मुक्त पतन गति

मुक्त पतन गति के बारे में लेख

रोजमर्रा की जिंदगी में हम अक्सर ऐसी वस्तुएं देखते हैं जो मुक्त-पतन का अनुभव करती हैं, उदाहरण के लिए, पेड़ से गिरते फल, किसी निश्चित ऊंचाई से गिरने वाली वस्तुएं। वस्तुएं मुक्त-पतन का अनुभव क्यों करती हैं? पहली नजर में देखने पर ऐसा लगता है मानो वस्तु की गति स्थिर हो, या दूसरे शब्दों में कहें तो उसमें त्वरण नहीं होता। दरअसल, मुक्त रूप से गिरने वाली प्रत्येक वस्तु एक स्थिर त्वरण का अनुभव करती है। यही कारण है कि असमान रेखीय गति सहित सभी वस्तुएं मुक्त-पतन का अनुभव करती हैं। यह कैसे सिद्ध किया जा सकता है कि मुक्त-पतन का अनुभव करने वाली वस्तुएं स्थिर त्वरण का अनुभव करती हैं या उनकी गति बढ़ती है?

ज़मीन में दो कीलें गाड़ें और प्रत्येक कील पर अलग-अलग ऊँचाई से एक पत्थर गिराएँ। आप देखेंगे कि ऊँचाई से गिराई गई कीलें अन्य कीलों की तुलना में अधिक गहराई तक धंस जाती हैं। ज़मीन की सतह से पत्थर की ऊँचाई जितनी अधिक होगी, ज़मीन से टकराने पर उसकी गति उतनी ही अधिक होगी, जिससे वह कील को और गहराई तक धंसा देगा।

अतीत में, प्राकृतिक दर्शन में वस्तुओं के गिरने की गति एक बहुत ही रोचक विषय था। दार्शनिक अरस्तू ने एक बार कहा था कि अधिक द्रव्यमान वाली वस्तु हल्की वस्तुओं की तुलना में तेज़ी से गिरती है। अरस्तू के इस मत ने गैलीलियो के समय से पहले के लोगों के विचारों को प्रभावित किया, जो मानते थे कि अधिक द्रव्यमान वाली वस्तुएँ हल्की वस्तुओं की तुलना में तेज़ी से गिरती हैं और गिरने वाली वस्तुओं की गति वस्तु के द्रव्यमान के समानुपाती होती है। शायद इस विषय का अध्ययन करने से पहले आप भी ऐसा ही सोचते होंगे। उदाहरण के लिए, हम एक कागज़ का टुकड़ा और एक पत्थर को समान ऊँचाई से गिराते हैं। हमने जो परिणाम देखे, उनसे पता चला कि पत्थर कागज़ की तुलना में पहले ज़मीन पर गिरा। अब, मान लीजिए हम दो पत्थरों को समान ऊँचाई से गिराते हैं, जिनमें से एक पत्थर दूसरे से बड़ा है। दोनों पत्थर एक ही समय पर ज़मीन पर गिरे, जबकि पहले गिराए गए पत्थर और कागज़ में ऐसा नहीं था। हम पत्थरों और कागज़ के ढेलों को गिराकर भी प्रयोग कर सकते हैं।

गिरते हुए पत्थरों या कागज़ की गति को कौन प्रभावित करता है? वायु का घर्षण बल! वायु प्रतिरोध या घर्षण मुक्त-पतन गति को बहुत प्रभावित करता है। गैलीलियो ने प्रतिपादित किया कि यदि हवा या अन्य कोई बाधा न हो तो सभी वस्तुएँ समान त्वरण से गिरेंगी। गैलीलियो ने दावा किया कि सभी वस्तुएँ, चाहे भारी हों या हल्की, समान त्वरण से गिरती हैं, कम से कम यदि हवा न हो। गैलीलियो का मानना ​​था कि हवा उन अत्यंत हल्की वस्तुओं के लिए एक बाधा के रूप में कार्य करती है जिनका सतह क्षेत्र बड़ा होता है। लेकिन कई स्थितियों में, इस वायु प्रतिरोध को अनदेखा किया जा सकता है। एक ऐसे कमरे में जहाँ हवा को खींच लिया गया हो (निर्वात), कागज़ के टुकड़े जैसी हल्की वस्तुएँ, जिन्हें क्षैतिज रूप से रखा गया हो, अन्य वस्तुओं के समान त्वरण से गिरेंगी। गिरती हुई वस्तुओं की गति की हमारी समझ में गैलीलियो के योगदान को संक्षेप में इस प्रकार बताया जा सकता है:

