Trenutak inercije

1. Moment inercije čestice

Promotrite rotirajuću česticu. Čestici mase m dana je sila F tako da se čestica okreće oko osi O. Čestica je udaljena r od osi rotacije. Prvo, čestica miruje (v = 0). Nakon što se pokrene silom F, čestice se kreću određenom brzinom tako da čestice imaju tangencijalno ubrzanje. Odnos između sile (F), mase (m) i tangencijalnog ubrzanja čestica izražen je jednadžbom 3:

F = ma _tan (jednadžba 3)

Čestice se okreću tako da čestice imaju kutno ubrzanje. Odnos između tangencijalnog ubrzanja i kutnog ubrzanja izražen je jednadžbom 4:

tan = rα ₍ Jednadžba 4)

Zamijenite a u jednadžbi 3 s a u jednadžbi 4:

F = mr α

rF = ^mr²α

τ = (mr² ⁾ α (Jednadžba 5)

r F je moment sile, a mr ² je moment tromosti čestice. Jednadžba 5 navodi odnos između momenta sile, momenta tromosti i kutnog ubrzanja rotirajućih čestica. Jednadžba 5 je jednadžba drugog Newtonovog zakona za rotirajuće čestice.

Moment tromosti čestice je umnožak mase čestice (m) i kvadrata udaljenosti između čestica s osi rotacije (r2 ⁾.

I = mr² ⁽ Jednadžba 6)

I = moment tromosti čestice, m = masa čestice, r = udaljenost između čestice i osi rotacije. Jednadžba 6 koristi se za određivanje momenta tromosti čestice.

3.2 Primjeri problema momenta inercije čestice

Primjer problema 1.

Čestica mase 2 kg bila je vezana za uže duljine 0.5 metara, a zatim rotirana. Koliki je moment tromosti čestica pri rotaciji?

Rješenje:

Ja = Gospodin ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

I = 0.5 kg ^m²

Primjer problema 2.

Dvije čestice, svaka mase 2 kg i 4 kg, povezane su laganom žicom duljine 2 metra. Zanemarite masu žica. Odredite moment tromosti dviju čestica ako je:

a) Os rotacije nalazi se između dvije čestice

Rješenje:

_I = _m1r1 / ₂ + _m2r2^​​^​

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) Os rotacije je na udaljenosti od 0.5 metara od čestice mase 2 kg

_I = _m1r1 / ₂ + _m2r2^​​^​

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) Os rotacije je na udaljenosti od 0.5 metara od čestice mase 4 kg

_I = _m1r1 / ₂ + _m2r2^​​^​

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Na temelju rezultata gornjih izračuna, moment tromosti snažno je utjecan položajem osi rotacije. Iako su oblik i veličina isti jer je položaj osi rotacije drugačiji, moment tromosti je također drugačiji.

Čestice blizu osi rotacije imaju manji moment inercije, dok čestice koje su daleko od osi rotacije imaju veći moment inercije. Ako pretpostavimo da su dvije gornje čestice kruti objekti, tada se svaka čestica nalazi blizu osi rotacije.

ima manji moment inercije od momenta inercije čestice koja je dalje od osi rotacije.

3.3 Moment tromosti homogenog krutog tijela

Kruti objekti sastavljeni su od mnogo čestica. Moment tromosti krutog tijela je ukupan broj momenata tromosti svake čestice koja gradi objekt.

I = Σ ^mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Da bismo odredili moment tromosti krutog objekta, moramo promatrati objekt kada se rotira jer položaj osi rotacije utječe na moment tromosti objekta. Moment tromosti (I) svake čestice također ovisi o masi (m) čestice i kvadratu udaljenosti (r² ⁾ čestice od osi rotacije. Masa svih čestica koje grade objekt je masa objekta.

Problem je u tome što udaljenost svake čestice od osi rotacije varira.

Pregledajte smanjenje u formuli momenta tromosti tankog prstena s prstima R i masom M.

Ako se os rotacije nalazi u središtu prstena, sve čestice tankog prstena nalaze se u odnosu na os rotacije. Moment tromosti tankog prstena jednak je momentu tromosti svih čestica:

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Masa svih čestica = masa tankog prstena (M)

I = M (r1 _/ ² + r2 _/ ^{2 +} r3 _/ ² + ….. + _rn2 )

Svaka čestica tankog prstena je udaljena r od osi rotacije tako da je r1 ₌ r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Jednadžba momenta inercije tankog prstena:

I = MR ²

I = moment inercije tankog prstena, M = masa tankog prstena, R = polumjer tankog prstena.

Što ako os rotacije nije u središtu prstena? Ako os rotacije nije u središtu prstena, formula momenta tromosti tankog prstena ne može se izvesti korištenjem gornje metode,

jer je udaljenost svake čestice od osi rotacije različita. Izvođenje formule momenta tromosti za ovakav problem nije raspravljeno u ovoj temi.

Formula momenta inercije za neke krute objekte

3.4 Primjer problema momenta tromosti homogenog krutog tijela

Primjer problema 1:

Šipka cilindra AB ima masu od 3 kg kada se rotira kroz B,

moment tromosti je 27 kg m² ^. Koliki je moment tromosti ako

rotirano kroz C?

Rješenje:

Rješenje:

Formula momenta inercije za homogeni čvrsti štap (os rotacije je u središtu štapa):

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Formula momenta inercije homogenog punog štapa (os rotacije na rubu štapa):

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²