Kutni zamah

Kutni zamah

Količina rotacijskog gibanja, koja je identična masi (m) u linearnom gibanju, je moment tromosti (I). Količina rotacijskog gibanja, koja je identična brzini (v) u linearnom gibanju, je kutna brzina (ω). Dakle, rotirajući objekt ima kutni moment koji se može izračunati pomoću jednadžbe:

L = Iω

L = kutni moment (kg m² ^/ s), I = moment tromosti (kg m² ⁾ , ω = kutna brzina (rad/s)

Primjeri problema kutnog momenta

Primjer problema 1.

Čestica mase 0.5 grama giba se po kružnici konstantnom kutnom brzinom od 2 rad/s. Odredite kutni moment čestice ako je polumjer putanje čestice 10 cm.

Rješenje:

Moment inercije čestice:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻⁶ kg ^m²

Kutna brzina čestice:

ω = 2 rad/s

Kutni moment čestice:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg m² ^/ s

Zakon očuvanja kutnog momenta

Zakon o očuvanju kutnog momenta kaže da ako je rezultantni moment sile na kruto tijelo pri rotaciji jednak nuli, tada je kutni moment krutog tijela pri rotaciji uvijek konstantan. Zakon o očuvanju kutnog momenta može se matematički izvesti modificiranjem jednadžbe Newtonovog drugog zakona kutnog momenta. Evo jednadžbe Newtonovog drugog zakona o kutnom momentu:

Ako je rezultantni moment sile jednak nuli, tada se gornja jednadžba mijenja u:

I _t = konačni moment tromosti, I _o = početni moment tromosti, ω _t = konačna kutna brzina, ω _o = početna kutna brzina, L _t = konačni kutni moment, L _o = početni kutni moment.

Primjeri problema zakona očuvanja kutnog momenta

Primjer problema 1.

Homogeni čvrsti cilindrični disk u početku se okreće oko svoje osi brzinom od 4 rad/s. Masa i polumjer diska su 1 kg i 0.5 m. Ako se iznad ploče postavi prsten koji ima masu i polumjer od 0.2 kg i 0.1 m, a središte prstena je...

neposredno iznad središta diska, tada će se disk i prsten rotirati zajedno kutnom brzinom od…..

Rješenje:

Moment tromosti punog cilindra: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Moment tromosti prstena: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Početni kutni moment (L1 ₎ = Konačni kutni moment ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Konceptualna pitanja i odgovori