पृथ्वी पर किसी विशेष स्थान पर और वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, सभी वस्तुएँ एक समान स्थिर त्वरण से गिरती हैं। हम इस त्वरण को गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाला त्वरण कहते हैं और इसे g से दर्शाते हैं। g का परिमाण लगभग 9.8 मीटर/सेकंड² है ^। अंग्रेजी प्रणाली की इकाइयों में, g का परिमाण लगभग 32 फुट/सेकंड² है ^। गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा पृथ्वी के केंद्र की ओर होती है।

मुक्त पतन गति की परिभाषा

किसी वस्तु को मुक्त पतन का अनुभव करने वाला तब कहा जाता है जब वह पृथ्वी के केंद्र के लंबवत गति करती है और इस गति के दौरान उस पर गुरुत्वाकर्षण का स्थिर त्वरण लगता है। यदि वस्तु पृथ्वी की सतह के निकट मुक्त पतन कर रही है, तो उस पर 9.8 m/s² का स्थिर गुरुत्वाकर्षण त्वरण लगता है ^।

और पृथ्वी के केंद्र की ओर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की दिशा (पृथ्वी की सतह के लंबवत)। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, g का मान 10 m/s² ^है ।

तीन अलग-अलग स्थितियाँ हैं:

1. वस्तुएँ बिना किसी प्रारंभिक गति (v _o ) के लंबवत नीचे की ओर गति करती हैं। उदाहरण के लिए, फल पेड़ से गिरने के बाद तने से अलग हो जाता है। गति की दिशा हमेशा नीचे की ओर होती है और वस्तु त्वरण का अनुभव करती है, जिससे g हमेशा धनात्मक होता है। कुछ भौतिकी की पुस्तकों में इसे मुक्त-पतन गति कहा जाता है।

2. वस्तु प्रारंभिक गति से लंबवत नीचे की ओर गति करती है (यहाँ v₀ है ₎ । उदाहरण के लिए, लंबवत नीचे की ओर फेंका गया पत्थर। गति की दिशा हमेशा नीचे की ओर होती है और वस्तु त्वरण का अनुभव करती है, इसलिए g हमेशा धनात्मक होता है। कुछ भौतिकी की पुस्तकों में इसे लंबवत नीचे की ओर गति कहा जाता है।

3. कोई वस्तु प्रारंभिक गति से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करती है, अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने के बाद, वह वस्तु वापस नीचे की ओर गति करने लगती है। मान लीजिए आप ऊर्ध्वाधर कंचे ऊपर की ओर फेंकते हैं और जब वे नीचे की ओर गति करते हैं तो उन्हें पकड़ लेते हैं। ऊपर की ओर गति करते समय, वस्तुएँ मंदन (ऋणात्मक g) का अनुभव करती हैं, जबकि ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गति करते समय, वस्तुएँ त्वरण (धनात्मक g) का अनुभव करती हैं। कुछ भौतिकी की पुस्तकों में इसे ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति कहा जाता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि कोई वस्तु उपरोक्त तीन स्थितियों में से किसी एक का अनुभव करती है, तो वस्तु को मुक्त-पतन गति कहा जाता है।

मुक्त पतन गति का समीकरण

मुक्त-पतन गति असमान रेखीय गति का एक उदाहरण है, इसलिए मुक्त-पतन गति का समीकरण मूल रूप से असमान रेखीय गति के समीकरण के समान ही होता है और इसे मुक्त-पतन गति की स्थितियों के अनुसार समायोजित किया जाता है।

h = ऊँचाई (मीटर), v _o = प्रारंभिक गति (मीटर/सेकंड), v _t = अंतिम गति (मीटर/सेकंड), t = समय (सेकंड), g = गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (मीटर/सेकंड) = 9.8 m/ ^s² या 10 m/ ^s² ।

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 10 m/s² (धनात्मक g, वस्तु नीचे की ओर गति करती है) स्थिर है, ^{जिसका} अर्थ है कि वस्तु की गति प्रत्येक 1 सेकंड में 10 m/s बढ़ जाती है। 2 सेकंड बाद, वस्तु की गति 20 m/s बढ़ जाती है। 3 सेकंड बाद, वस्तु की गति 30 m/s बढ़ जाती है। गुरुत्वाकर्षण का स्थिर मंदन 10 m/s² (ऋणात्मक g, वस्तु ऊपर की ओर गति करती है) स्थिर है, ^{जिसका} अर्थ है कि वस्तु की गति प्रत्येक 1 सेकंड में 10 m/s घट जाती है। 2 सेकंड बाद, वस्तु की गति 20 m/s घट जाती है। 3 सेकंड बाद, वस्तु की गति 30 m/s घट जाती है। स्थिर त्वरण या स्थिर मंदन केवल पृथ्वी की सतह के निकट ही होता है।

