Primjeri pitanja o jednadžbi tangente na kružnicu
Uvod
Jednadžba tangente na kružnicu važna je tema u analitičkoj geometriji. Razumijevanje načina određivanja jednadžbe tangente na kružnicu može pomoći u rješavanju širokog spektra matematičkih problema na srednjoj do naprednoj razini. Ovaj članak će raspravljati o raznim primjerima problema i metodama za određivanje jednadžbe tangente na kružnicu.
Definicija i osnovna teorija
Kružnica u koordinatnoj ravnini obično se može predstaviti kvadratnom jednadžbom:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
gdje je \((a, b)\) središte kružnice, a \(r\) polumjer kružnice.
Tangenta na kružnicu iz vanjske točke je pravac koji dodiruje kružnicu u točno jednoj točki. Ako pretpostavimo da pravac ima jednadžbu:
\[y = mx + c \]
tada se uvjet da će pravac \(y = mx + c\) biti tangenta na kružnicu može izraziti u sljedećem obliku:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Gdje je \(m\) nagib tangente, a \(c\) konstanta.
Formula jednadžbe tangente
Za tangentu na kružnicu sa središtem \(0,0)\) i polumjerom \(r\), njezina jednadžba u točki \((x_1, y_1)\) na kružnici je:
\[x_1x + y_1y = r^2 \]
Ali ako je središte kruga u točki \((a, b)\), tada je jednadžba:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Primjeri pitanja i rasprava
Pitanje 1
Kružnica sa središtem u \((3, 4)\) i polumjerom 5 jedinica. Odredite jednadžbu tangente iz točke \((6, 8)\).
Rasprava:
U ovom zadatku zadan nam je krug sa središtem u točki \((3, 4)\), polumjera 5, i moramo pronaći jednadžbu tangente iz točke \((6, 8)\). Evo koraka za rješavanje:
1. Provjerite da točka \((6, 8)\) nije unutar kruga: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Dakle, točka je na kružnici pa se može koristiti za pronalaženje tangente.
2. Korištenjem formule:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Pojednostavite jednadžbu:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Razviti:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Dobivena jednadžba tangente je:
\[
3x + 4y = 50
\]
Pitanje 2
Kružnica s jednadžbom \[x^2 + y^2 = 16\]. Odredite jednadžbu tangente iz točke \((4, 0)\).
Rasprava:
Kružnica sa središtem u \((0, 0)\) i polumjerom 4 jedinice. Zadana vanjska točka je \((4, 0)\).
1. Korištenje formule za krug sa središtem \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Zamjena vrijednosti:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Pojednostavite:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Što znači da imamo tangentnu jednadžbu:
\[
x = 4
\]
Pitanje 3
Nacrtajte liniju koja je tangenta na kružnicu \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) u točki \((-1, 5)\).
Rasprava:
Kružnica sa središtem u \((-2, 3)\) i polumjerom od 3 jedinice. Točka dodira je \((-1, 5)\).
1. Provjerite leži li točka na kružnici:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{nije na krugu}
\]
Dakle, može postojati pogreška u unosu pitanja ili točke. Ako je \((-2, 6)\) zadano kao točka dodira:
2. Pojednostavite:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Zamjena:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Proizlaziti:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3g-9=9
\]
\[
y = 6
Ispada da je točka i osobe:
y = 6 definitivno vrijedi.
Zaključak, provjera kombinacije, pamćenje, 2 načina brojanja.
valjano/netočno..That Plus sažetak gar. td 2; oblik potvrdi s (mreža). plis perimetar sve tipke pokrivenosti.
To je sve, hvala vam i nadam se da će ovo biti korisno mojim prijateljima.
Osim toga, naučite koncept jačanja razumijevanja.
Oni koji prije nisu razumjeli, ako Bog da, imat će detaljnije kritične kirurške korake.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{sprječava}-fu.
"
