घूर्णी गति – समस्याएं और समाधान

घूर्णी गति – समस्याएं और समाधान

टोक़

1. एक बीम की लंबाई 140 सेमी है। बीम पर तीन बल कार्य कर रहे हैं: F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N, और F3 ₌ 40 N, जिनकी दिशा और स्थिति नीचे दिए गए चित्र में दर्शाई गई है। बीम के द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक टॉर्क क्या है ?

ज्ञात :

द्रव्यमान केंद्र बीम के केंद्र में स्थित होता है।

बीम की लंबाई (l) = 140 सेमी = 1.4 मीटर

बल 1 (F ₁ ) = 20 N, उत्तोलक भुजा 1 (l ₁ ) = 70 cm = 0.7 मीटर

बल 2 (F ₂ ) = 10 N, उत्तोलक भुजा 2 (l ₂ ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 मीटर

बल 3 (F ₃ ) = 40 N, उत्तोलक भुजा 3 (l ₃ ) = 70 cm = 0.7 मीटर

टॉर्क का परिमाण ज्ञात करना है।

समाधान:

टॉर्क 1 बीम को दक्षिणावर्त घुमाता है, इसलिए टॉर्क 1 को ऋणात्मक चिह्न दिया गया है।

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

टॉर्क 2 बीम को वामावर्त दिशा में घुमाता है, इसलिए टॉर्क 2 को धनात्मक चिह्न दिया जाता है।

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

टॉर्क 3 बीम को दक्षिणावर्त घुमाता है, इसलिए टॉर्क 3 को धनात्मक चिह्न दिया गया है।

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

शुद्ध टॉर्क:

Στ = -14 एनएम + 3 एनएम - 28 एनएम = - 42 एनएम + 3 एनएम = -39 एनएम

टॉर्क का परिमाण 39 N/m है। बीम के घूर्णन की दिशा दक्षिणावर्त है, इसलिए इसे ऋणात्मक चिह्न दिया गया है।

2. बिंदु D पर घूर्णन अक्ष पर बीम पर लगने वाला कुल टॉर्क क्या है? (sin 53 ^° = 0.8)

ज्ञात :

बिंदु D पर घूर्णन अक्ष

एफ ₁ = 10 एन और एल ₁ = आर ₁ पाप θ = (40 सेमी)(पाप 53 ^ओ ) = (0.4 मीटर)(0.8) = 0.32 मीटर

एफ ₂ = 10√2 एन और एल ₂ = आर ₂ पाप θ = (20 सेमी)(sin 45 ^o ) = (0.2 मीटर)(0.5√2) = 0.1√2 मीटर

एफ ₃ = 20 एन और एल ₃ = आर ₁ पाप θ = (10 सेमी)(sin 90 ^o ) = (0.1 मीटर)(1) = 0.1 मीटर

वांछित: शुद्ध टॉर्क

समाधान:

τ ₁ = एफ ₁ एल ₁ = (10 एन)(0.32 मीटर) = 3.2 एनएम

(टॉर्क 1 बीम को वामावर्त दिशा में घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 1 को धनात्मक चिह्न देते हैं।)

τ ₂ = एफ ₂ एल ₂ = (10√2 एन)( 0.1√2 मीटर) = -2 एनएम

(टॉर्क 2 बीम को दक्षिणावर्त घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 2 को ऋणात्मक चिह्न देते हैं।)

τ ₃ = एफ ₂ एल ₂ = (20 एन)(0.1 मीटर) = 2 एनएम

(टॉर्क 3 बीम को वामावर्त दिशा में घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 3 को धनात्मक चिह्न देते हैं।)

शुद्ध टॉर्क:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 एनएम

3. यदि बिंदु D पर घूर्णन अक्ष (sin 53 ^° = 0.8) है , तो कुल टॉर्क क्या होगा?

ज्ञात :

बिंदु D पर घूर्णन अक्ष।

F ₁ और घूर्णन अक्ष (r _{AD ) के बीच} की दूरी = 40 सेमी = 0.4 मीटर

F ₂ और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी (r _BD ) = 20 सेमी = 0.2 मीटर

F ₃ और घूर्णन अक्ष (r _CD ) के बीच की दूरी = 10 सेमी = 0.1 मीटर

F ₁ = 10 न्यूटन

F ₂ = 10√2 न्यूटन

F ₃ = 20 न्यूटन

Sin 53 ^o = 0.8

वांछित: शुद्ध टॉर्क

समाधान:

बल का क्षण 1

Στ ₁ = (एफ ₁ )(आर _एडी पाप 53 ^ओ ) = (10 एन)(0.4 मीटर)(0.8) = 3.2 एनएम

(टॉर्क 1 बीम को वामावर्त दिशा में घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 1 को धनात्मक चिह्न देते हैं।)