उदाहरण समस्या 1:

एक आम को छोड़ा जाता है और वह जमीन पर गिरता है। यदि प्रारंभिक स्थिति जमीन की सतह से 10 मीटर की दूरी पर है और आम का द्रव्यमान 5 ग्राम है, तो ज्ञात कीजिए:

(a) जमीन पर पहुँचने पर आम की गति

(ख) आम को जमीन तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल।

g = 9.8 m/ ^s²

उपाय:

ज्ञात मान: h = 10 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) मंगा के जमीन पर पहुंचने की गति

मुक्त पतन की गति के समीकरण में द्रव्यमान की गणना की जाती है।

b) हवा में समय अंतराल

उदाहरण समस्या 2:

एक वस्तु को एक निश्चित ऊँचाई से गिराया जाता है। ज्ञात कीजिए:

(a) वस्तु के त्वरण का परिमाण

(ख) वस्तु द्वारा पहले 2 सेकंड में तय की गई दूरी

(ग) 50 मीटर गिरने के बाद वस्तु की गति

(d) वस्तु को 20 मीटर/सेकंड की गति प्राप्त करने में कितना समय लगेगा?

(e) किसी वस्तु को 100 मीटर की दूरी तक गिरने में कितना समय लगेगा?

उपाय:

ज्ञात: g = 9.8 m/ ^s²

a) वस्तु के त्वरण का परिमाण

वस्तु का त्वरण = गुरुत्वाकर्षण का त्वरण = g = 9.8 m/ ^s²

b) वस्तु द्वारा पहले 2 सेकंड में तय की गई दूरी

ज्ञात मान: g = 9.8 m/s² ^, t = 2 s

आवश्यकता है: h

h = 1⁄2 gt ² = 1⁄2 (9.8)(2) ² = (4.9)(4) = 19.6 मीटर

(ग) 50 मीटर की दूरी से गिरने के बाद वस्तु की गति

ज्ञात मान: h = 50 m, g = 9,8 m/ ^s²

आवश्यकता है: v _t

d) किसी वस्तु को 20 मीटर/सेकंड की गति प्राप्त करने में कितना समय लगेगा?

ज्ञात मान: v _t = 20 m/s, g = 9,8 m/ ^s²

आवश्यकता है: टी

e) किसी वस्तु को 100 मीटर की दूरी तक गिरने में लगने वाला समय अंतराल

वांछित: h = 100 m, g = 9,8 m/ ^s²

समाधान: टी

नमूना समस्या 3:

एक पत्थर को 5 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से एक कुएँ में फेंका जाता है। यदि पत्थर 4 सेकंड के बाद पानी में गिरता है, तो ज्ञात कीजिए:

(a) पत्थर की गति जब वह पानी में गिरता है

(ख) कुएं की गहराई

उपाय:

a) पानी में गिरने पर पत्थर की गति

ज्ञात:

v _o = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/ ^s²

आवश्यकता है: v _t

v _t = v _o + g t

v _t = 5 m/s + (9.8 m/s² ⁾ (4 s) = 5 m/s + 39.2 m/s

v _t = 44.2 m/s

b) कुएं की गहराई

ज्ञात:

v _o = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/ ^s²

आवश्यकता है: h

h = v _o t + ½ gt ²

h = (5)(4) + ½ (9.8)(4) ²

h = 20 + (4.9)(16)

h = 20 + 78.4

h = 98.4 मीटर

उदाहरण समस्या 4:

50 मीटर ऊँची इमारत की छत से एक पैकेट को 10 मीटर/सेकंड की गति से लंबवत नीचे की ओर फेंका जाता है। ज्ञात कीजिए:

(क) हवा में बिताया गया समय

(ख) जमीन से टकराते समय पैकेज की गति

उपाय:

