प्रयास और ऊर्जा

यदि आप किसी किताब को मेज पर तब तक धकेलते हैं जब तक वह हिलने न लगे, तो आप किताब पर कार्य कर रहे हैं । यदि कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण बल के कारण पृथ्वी की सतह पर गिरती है, तो गुरुत्वाकर्षण बल उस वस्तु पर कार्य करता है। इसके विपरीत, यदि आप किसी वस्तु को अपनी पूरी ताकत से तब तक धकेलते हैं जब तक आप पसीने से भीग न जाएं, लेकिन वस्तु नहीं हिलती, तो आपने उस वस्तु पर कोई कार्य नहीं किया है। रोजमर्रा की जिंदगी में, दूसरे लोग कहते हैं कि आपने वस्तु को धकेलने के लिए कार्य किया है या कड़ी मेहनत की है, लेकिन भौतिकी के अनुसार , आपने वस्तु पर कोई कार्य नहीं किया है क्योंकि वस्तु विस्थापन का अनुभव नहीं करती है।

किसी वस्तु पर कार्य एक स्थिर बल (जिसका परिमाण और दिशा हमेशा एक समान रहती है) या एक परिवर्तनीय बल (जिसका परिमाण और दिशा हमेशा बदलती रहती है) द्वारा किया जा सकता है। एक स्थिर परिमाण और दिशा वाले बल का उदाहरण पृथ्वी की सतह के निकट किसी वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है। जब कोई वस्तु पृथ्वी की सतह के निकट मुक्त पतन में होती है, तो वस्तु के मुक्त पतन त्वरण का परिमाण और दिशा स्थिर रहती है क्योंकि वस्तु को त्वरित करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण और दिशा स्थिर होती है। एक अस्थिर परिमाण वाले बल (जिसकी दिशा स्थिर रहती है) का उदाहरण स्प्रिंग का बल है । यदि आप स्प्रिंग को खींचते हैं, तो स्प्रिंग की लंबाई जितनी अधिक बढ़ती है, उसे खींचना उतना ही कठिन होता जाता है। स्प्रिंग के खिंचने पर उस पर लगने वाले बल का परिमाण स्थिर नहीं रहता। एक अन्य उदाहरण रॉकेट का अंतरिक्ष में जाना या पृथ्वी की सतह पर वापस आना है। जब रॉकेट गतिमान होता है, तो रॉकेट पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण पृथ्वी के केंद्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती रूप से बदलता है।

गणितीय रूप से, किसी वस्तु पर स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन और बल के गुणनफल या वस्तु के विस्थापन की दिशा में बल के घटक के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

स्प्रिंग जैसे अस्थिर बल द्वारा किए गए कार्य की गणना स्थिर बल द्वारा किए गए कार्य के सूत्र से नहीं की जा सकती। यदि स्प्रिंग को खींचा जाता है, तो स्प्रिंग के अधिक खिंचने पर उसे खींचने के लिए आवश्यक तन्य बल भी बढ़ जाता है। इसी प्रकार, यदि स्प्रिंग को दबाया जाता है, तो स्प्रिंग के कसने पर उसे धकेलने के लिए आवश्यक बल भी बढ़ जाता है। जब तक स्प्रिंग को दबाया या खींचा जाता है, स्प्रिंग बल शून्य (x = 0) से अधिकतम (F = kx) तक बदलता रहता है, इसलिए स्प्रिंग बल की गणना औसत बल का उपयोग करके की जाती है।

समस्याओं का उदाहरण

1. 2018 राष्ट्रीय परीक्षा के प्रश्न

द्रव्यमान m का एक ब्लॉक एक चिकनी समतल सतह पर रखा है। ब्लॉक स्थिति (1) में स्थिर है और बल F द्वारा समय अंतराल t में स्थिति (2) तक खींचा जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

द्रव्यमान और बल को परिवर्तित करके, निम्नलिखित डेटा प्राप्त किया जाता है:

ऊपर दी गई तालिका से, वस्तुओं द्वारा सबसे बड़ी से सबसे छोटी वस्तु तक किए गए कार्य का क्रम इस प्रकार है…

विचार-विमर्श

यह ज्ञात है:

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0

पूछा गया:

उत्तर:

कार्य सूत्र:

W = F s ………. सूत्र 1

जीएलबीबी का सूत्र:

s = v _o t + 1/2 at ²

s = 1/2 at ²

सूत्र 1 में प्रतिस्थापित करें

W = F ( 1/2 at ² ) ………. सूत्र 2

बल का सूत्र:

एफ = मा

a = F / m

सूत्र 2 में प्रतिस्थापित करें

W = 0,5 F (F/m) t ²

W = 0,5 (F ² /m) t ² ………. सूत्र 3

प्रयास की गणना करने के लिए सूत्र 3 का उपयोग करें।

1) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (3 ² /12)(4 ² ) = (0,5)(9/12)(16) = (9/12) 8 = 6

2) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (4 ² /16)(3 ² ) = (0,5)(16/16)(9) = (1) 4,5 = 4,5

3) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (5 ² /20)(2 ² ) = (0,5)(25/20)(4) = (1,25) 2 = 2,5

4) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (6 ² /24)(1 ² ) = (0,5)(36/24)(1) = (1,5) 0,5 = 0,75

वस्तुओं द्वारा किया गया कार्य, सबसे बड़ी से सबसे छोटी वस्तु तक, क्रमशः 1, 2, 3, 4 है।

2. सोल यूएन एसएमए/एमए 2017

एक 6 किलोग्राम का डिब्बा 8 मीटर/सेकंड की गति से एक खुरदुरे झुके हुए तल पर फिसल रहा है, ^{जिसका} झुकाव कोण क्षैतिज तल से α है। यदि डिब्बे पर लगने वाला घर्षण बल 5 N है और tan α = 3/4 है, तो झुके हुए तल के तल पर डिब्बे को रोकने के लिए लगाया जाने वाला बल F क्या होगा?

ए. 15 एन

बी. 25 एन

सी. 45 एन

डी. 55 एन

ई. 69,4 एन

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

क्रेट का द्रव्यमान (मीटर में) = 6 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

बॉक्स का प्रारंभिक वेग (v _o ) = 8 मीटर/सेकंड

बॉक्स की अंतिम गति (v _t ) = 0 मीटर/सेकंड (बॉक्स को झुके हुए तल के तल तक पहुँचने से पहले रुक जाना चाहिए)

घर्षण बल (F _friction ) = 5 N

स्पर्शरेखा α = सामने की तरफ / नीचे की तरफ = 3/4

कर्ण = 5 मीटर

पूछा गया: F

उत्तर :

यांत्रिक कार्य-ऊर्जा प्रमेय:

गैर-संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य = यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन

किसी संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य = गतिज और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन।

यहां दो गैर-संरक्षी बल हैं, अर्थात् गतिज घर्षण और एफ बल।

बॉक्स पर लगने वाले गतिज घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य:

W = -(F _ges )(s) = -(5)(5) = -25

इसका उत्तर ऋणात्मक है क्योंकि घर्षण बल की दिशा बॉक्स की गति की दिशा के विपरीत होती है।

बल F द्वारा किया गया कार्य:

W = (F)(s) = (F)(5) = -5F

ऋणात्मक क्योंकि बल F की दिशा क्रेट की गति की दिशा के विपरीत है।

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

Δ ईके = 1/2 मीटर (वी _टी ² – वी _ओ ² ) = 1/2 (6)(0 ² – 8 ² ) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192

गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

Δ EP = mgh = (6)(10)(-3) = -180

h ऋणात्मक है क्योंकि अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति से नीचे है।

यांत्रिक कार्य-ऊर्जा प्रमेय:

W _nc = Δ EM

W _ges + W _F = Δ EP + Δ EK

-25 – 5F = -180 -192

-25 – 5F = -372

-5F = -372 + 25

-5F = – 347

एफ = -347 / -5

F = 69,4 न्यूटन

सही उत्तर E है।

3. सोल यूएन एसएमए/एमए 2017

चित्र में दिखाए अनुसार, 10 किलोग्राम का एक ब्लॉक बिंदु A से B के ऊपर से फिसलकर बिंदु C पर रुक जाता है। ब्लॉक और खुरदरी सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0,2 है, इसलिए पथ ABC की लंबाई क्या होगी?

ए. 250 सेमी

बी. 200 सेमी

लगभग 150 सेमी

व्यास 100 सेमी

ई. 80 सेमी

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

ब्लॉक का द्रव्यमान (मीटर) = 10 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक का भार (w) = मिलीग्राम = (10 किलोग्राम)(10 मीटर/सेकंड² ⁾ = 100 न्यूटन

झुके हुए तल की ऊँचाई (h) = 30 सेमी = 0,3 मीटर

झुके हुए तल की लंबाई (s) = 50 सेमी = 0,5 मीटर

गतिज घर्षण गुणांक ( μk ₎ = 0,2

गतिज घर्षण बल (f _k ) = μ _k N = μ _k w = (0,2)(100 N) = 20 N

प्रश्न: पथ ABC की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर :

बिंदु AB से वस्तु की गति पर विचार करें।

बिंदु A पर प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30 जूल

बिंदु B पर अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा

30 जूल = गतिज ऊर्जा

अतः बिंदु B पर गतिज ऊर्जा = 30 जूल।

बिंदु BC से वस्तु की गति पर विचार करें।

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा प्रमेय कहता है कि किसी संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा – प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा। गणितीय रूप से:

W _NC = Δ EM

डब्ल्यू _एनसी = ईएम ₂ – ईएम ₁

वस्तु एक समतल सतह पर स्थित है, जिससे गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है। यांत्रिक ऊर्जा (EM) = गतिज ऊर्जा (EK)।

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK ₁ ) = बिंदु B पर गतिज ऊर्जा = 30 जूल