1. Što je kutni moment?
   Odgovor: Kutni moment je mjera količine rotacije objekta, uzimajući u obzir njegovu masu i oblik. To je rotacijski analog linearnog momenta.
2. Kako se matematički određuje kutni moment?
   Odgovor: Kutni moment (L) definiran je kao $L=r\times p$, Gdje $r$ je vektor položaja od osi rotacije do točke primjene, i $p$ je linearni moment.
3. Je li kutni moment skalarna ili vektorska veličina?
   Odgovor: Kutni moment je vektorska veličina.
4. Koja je jedinica za kutni moment u SI sustavu?
   Odgovor: Jedinica kutnog momenta u SI sustavu je kilogram-metar na kvadrat u sekundi (kg·m²/ S).
5. Kako se očuva kutni moment?
   Odgovor: U zatvorenom sustavu bez vanjskih momenta, ukupni kutni moment ostaje konstantan.
6. Što je princip očuvanja kutnog momenta?
   Odgovor: Princip kaže da ukupni kutni moment zatvorenog sustava ostaje konstantan osim ako na njega ne djeluje vanjski moment.
7. Kakav je odnos rotacije umjetničkog klizača i kutnog momenta?
   Odgovor: Kada umjetnički klizač privuče ruke i noge uz tijelo tijekom piruete, smanjuje svoj moment inercije, što uzrokuje bržu rotaciju. To pokazuje očuvanje kutnog momenta.
8. Kakav je odnos između momenta i kutnog momenta?
   Odgovor: Okretni moment ($\tau$) je brzina promjene kutnog momenta. Matematički, τ=dL/s​.
9. Je li moguće da objekt ima kutni moment bez kutne brzine?
   Odgovor: Ne, ako objekt ima kutni moment, ima i kutnu brzinu. Veličina i smjer kutnog momenta ovise i o momentu tromosti i o kutnoj brzini.
10. Kako moment inercije utječe na kutni moment?
    Odgovor: Kutni moment (L) je umnožak momenta tromosti (I) i kutne brzine (ω). SAD $L=I\omega$, povećanje momenta tromosti za danu kutnu brzinu povećat će kutni moment.
11. Koja je razlika između spinskog i orbitalnog kutnog momenta u kvantnoj mehanici?
    Odgovor: Kutni moment spinskog momenta je intrinzično svojstvo čestica, poput elektrona, i ne nastaje gibanjem u prostoru. Orbitalni kutni moment, s druge strane, nastaje gibanjem čestice oko središnje točke.
12. Kakvu ulogu igra kutni moment u formiranju planetarnih sustava?
    Odgovor: Kako se molekularni oblak urušava i formira zvijezde i planete, očuvanje kutnog momenta uzrokuje da se materijal spljošti u disk oko novorođene zvijezde, iz kojeg se mogu formirati planeti.
13. Kako žiroskop održava svoju orijentaciju u prostoru?
    Odgovor: Rotirajući žiroskop ima kutni moment. Kada vanjski moment pokuša promijeniti njegovu orijentaciju, žiroskop precesira, odnosno mijenja svoju os rotacije, u smjeru okomitom na primijenjeni moment zbog očuvanja kutnog momenta.
14. Što uzrokuje precesiju u vrtuljku?
    Odgovor: Precesiju u vrtuljku uzrokuje moment sile gravitacije koji djeluje na središte mase vrtuljka, koje je pomaknuto od njegove točke okretanja. Taj moment sile rezultira promjenom smjera kutnog momenta vrtuljka, uzrokujući njegovu precesiju.
15. Zašto se zvijezde spljošte na svojim polovima?
    Odgovor: Dok se zvijezde okreću, one doživljavaju centrifugalnu silu koja gura materiju prema van. Taj je učinak jači na ekvatoru nego na polovima, što dovodi do spljoštenog oblika.
16. Kakva je veza između kutnog momenta i drugog Keplerovog zakona?
    Odgovor: Keplerov drugi zakon kaže da dužina koja spaja planet i Sunce pokriva jednake površine tijekom jednakih vremenskih intervala. To je posljedica očuvanja kutnog momenta.
17. Zašto mačka uvijek doskoči na noge kada padne?
    Odgovor: Mačke koriste zakon očuvanja kutnog momenta. Okretanjem tijela i promjenom momenata tromosti u zraku mogu se preorijentirati kako bi sletjele na noge bez kršenja zakona očuvanja.
18. Kakav je odnos magnetskog momenta i kutnog momenta u elektronima?
    Odgovor: Magnetski moment elektrona proizlazi iz njegovog spina i orbitalnog kutnog momenta. Magnetski moment je proporcionalan kutnom momentu elektrona.
19. Što je kutni moment u terminima polarnih koordinata?
    Odgovor: U polarnim koordinatama, kutni moment $L$ za točkastu masu može se izraziti kao $L=mrv$, Gdje $m$ je masa, $r$ je radijalna udaljenost, a $v$ je tangencijalna brzina.
20. Što se događa s kutnim momentom zatvorenog sustava kada se dva tijela sudare?
    Odgovor: U zatvorenom sustavu u kojem se dva objekta sudaraju, ukupni kutni moment prije sudara jednak je ukupnom kutnom momentu nakon sudara, pod pretpostavkom da na sustav ne djeluju vanjski momenti.

Problemi i rješenja

1. Problem: Točka mase m = 2 kg giba se brzinom v = 3 m/s u kružnici polumjera r = 4 m. Izračunajte njezin kutni moment oko središta kružnice.

Rješenje: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Problem: Čvrsta kugla mase 3 kg i polumjera 0.5 m rotira oko svog promjera kutnom brzinom ω = 2 rad/s. Koliki je njezin kutni moment?

Rješenje: Za čvrstu kuglu ^, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problem: Točkasta masa od 3 kg giba se brzinom od 4 m/s pravocrtno. Koliki je njezin kutni moment oko točke udaljene 5 m od njezine linije gibanja?

Rješenje:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Problem: Disk mase 5 kg i polumjera 3 m rotira kutnom brzinom od 2 rad/s. Izračunajte njegov kutni moment.

^Rješenje : Za disk, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problem: Štap duljine 4 m i mase 2 kg rotira oko jednog kraja kutnom brzinom od 3 rad/s. Izračunajte njegov kutni moment.

Rješenje: Za štapić s jednim krajem, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problem: Kolika je promjena kutnog momenta ako tijelo koje se rotira udvostruči svoju kutnu brzinu?