ए) हवाई यात्रा का समय

ज्ञात:

h = 50 मीटर, g = 9.8 मीटर/सेकंड² ^, v _o = 10 मीटर/सेकंड

आवश्यकता है: टी

h = v _o t + ½ gt ²

50 = 10 t + ½ (9.8) t ²

50 = 10 t + 4.9 t ²

4.9 t ² + 10 t – 50 = 0

द्विघात सूत्र का प्रयोग करें:

हवा में बिताया गया समय = 2.3 सेकंड

b) जमीन से टकराते समय पैकेज की गति

ज्ञात:

h = 50 मीटर, g = 9.8 मीटर/सेकंड² ^, v _o = 10 मीटर/सेकंड

आवश्यकता है: v _t

उदाहरण समस्या 5:

एक गेंद को 20 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उपाय:

ऊपर की ओर दिशा वाले सदिश की राशियाँ धनात्मक होती हैं, जबकि नीचे की ओर दिशा वाले सदिश की राशियाँ ऋणात्मक होती हैं। गेंद की प्रारंभिक स्थिति को संदर्भ बिंदु माना जाता है।

ज्ञात:

v _o = 20 m/s (प्रारंभिक गति की दिशा ऊपर की ओर है, गेंद को ऊपर की ओर फेंका गया है, इसलिए v _o धनात्मक है)

v _t = 0 m/s (अधिकतम ऊंचाई पर गेंद की गति 0 m/s है)

g = – 9.8 m/s² ⁽ गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की दिशा नीचे की ओर है, इसलिए g ऋणात्मक है)

आवश्यकता है: h

उदाहरण समस्या 6:

एक इमारत की छत से, जो जमीन से 100 मीटर ऊपर है, एक कंचा 20 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। ज्ञात कीजिए:

(ए) हवा में बिताया गया समय

(ख) जमीन से टकराते समय संगमरमर की गति

उपाय:

जिस स्थान से कंचा फेंका जाता है, उसे संदर्भ बिंदु माना जाता है; भवन की छत भी संदर्भ बिंदु है। ऊपर की ओर दिशा वाले सदिश का परिमाण धनात्मक होता है, जबकि नीचे की ओर दिशा वाले सदिश का परिमाण ऋणात्मक होता है।

ए) हवाई यात्रा में बिताया गया समय

ज्ञात:

h = – 100 मीटर (h ऋणात्मक है क्योंकि जमीन की सतह प्रारंभिक स्थिति या संदर्भ बिंदु से नीचे है)

v _o = 20 m/s (प्रारंभिक गति की दिशा ऊपर की ओर है, इसलिए v _o धनात्मक है)

g = – 9.8 m/s² ⁽ गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की दिशा नीचे की ओर है, इसलिए g ऋणात्मक है)

आवश्यकता है: टी

द्विघात सूत्र का उपयोग करें:

जमीन तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय

गेंद को फेंकने में 7 सेकंड का समय लगता है।

ख) जमीन की सतह से टकराते समय संगमरमर की गति

ज्ञात:

h = -100 मीटर (ऋणात्मक क्योंकि जमीन की सतह संदर्भ बिंदु या प्रारंभिक स्थिति से नीचे है)

v _o = 20 m/s (प्रारंभिक गति की दिशा ऊपर की ओर है, इसलिए v _o धनात्मक है)

g = -9.8 m/s² ⁽ गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की दिशा नीचे की ओर है, इसलिए g ऋणात्मक है)।

आवश्यकता है: v _t

मुक्त पतन गति के बारे में वैचारिक प्रश्न और उत्तर

1. मुक्त पतन क्या है?

   मुक्त पतन वह गति है जिसमें कोई वस्तु केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करती है, उस पर वायु प्रतिरोध जैसे कोई अन्य बल कार्य नहीं करते हैं।

2. गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण क्या है?

   गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण वह त्वरण है जो पृथ्वी की सतह के निकट स्वतंत्र रूप से गिरने पर किसी वस्तु द्वारा अनुभव किया जाता है। इसे आमतौर पर 'g' से दर्शाया जाता है और इसका अनुमानित मान 9.8 m/s² होता है।

3. प्रारंभिक वेग और समय दिए जाने पर मुक्त पतन गति में विस्थापन का सूत्र क्या है?

   सूत्र है h = ut + ½gt², जहाँ h विस्थापन (ऊंचाई) है, u प्रारंभिक वेग है, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है और t समय है।

4. मुक्त पतन के दौरान किसी वस्तु के वेग में क्या परिवर्तन होता है?