अंतिम गतिज ऊर्जा (EK ₂ ) = बिंदु C = 0 पर गतिज ऊर्जा (ब्लॉक रुक जाता है)।

घर्षण बल (BC) द्वारा किया गया कार्य, गतिज घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।

डब्ल्यू _एनसी = – एफ _के एस = – 20 एस

जैदी

डब्ल्यू _एनसी = ईके ₂ – ईके ₁

– 20 s = 0 – 30

– 20 s = – 30

20 s = 30

s = 30/20 = 3/2 = 1,5 मीटर = 1,5 x 100 सेमी = 150 सेमी।

ट्रैक एबीसी की लंबाई = 50 सेमी + 150 सेमी = 200 सेमी।

सही जवाब बी है।

4. 2014/2015 एसएमए/एमए भौतिकी राष्ट्रीय परीक्षा प्रश्न संख्या 8

निम्नलिखित चित्र को देखिए! एक ब्लॉक 0,4 के घर्षण गुणांक वाले एक खुरदुरे झुके हुए तल पर फिसल रहा है। यदि g = 10 ms⁻² ^है , तो झुके हुए तल के तल से टकराने पर ब्लॉक की गति क्या होगी?

एक 2√5 एमएस^-1

बी. 2 √7 एमएस ^-1

सी. 2 √14 एमएस ^-1

डी. 2 √19 एमएस ^-1

ई. 2 √23 एमएस ^-1

विचार-विमर्श

नीचे दी गई तस्वीर को देखते हुए

ह ज्ञात है कि:

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = 6 मीटर

अंतिम ऊँचाई (h _t ) = 0 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0 (आरंभ में ब्लॉक स्थिर है)

गतिज घर्षण गुणांक ( μk ) = 0,4 ( ब्लॉक फिसलता है _, इसलिए गतिज घर्षण गुणांक लागू होता है, न कि स्थैतिक घर्षण गुणांक )

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

क्योंकि θ = निचला/तिरछा = 8/10

ऊर्ध्वाधर दिशा में भार घटक = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

सामान्य बल = N = w _y = 8 मीटर

गतिज घर्षण बल = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0,4)(8 m) = 3,2 m

प्रश्न: अंतिम वेग (v _t )

उत्तर :

कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी वस्तु पर अपराजेय बल द्वारा किया गया कार्य वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। अपराजेय बल का एक उदाहरण गतिज घर्षण है।

W_nc = ΔEM

W _nc = Δ EK + Δ EP

टिप्पणी:

W _nc = गैर-संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य, Δ EM = यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन, Δ EK = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन, Δ EP = स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन।

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - वी_o²) = 1/2 मीटर (v_t² - 0) = 1/2 एमवी_t²

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

गतिज घर्षण द्वारा किया गया कार्य:

Wnc = – f _k s = – ( 3,2 m)(10) = – 32 m

यह ऋणात्मक है क्योंकि गतिज घर्षण बल ऋणात्मक कार्य करता है, जहाँ गतिज घर्षण बल की दिशा (ऊपर की ओर) वस्तु के विस्थापन की दिशा (नीचे की ओर) के विपरीत होती है।

अंतिम वेग (v _t ) की गणना करें:

Wnc = Δ EK + Δ EP

– 32 मीटर = 1/2 एमवी _टी ² – 60 मीटर

– 32 मीटर = मीटर (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

सही जवाब सी है।

5. 2014/2015 एसएमए/एमए भौतिकी राष्ट्रीय परीक्षा प्रश्न संख्या 8

बगल में दी गई तस्वीर को देखिए!

^{एक ब्लॉक एक खुरदरे झुके हुए तल पर नीचे की ओर फिसलता है और तल के निचले सिरे पर 10 ms⁻¹} की गति से पहुँचता है । यदि घर्षण बल 2 N है और g = 10 ms⁻² है ^, तो h का मान क्या होगा?

ए. 10 मीटर

बी. 8 मीटर

सी. 6 मीटर

डी. 4 मीटर

पूर्व 2 मीटर

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

ब्लॉक का द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0 (आरंभ में ब्लॉक स्थिर है)

अंतिम वेग (v _t ) = 10 ms ^-1

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = h

अंतिम ऊँचाई (h _t ) = 0

गतिज घर्षण बल (f _k ) = 2 N

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

पूछा गया: ऊँचाई (h)

उत्तर :

गतिज घर्षण द्वारा किया गया कार्य:

Wnc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

यह ऋणात्मक है क्योंकि गतिज घर्षण बल ऋणात्मक कार्य करता है, जहाँ गतिज घर्षण बल की दिशा (ऊपर की ओर) वस्तु के विस्थापन की दिशा (नीचे की ओर) के विपरीत होती है।

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - वी_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100) = 50

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

यांत्रिक कार्य-ऊर्जा प्रमेय का सूत्र:

Wnc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10 घंटे

10 घंटे = 50 + 30

10 एच = 80

h = 80/10

h = 8 मीटर

सही जवाब बी है।