premye tèm nan (U_1) = 1, dezyèm tèm nan (U_2) = 4, epi twazyèm tèm nan (U_3) = 9. Detèmine 5yèm tèm sekans lan. Èske sekans sa a se yon sekans aritmetik oswa jewometrik? Eksplike.
Diskisyon:
1. 5yèm tèm
Modèl yon sekans nimewo kare se:
\[
U_n = n^2
\]
Pou 5yèm tèm nan (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Kalite Liy
Pou verifye si sekans sa a se aritmetik oswa jewometrik, tcheke diferans ki genyen ant tèm yo (diferans komen an) ak rapò ki genyen ant tèm yo:
– Diferans ant tèm yo (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Piske diferans lan pa konstan, sekans sa a pa aritmetik.
– Rapò ant tribi yo (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Piske rapò ant tèm yo pa konstan, sekans sa a pa jewometrik.
Kidonk, sekans nimewo kare sa a pa ni yon sekans aritmetik ni yon sekans jewometrik, men pito yon sekans espesyal ki swiv modèl nimewo kare yo.
Egzanp 5: Seri Aritmetik Enfini
Kesyon:
Èske li posib pou kalkile sòm yon seri aritmetik enfini? Si se wi, bay yon egzanp. Si non, eksplike poukisa.
Diskisyon:
Kontrèman ak seri jewometrik yo, seri aritmetik enfini yo tipikman pa gen yon sòm fini. Sa a se paske chak tèm ogmante oswa diminye lineyèman, kidonk sòm nan kontinye grandi endefiniman.
Pa egzanp, ann konsidere yon seri aritmetik enfini ak premye tèm 1 ak diferans komen 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Si nou eseye adisyone yo, li vin klè ke seri a p ap konvèje nan yon valè fiks, men l ap pwoche bò enfini. Se poutèt sa, sòm yon seri aritmetik enfini, an jeneral, enfini epi li pa ka kalkile tankou yon seri jewometrik konvèjan.
-
Nan atik sa a, nou te kouvri plizyè pwoblèm egzanp epi nou te diskite sou sekans ak seri. Nou te revize sekans aritmetik ak jewometrik, nou te wè kijan pou kalkile nyèm tèm nan ak sòm premye tèm yo, epi nou te reponn kesyon sou seri enfini. Lè w konprann konsèp ak egzanp debaz sa yo, nou espere w ap santi w pi an konfyans lè w ap abòde sekans ak seri nan matematik.