   मुक्त पतन के दौरान, गुरुत्वाकर्षण के स्थिर त्वरण के कारण किसी वस्तु का वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।

5. मुक्त पतन में, प्रारंभिक वेग और समय दिए जाने पर अंतिम वेग का सूत्र क्या है?

   सूत्र है v = u + gt, जहाँ v अंतिम वेग है, u प्रारंभिक वेग है और g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।

6. मुक्त पतन की स्थिति में किसी वस्तु के पथ के शिखर पर उसके वेग का क्या परिवर्तन होता है?

   अपनी पथयात्रा के शिखर पर, वस्तु का वेग क्षण भर के लिए शून्य हो जाता है।

7. मुक्त पतन की गति के संदर्भ में ऋणात्मक चिह्न क्या दर्शाता है?

   ऋणात्मक चिह्न आमतौर पर चुनी गई धनात्मक दिशा के विपरीत दिशा को दर्शाता है। संदर्भ के आधार पर, यह नीचे गिरने (यदि ऊपर धनात्मक है) या नीचे फेंके जाने (यदि ऊपर ऋणात्मक है) को इंगित कर सकता है।

8. मुक्त पतन में किसी वस्तु के अधिकतम ऊंचाई पर पहुंचने पर उसके त्वरण में क्या परिवर्तन होता है?

   मुक्त पतन में किसी वस्तु का अधिकतम ऊंचाई पर त्वरण g के बराबर रहता है (पृथ्वी की सतह के निकट लगभग -9.8 m/s²), जो नीचे की ओर इंगित करता है।

9. मुक्त पतन की गति पर वायु प्रतिरोध का क्या प्रभाव पड़ता है?

   वास्तव में, वायु प्रतिरोध किसी वस्तु के गिरने की गति को काफी हद तक धीमा कर सकता है, जिससे वह गति मुक्त पतन नहीं रह जाती। हालांकि, भौतिकी की कई समस्याओं में सरलता के लिए वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है।

10. मुक्त पतन की स्थिति में उड़ान का समय कितना होता है?

किसी वस्तु द्वारा हवा में बिताया गया कुल समय उड़ान काल कहलाता है। यदि कोई वस्तु समान ऊँचाई से प्रक्षेपित होकर उसी ऊँचाई पर गिरती है, तो उड़ान काल की गणना t = 2u/g सूत्र से की जा सकती है।