Rješenje: Odnos između kutnog momenta (L) i kutne brzine (ω) je $L=I\times \omega$ . Ako se ω udvostruči, kutni moment će se također udvostručiti.

7. Problem: Ako se polumjer kružne putanje čestice u pokretu udvostruči uz održavanje konstantne brzine, za koji se faktor mijenja kutni moment?

Rješenje: Kutni moment, $L=m\times r\times v$ . Ako se r udvostruči, L će se također udvostručiti.

8. Problem: Dijete mase 30 kg stoji na rubu vrtuljka koji miruje. Polumjer vrtuljka je 2 m. Ako dijete počne trčati brzinom od 2 m/s u odnosu na tlo uz rub, izračunajte kutni moment djeteta u odnosu na središte.

Rješenje: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Problem: Cilindar mase 6 kg i polumjera 2 m rotira oko svoje središnje osi kutnom brzinom od 5 rad/s. Izračunajte njegov kutni moment.

Rješenje: ^Za cilindar, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ^² × 5 = 120 kg.m² ^/ s

10. Problem: Koliki će biti novi kutni moment tijela ako se njegov moment tromosti prepolovi, a kutna brzina utrostruči?

Rješenje: Za $L=I\times \omega$ , ako se $I$ prepolovi, a $\omega$ utrostruči, novi $L$ bit će 1/2 × 3 = 1.5 × izvorni.

11. Problem: Obruč mase 2 kg i polumjera 1 m rotira kutnom brzinom od 4 rad/s. Izračunajte njegov kutni moment.

Rješenje: Za obruč, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m² ^/ s

12. Problem: Ventilator ima lopatice duljine 0.5 m i ukupnu masu 1 kg. Ako se okreće kutnom brzinom od 10 rad/s, odredite njegov kutni moment.

Rješenje: Pod pretpostavkom da su lopatice ventilatora poput šipki koje se okreću oko jednog kraja, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ^² × 10 = 0.833 kg.m² ^/ s

13. Problem: Izračunajte kutni moment Zemlje oko vlastite osi zbog njezine rotacije. Zadano je: Masa Zemlje ⁼ 5.972 × ^10²⁴ kg , polumjer $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁶rad\text{/s}$.

Rješenje: Pretpostavljajući da ^je Zemlja čvrsta sfera, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problem: Dijete se kreće prema središtu rotirajuće platforme. Povećava li se, smanjuje li se kutni moment ili ostaje isti?

Rješenje: Kutni moment je očuvan. Kako se dijete kreće prema središtu, moment tromosti se smanjuje. Kako bi se očuvao kutni moment, kutna brzina se povećava. Dakle, kutni moment ostaje isti.

15. Problem: Ako se kinetička energija rotirajućeg tijela udvostruči, za koji se faktor promijeni njegov kutni moment?

Rješenje: Kinetička energija K = 1/2 ​I ω ² i kutni moment $L=I\omega$ . Ako se kinetička energija udvostruči, a $I$ ostane konstantan, ω ² se udvostručuje. To implicira da se $\omega$ povećava za faktor √ 2 ​.$Dakle,\; L$ se također povećava za faktor √ 2 ​.

16. Problem: Kotač bicikla polumjera 0.3 m ima obruč mase 1.5 kg. Ako se okreće kutnom brzinom od 5 rad/s, odredite njegov kutni moment.

Rješenje: Uz pretpostavku da je rub obruč, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0,3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s​

17. Problem: Klizačica povlači ruke prema unutra dok se vrti. Što se događa s njezinim kutnim momentom?

Rješenje: Kutni moment klizačice je očuvan. Privlačenjem ruku smanjuje moment tromosti i stoga se brže vrti (povećava kutna brzina) kako bi sačuvala kutni moment.

18. Problem: Zamašnjak ima moment tromosti od 0.2 kg.m² ^{kg.m² i} rotira kutnom brzinom od 10 rad/s. Izračunajte njegov kutni moment$\text{.}$

Rješenje:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problem: Na sustav djeluje neto vanjski moment momenta nula. Što možete reći o njegovom kutnom momentu?

Rješenje: Ako je neto vanjski moment nula, tada prema zakonu o očuvanju kutnog momenta ukupni kutni moment sustava ostaje konstantan.

20. Problem: Točka mase m = 5 kg giba se brzinom v = 3 m/s okomito na pravac koji je spaja s točkom P. Ako je udaljenost od točke P 4 m, odredite njezin kutni moment oko točke P.

Rješenje:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s