बल का क्षण 2

Στ ₂ = (एफ ₂ )(आर _बीडी पाप 45 ^ओ ) = (10√2 एन)(0.2 मीटर)(0.5√2) = -2 एनएम

(टॉर्क 2 बीम को दक्षिणावर्त घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 2 को ऋणात्मक चिह्न देते हैं।)

बल का क्षण 3

Στ ₃ = (एफ ₃ )(आर _सीडी पाप 90 ^ओ ) = (20 एन)(0.1 मीटर)(1) = 2 एनएम

(टॉर्क 2 बीम को वामावर्त दिशा में घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 3 को धनात्मक चिह्न देते हैं।)

शुद्ध टॉर्क:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 न्यूटन मीटर

जड़त्व आघूर्ण

4. तार की लंबाई = 12 मीटर, l1 ₌ 4 मीटर। तार के द्रव्यमान को अनदेखा करें। प्रणाली का जड़त्व आघूर्ण क्या है?

ज्ञात :

A का द्रव्यमान (m _A ) = 0.2 kg

B का द्रव्यमान (m _B ) = 0.6 kg

A और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी (r _A ) = 4 मीटर

B और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी (r _B ) = 12 – 4 = 8 मीटर

वांछित: प्रणाली का जड़त्व आघूर्ण

समाधान:

A का जड़त्व आघूर्ण

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

B का जड़त्व आघूर्ण

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

प्रणाली का जड़त्व आघूर्ण:

आई = आई _ए + आई _बी = 3.2 + 38.4 = 41.6 किग्रा मी ²

घूर्णीय गतिशीलता

5. 5 किलोग्राम द्रव्यमान और 20 सेंटीमीटर त्रिज्या वाली एक पुली के चारों ओर लिपटी हुई डोरी पर 6 न्यूटन का बल लगाया जाता है। पुली का कोणीय त्वरण क्या होगा? पुली एकसमान ठोस बेलन है।

ज्ञात :

बल (F) = 6 न्यूटन

द्रव्यमान (M) = 5 किलोग्राम

त्रिज्या (R) = 20 सेमी = 20/100 मीटर = 0.2 मीटर

वांछित: कोणीय त्वरण (α)

समाधान:

बल का क्षण:

τ = एफआर = (6 न्यूटन)(0.2 मीटर) = 1.2 एन मीटर

ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m ² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m ².

कोणीय त्वरण:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 रेड s ^-2

6. 4 किलोग्राम द्रव्यमान का एक ब्लॉक 8 किलोग्राम द्रव्यमान और 10 सेंटीमीटर त्रिज्या वाली पुली पर लिपटी डोरी से लटका हुआ है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 ms⁻² है ^। ब्लॉक का रेखीय त्वरण क्या है? पुली एकसमान ठोस बेलन है।

ज्ञात :

पुली का द्रव्यमान (मीटर) = 8 किलोग्राम

पुली की त्रिज्या (r) = 10 सेमी = 0.1 मीटर

ब्लॉक का द्रव्यमान (मीटर) = 4 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

भार (w) = मिलीग्राम = (4 किलोग्राम)(10 मीटर/सेकंड² ⁾ = 40 किलोग्राम मीटर/सेकंड² ⁼ 40 न्यूटन

ब्लॉक के मुक्त पतन के दौरान लगने वाला त्वरण ज्ञात करना है।

समाधान:

ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

बल का क्षण:

τ = एफ आर = (40 एन)(0.1 मीटर) = 4 एनएम

कोणीय त्वरण:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

रेखीय त्वरण:

ए = आर α = (0.1)(100) = 10 मी/से ²

7. m द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक डोरी से लटका हुआ है जो एक पुली के चारों ओर लिपटी हुई है। यदि ब्लॉक का मुक्त पतन त्वरण am/ ^s² है , तो पुली का जड़त्व आघूर्ण क्या है?

ज्ञात :

वजन = w = मिलीग्राम

लीवर भुजा = R

कोणीय त्वरण = α

ब्लॉक का मुक्त पतन त्वरण = a ^ms⁻²

पुली का जड़त्व आघूर्ण (I) ज्ञात करना है।

समाधान:

रेखीय त्वरण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध:

a = R α

α = ए / आर

जड़त्व आघूर्ण:

τ = I α

मैं = τ : α = τ : ए / आर = τ (आर / ए) = τ आर ए ^-1

कोणीय संवेग

8. एक 0.2 ग्राम का कण 10 मीटर/सेकंड की स्थिर गति से एक वृत्त में गति करता है। वृत्त की त्रिज्या 3 सेंटीमीटर है। कण का कोणीय संवेग क्या है?

