इकाई सदिश – समस्याएं और समाधान

इकाई सदिश – समस्याएं और समाधान

1. एक वस्तु v = (2i − 1.5j) मीटर/सेकंड के वेग से गति करती है। 4 सेकंड के बाद वस्तु का विस्थापन क्या होगा?

ज्ञात :

वेग का क्षैतिज घटक (v _x ) = 2 m/s

वेग का ऊर्ध्वाधर घटक (v _y ) = 1.5 m/s

समय अंतराल (t) = 4 सेकंड

वांछित: विस्थापन

समाधान:

वेग (v) का परिणामी:

विस्थापन:

s = vt = (2.5 m/s)(4 s)

s = 10 मीटर

2. सदिश F ₁ = 14 N और F ₂ = 10 N है। यदि R = i + j में दर्शाया गया हो तो परिणामी सदिश ज्ञात कीजिए।

समाधान:

सदिशों के घटक:

F _1x = (F ₁ )(cos 60 ^o ) = (14)(0.5) = -7 N (ऋणात्मक क्योंकि यह सदिश घटक ऋणात्मक x अक्ष (बाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है)

F _1y = (F ₁ )(sin 60 ^o ) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (धनात्मक क्योंकि यह सदिश घटक धनात्मक y अक्ष (दाईं ओर) के अनुदिश इंगित करता है)

F _2x = 10 N

F _2y = 0

परिणामी सदिशों के घटक:

F _x = F _1x + F _2x + F _3x = -7 + 10 = 3 N

एफ _वाई = एफ _1वाई + एफ _2वाई + एफ _3वाई = 7√3 + 0 = 7√3 एन

परिणामी सदिश इकाई सदिश में:

R = 3 i + 7√3 j

1. इकाई सदिश क्या होता है? उत्तरएक इकाई सदिश वह सदिश होता है जिसका परिमाण 1 होता है। यह आमतौर पर परिमाण के बारे में कोई जानकारी दिए बिना दिशा को दर्शाता है।
2. सदिश गणित और भौतिकी में इकाई सदिश क्यों महत्वपूर्ण हैं? उत्तरइकाई सदिश आवश्यक हैं क्योंकि वे दिशाओं का वर्णन करने का एक मानकीकृत तरीका प्रदान करते हैं। इन्हें परिमाण के अनुसार स्केल करके एक विशिष्ट दिशा में वांछित लंबाई का सदिश प्राप्त किया जा सकता है।
3. किसी दिए गए सदिश से इकाई सदिश कैसे प्राप्त किया जाता है? उत्तरकिसी दिए गए सदिश की दिशा में इकाई सदिश को उस सदिश को उसके परिमाण से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है।
4. कार्टेशियन निर्देशांकों में मानक इकाई सदिश क्या हैं, और उनकी दिशाएँ क्या हैं? उत्तरकार्टेशियन निर्देशांकों में मानक इकाई सदिश निम्नलिखित हैं: i, j, तथा k. i x-अक्ष की दिशा में इंगित करता है, j y-अक्ष की दिशा में इंगित करता है, और k z-अक्ष की दिशा में इंगित करता है।
5. क्या किसी इकाई सदिश के घटक 1 या -1 के अलावा अन्य भी हो सकते हैं? उत्तरजी हां। इकाई सदिश के घटक उसकी दिशा पर निर्भर करते हैं। केवल इकाई सदिश ही निर्देशांक अक्षों के साथ संरेखित होते हैं (जैसे i, j, k कार्टेशियन निर्देशांकों में) के घटक 1, -1 या 0 होंगे।
6. क्या दो इकाई सदिशों का योग अनिवार्य रूप से एक इकाई सदिश होता है? उत्तरनहीं। दो इकाई सदिशों का योग सामान्यतः इकाई सदिश नहीं होता, जब तक कि दोनों सदिश संरेख न हों और विपरीत दिशाओं में निर्देशित न हों।
7. क्या एक इकाई सदिश को इस प्रकार स्केल किया जा सकता है कि वह एक ऐसे सदिश का प्रतिनिधित्व करे जिसका परिमाण भिन्न हो लेकिन दिशा समान हो? उत्तरजी हां। किसी इकाई सदिश को अदिश राशि से गुणा करने पर उसकी दिशा अपरिवर्तित रहते हुए उसका परिमाण बदल जाएगा।
8. दो इकाई सदिशों के क्रॉस गुणनफल का परिमाण क्या है? उत्तरदो इकाई सदिशों के क्रॉस गुणनफल का परिमाण उनके बीच के कोण के साइन के बराबर होता है। अधिकतम मान 1 होता है जब सदिश लंबवत होते हैं, और न्यूनतम मान 0 होता है जब सदिश समानांतर होते हैं।
9. दो इकाई सदिशों का डॉट गुणनफल उनके बीच के कोण का कोसाइन क्यों देता है? उत्तरदो सदिशों के बिंदु गुणनफल का सूत्र उनके परिमाणों के गुणनफल और उनके बीच के कोण के कोसाइन के रूप में दिया जाता है। जब दोनों सदिश इकाई सदिश होते हैं, तो उनके परिमाण 1 होते हैं, इसलिए बिंदु गुणनफल सरल होकर केवल कोण के कोसाइन के बराबर हो जाता है।

10. इकाई सदिश की अवधारणा को गैर-कार्टेशियन निर्देशांक प्रणालियों में कैसे विस्तारित किया जाता है? उत्तर : गैर-कार्टेशियन निर्देशांक प्रणालियों, जैसे गोलाकार या बेलनाकार निर्देशांकों में, प्रत्येक निर्देशांक दिशा के अनुरूप अलग-अलग इकाई सदिश होते हैं। उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांकों में, इकाई सदिश r (त्रिज्यीय दिशा), θ (ध्रुवीय कोण दिशा) और φ (अज़ीमुथल दिशा) हैं।