मुक्त पतन गति से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान

1. समस्या: 78.4 मीटर ऊँची चट्टान से एक पत्थर गिराया जाता है। पत्थर को जमीन तक पहुँचने में कितना समय लगेगा? उपाय: हम समीकरण h = ½gt² का उपयोग करते हैं। समय के लिए हल करने पर, t = √(2h/g) = √(2×78.4/9.8) = 4 s.
2. समस्या: एक गेंद को 19.6 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है। गेंद कितनी ऊँचाई तक जाएगी? उपाय: अधिकतम ऊँचाई पर (जहाँ अंतिम वेग 0 है) समीकरण h = v₀t – ½gt² का उपयोग करते हुए, ऊँचाई h = v₀² / (2g) = (19.6)² / (2×9.8) = 20 मीटर है।
3. समस्या: एक पत्थर को 10 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है। 2 सेकंड बाद उसका वेग क्या होगा? उपाय: समीकरण v = v₀ – gt से वेग v = 10 – 9.8×2 = -9.6 m/s प्राप्त होता है।
4. समस्या: एक सिक्के को कुएँ में गिराया जाता है और वह 3 सेकंड बाद पानी में गिरता है। कुएँ की गहराई कितनी है? उपाय: h = ½gt² का उपयोग करते हुए, गहराई h = ½x9.8×3² = 44.1 मीटर है।
5. समस्या: एक किताब मेज से गिरती है और 0.5 सेकंड बाद जमीन पर जा गिरती है। मेज की ऊंचाई कितनी थी? उपाय: h = ½gt² का उपयोग करते हुए, ऊँचाई h = ½x9.8x(0.5)² = 1.225 मीटर है।
6. समस्या: एक गेंद को 20 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है। यह अपनी अधिकतम ऊंचाई पर कब पहुंचेगी? उपाय: अधिकतम ऊँचाई पर, v = 0. t = (v – v₀) / -g को हल करने पर, समय t = (0 – 20) / -9.8 = 2.04 s.
7. समस्या: एक वस्तु 6 सेकंड तक गिरती है। उसकी अंतिम गति क्या होगी? उपाय: प्रारंभिक वेग v₀ = 0 के साथ v = v₀ + gt का उपयोग करते हुए, अंतिम वेग v = 0 + 9.8×6 = 58.8 m/s है।
8. समस्या: एक सेब पेड़ से गिरता है और जमीन पर गिरने में 1.5 सेकंड का समय लेता है। पेड़ की ऊंचाई कितनी थी? उपाय: h = ½gt² का उपयोग करते हुए, ऊँचाई h = ½x9.8x(1.5)² = 11 मीटर है।
9. समस्या: एक फुटबॉल को 25 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से लंबवत ऊपर की ओर उछाला जाता है। जमीन पर गिरने में कितना समय लगेगा? उपाय: अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय t = v₀ / g = 25 / 9.8 = 2.55 सेकंड। ज़मीन पर गिरने का कुल समय इसका दोगुना है, इसलिए t = 2×2.55 = 5.1 सेकंड।
10. समस्या: एक पत्थर को पुल से गिराया जाता है और वह 4 सेकंड बाद पानी में गिरता है। पुल की ऊंचाई कितनी है? उपाय: h = ½gt² का उपयोग करते हुए, ऊँचाई h = ½x9.8×4² = 78.4 मीटर है।
11. समस्या: एक रॉकेट को 50 मीटर/सेकंड की गति से सीधे ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। यह कितनी ऊंचाई तक जाएगा? उपाय: h = v₀² / (2g) का उपयोग करते हुए, ऊँचाई h = (50)² / (2×9.8) = 127.55 मीटर है।
12. समस्या: एक गेंद को 10 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से नीचे की ओर फेंका जाता है। 2 सेकंड बाद उसका वेग क्या होगा? उपाय: v = v₀ + gt का उपयोग करते हुए, वेग v = 10 + 9.8×2 = 29.6 m/s है।
13. समस्या: एक गेंद को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है और वह 6 सेकंड में जमीन पर वापस आ जाती है। उसका प्रारंभिक वेग क्या था? उपाय: v₀ = gt / 2 का उपयोग करते हुए (चूंकि कुल समय अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने के समय का दोगुना है), प्रारंभिक वेग v₀ = 9.8×6 / 2 = 29.4 मीटर/सेकंड।
14. समस्या: एक वस्तु 10 सेकंड तक गिरती है। वह कितनी दूरी तक गिरेगी? उपाय: h = ½gt² का उपयोग करते हुए, दूरी h = ½x9.8×10² = 490 मीटर है।
15. समस्या: एक मीनार से एक कंचा गिराया जाता है और जमीन पर गिरने में 5 सेकंड लगते हैं। मीनार की ऊंचाई कितनी है? उपाय: h = ½gt² का उपयोग करते हुए, ऊँचाई h = ½x9.8×5² = 122.5 मीटर है।
16. समस्या: एक बेसबॉल को 15 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। यह अपनी अधिकतम ऊंचाई पर कब पहुंचेगी? उपाय: अधिकतम ऊँचाई पर, v = 0. t = (v – v₀) / -g को हल करने पर, समय t = (0 – 15) / -9.8 = 1.53 s.
17. समस्या: एक वस्तु को गिराया जाता है और वह 7 सेकंड तक गिरती है। उसकी अंतिम गति क्या होगी? उपाय: प्रारंभिक वेग v₀ = 0 के साथ v = v₀ + gt का उपयोग करते हुए, अंतिम वेग v = 0 + 9.8×7 = 68.6 m/s है।
18. समस्या: एक पत्थर को 30 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है। 3 सेकंड बाद उसका वेग क्या होगा? उपाय: v = v₀ – gt सूत्र का उपयोग करते हुए, वेग v = 30 – 9.8×3 = 0.6 m/s है।
19. समस्या: एक पत्थर को चट्टान से गिराया जाता है और वह 8 सेकंड के बाद जमीन पर गिरता है। चट्टान की ऊंचाई कितनी है? उपाय: h = ½gt² का उपयोग करते हुए, ऊँचाई h = ½x9.8×8² = 313.6 मीटर है।

20. समस्या: एक तीर को 60 मीटर/सेकंड की गति से सीधा ऊपर की ओर छोड़ा जाता है। जमीन पर गिरने में कितना समय लगेगा? हल: अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय t = v₀ / g = 60 / 9.8 = 6.12 सेकंड। जमीन पर गिरने में लगने वाला कुल समय इसका दोगुना है, इसलिए t = 2×6.12 = 12.24 सेकंड।