ज्ञात :

कण का द्रव्यमान (m) = 0.2 ग्राम = 2 x ^10⁻⁴ किलोग्राम

कोणीय गति (ω) = 10 रेडियन प्रति ^{सेकंड}

त्रिज्या (r) = 3 सेमी = 3 x ^10⁻² मीटर

वांछित: कण का कोणीय संवेग

समाधान:

कोणीय संवेग का समीकरण:

L = I ω

I = कोणीय संवेग, I = जड़त्व आघूर्ण, ω = कोणीय गति

कणों का जड़त्व आघूर्ण:

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

कोणीय संवेग:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 रेडियन s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. घूर्णी गति क्या है?
   • उत्तरघूर्णी गति से तात्पर्य किसी वस्तु की एक निश्चित अक्ष के चारों ओर की गति से है। यह एक ऐसी गति है जिसमें वस्तु का प्रत्येक बिंदु अक्ष के चारों ओर एक वृत्त में घूमता है।
2. घूर्णी गति में रेखीय वेग और कोणीय वेग के बीच क्या संबंध होता है?
   • उत्तर: रेखीय वेग ($v$किसी घूर्णनशील वस्तु में किसी बिंदु की दूरी ( ) उसके सीधे समानुपाती होती है।$r$घूर्णन अक्ष और कोणीय वेग से ($\omega$वस्तु का ) संबंध इस प्रकार दिया गया है: $v=r\cdot \omega$.
3. जड़त्व आघूर्ण क्या है, और यह घूर्णी गति से किस प्रकार संबंधित है?
   • उत्तरजड़त्व आघूर्ण, रेखीय गति में द्रव्यमान का घूर्णी समरूप है। यह किसी वस्तु की घूर्णी अवस्था में परिवर्तन के प्रति उसके प्रतिरोध को मापता है। जड़त्व आघूर्ण वस्तु के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के सापेक्ष उसके वितरण दोनों पर निर्भर करता है।
4. न्यूटन का गति का पहला नियम घूर्णी गति पर कैसे लागू होता है?
   • उत्तरजिस प्रकार कोई वस्तु रेखीय गति में तब तक गतिमान रहती है जब तक उस पर कोई बाह्य बल कार्य न करे, उसी प्रकार कोई वस्तु घूर्णी गति में तब तक उसी अवस्था में रहेगी जब तक उस पर कोई बाह्य बल कार्य न करे।
5. घूर्णन त्रिज्या का क्या महत्व है?
   • उत्तरघूर्णन त्रिज्या किसी वस्तु के द्रव्यमान के उसके घूर्णन अक्ष से दूर वितरण का माप प्रदान करती है। यह मूल रूप से यह वर्णन करती है कि अक्ष से कितनी दूरी पर वस्तु के संपूर्ण द्रव्यमान को केंद्रित करने पर उसका जड़त्व आघूर्ण मूल वितरण के समान ही रहेगा।
6. कोणीय संवेग क्या है और यह कैसे संरक्षित होता है?
   • उत्तरकोणीय संवेग, रेखीय संवेग का घूर्णी समतुल्य है। यह किसी वस्तु के जड़त्व आघूर्ण और उसके कोणीय वेग का गुणनफल होता है। एक बंद प्रणाली में, बाह्य बल लगने पर ही कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है, जो कोणीय संवेग के संरक्षण को दर्शाता है।
7. टॉर्क घूर्णी गति को कैसे प्रभावित करता है?
   • उत्तरटॉर्क बल का घूर्णी समतुल्य है। यह किसी वस्तु की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करता है। घूर्णन के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम द्वारा यह संबंध दिया गया है: $\tau =I\cdot \alpha$, जहां $\tau$ टॉर्क है, $I$ यह जड़त्व आघूर्ण है, और $\alpha$ यह कोणीय त्वरण है।
8. द्रव्यमान केंद्र और घूर्णन केंद्र में क्या अंतर है?
   • उत्तरयद्यपि ये दोनों बिंदु एक ही स्थान पर हो सकते हैं, लेकिन रैखिक गति में गणना के प्रयोजनों के लिए द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जहाँ किसी वस्तु का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है, जबकि घूर्णन केंद्र वह बिंदु (या अक्ष) है जिसके चारों ओर कोई वस्तु घूमती है।
9. घूर्णी गति में अभिकेन्द्र बल की क्या भूमिका है?
   • उत्तरअभिकेन्द्र बल किसी वृत्ताकार पथ पर गतिमान वस्तु पर लगने वाला कुल बल है, जो घूर्णन केंद्र की ओर निर्देशित होता है। यह बल वस्तु को उसके वक्र पथ पर बनाए रखने और जड़त्व के कारण उसे सीधी रेखा में गति करने से रोकने के लिए जिम्मेदार होता है।

10. घूर्णी गतिज ऊर्जा का जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग से क्या संबंध है?

    • उत्तरघूर्णी गतिज ऊर्जा किसी अक्ष के चारों ओर किसी वस्तु के घूर्णन के कारण उत्पन्न ऊर्जा है। इसे निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², जहां $I$ यह जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ यह कोणीय वेग है।