Moment inercije čestica – problemi i rješenja

Moment inercije čestica – problemi i rješenja

1. Dvije kugle spojene štapom, kao što je prikazano na slici ispod. Zanemarite masu štapa . Masa kugle P je 600 grama, a masa kugle Q je 400 grama. Koliki je moment tromosti sustava oko točke AB?

Poznato:

Os rotacije je AB.

m _p = 600 grama = 0.6 kg, m _q = 400 grama = 0.4 kg

rp = 20 cm = 0.2 m, _{rq =} 50 cm = 0.5 m

Traži se: Moment inercije sustava

rješenje:

I _{= mp_r_p²} + m_q_r_q²_​^​_​​^​

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. Štap AB mase 2 kg rotira se oko točke A, a moment tromosti štapa je 8 kg m² ^. Ako se rotira oko točke O (AO = OB), koji je moment tromosti štapa?

Poznato:

Masa štapa AB (m) = 2 kg

Ako se rotira oko točke A tako da je polumjer rotacije (r) = duljina AB = r, tada je moment tromosti (I) = 8 kg ^m²

Traži se: Ako se štap rotira oko točke O tako da je polumjer rotacije (r) = duljina AO = duljina OB = 1/2 r, koliki je tada moment tromosti štapa?

rješenje:

Ja = Gospodin ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² = 8 ^m² / ^²

r² = ^{4 m²}

r = 2 metra

Ako se rotira oko točke O tako da je ½ r = 1 metar, tada je moment tromosti:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m²) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Dvije kugle spojene štapom kao što je prikazano na slici ispod. Zanemarite masu štapa. Koliki je moment tromosti sustava?

Poznato:

Masa kugle A (m_A) = 200 grama = 0.2 kg

Masa kugle B (m _B ) = 400 grama = 0.4 kg

Udaljenost između kugle A i osi rotacije (r _A ) = 0

Udaljenost između kugle B i osi rotacije (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Traži se: Moment inercije sustava

rješenje:

Moment inercije kugle A:

IA ₌ (mA ₎ (rA2 ⁾ ₌ (0.2)(0) ² = 0

Moment inercije kugle B:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Moment inercije sustava:

I = _IA + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10⁻³ kg ^m²

4. Četiri čestice s različitim masama, prikazane na slici ispod. Odredite moment tromosti sustava oko vodoravne linije P.

Riješenje

Os rotacije je horizontalna linija P.

Poznato:

Masa čestice A (m _A ) = m

Masa čestice B (m _B ) = 2m

Masa čestice C (m _C ) = 3m

Prolaz čestica D (m _D ) = 4 m

Udaljenost između čestice A i osi rotacije (r _A ) = b

Udaljenost između čestice B i osi rotacije (r _B ) = b

Udaljenost između čestice C i osi rotacije (r _C ) = 2b

Udaljenost između čestice D i osi rotacije (r _D ) = 2b

Traži se: Moment inercije sustava oko horizontalne linije P

rješenje:

I = _{mA_ar_A²} + _{mB_r_B²} + mC_r_C² _{+ mD_r_D²}​_​^​_​^​​​_​​_​^​

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Četiri čestice povezane štapom. Zanemarite masu štapa. Odredite moment tromosti oko osi rotacije kroz čestice m1 _i m2 _, kao što je prikazano na slici ispod.

Znan

Masa čestice 1 (m₁) = 1/4 kg

Masa čestice 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Masa čestice 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Masa čestice 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Udaljenost između čestice 1 i osi rotacije (r1 ₎ = 0

Udaljenost između čestice 2 i osi rotacije (r2 ₎ = 0

Udaljenost između čestice 3 i osi rotacije (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Udaljenost između čestice 4 i osi rotacije (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Traži se: Moment inercije

rješenje:

I = _{m1/ r1} / ² + m2/ _r2 / ² ₊ m3/ _r3 / ² ₊ m4 _/ r4 _/ ²

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

1. Koliki je moment inercije čestice?
   • OdgovoritiZa jednu česticu mase $m$ na udaljenosti $r$ od osi rotacije, njegov moment inercije $I$ Je dano od strane I=m×r².
2. Zašto se moment inercije često naziva "rotacijskim analogom" mase?
   • OdgovoritiKao što je masa mjera otpora objekta promjenama u njegovom translacijskem gibanju (zbog drugog Newtonovog zakona), moment tromosti je mjera otpora objekta promjenama u njegovom rotacijskom gibanju.
3. Kako promjena udaljenosti čestice od njezine osi rotacije utječe na njezin moment inercije?
   • OdgovoritiMoment tromosti proporcionalan je kvadratu udaljenosti od osi rotacije. Ako udvostručite udaljenost, moment tromosti će se povećati četiri puta.
4. Zašto je kvadrat udaljenosti (r²) korišten u formuli za moment tromosti umjesto samo za udaljenost?
   • OdgovoritiKvadrat udaljenosti koristi se zbog načina na koji funkcionira kinetička energija pri rotaciji. U rotacijskom gibanju, svaka čestica objekta doprinosi kinetičkoj energiji rotacije na temelju svoje mase i kvadrata udaljenosti od osi.
5. Kako se mijenja moment tromosti čestice ako se njezina masa utrostruči, a udaljenost od osi ostane konstantna?
   • OdgovoritiAko se masa utrostruči, a udaljenost ostane konstantna, moment tromosti će se također utrostručiti jer je izravno proporcionalan masi.
6. Može li čestica imati moment inercije nula? Ako da, pod kojim uvjetom?
   • OdgovoritiDa, čestica će imati moment inercije nula ako se nalazi direktno na osi rotacije, što čini njezinu udaljenost $r$ od osi jednake nuli.
7. Zašto različita tijela iste mase i veličine imaju različite momente inercije pri rotaciji oko različitih osi?
   • OdgovoritiRaspodjela mase oko osi rotacije određuje moment tromosti. Čak i ako dva objekta imaju istu masu i veličinu, njihova raspodjela mase u odnosu na os rotacije može se razlikovati, što dovodi do različitih momenata tromosti.
8. Je li moment inercije skalarna ili vektorska veličina?
   • OdgovoritiMoment tromosti je skalarna veličina. Međutim, za kruta tijela složenih oblika i više osi rotacije, predstavljen je tenzorom.
9. Ako su dvije čestice, svaka od kojih je mase $m$, nalaze se na udaljenostima r_1​ i r₂​ od osi rotacije, koji je kombinirani moment inercije?
   • OdgovoritiMoment inercije je aditivan za odvojene čestice. Dakle, kombinirani moment inercije I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. Kakav je odnos momenta inercije i očuvanja kutnog momenta?

    • OdgovoritiKutni moment $L$ je produkt momenta inercije $I$ i kutna brzina $\omega$, predstavljeno jednadžbom $L=I\times \omega$Ako na sustav ne djeluju vanjski momenti, kutni moment ostat će konstantan. To znači da ako se moment tromosti promijeni (kao kod klizača koji povlači ruke), kutna brzina se mora prilagoditi kako bi produkt ostao konstantan.