बर्नौली का सिद्धांत और बर्नौली का समीकरण

बर्नौली सिद्धांत और बर्नौली समीकरण के बारे में लेख

जब हम मोटरसाइकिल चलाते हैं, तो हमारे कपड़े पीछे की ओर फूल जाते हैं। कभी-कभी, अगर तेज़ हवा चलती है, तो दरवाज़ा अपने आप बंद हो जाता है। हालाँकि हवा घर के बाहर चलती है, जबकि दरवाज़ा घर के अंदर होता है।

इसे बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करके समझाया जा सकता है। डैनियल बर्नौली (1700-1782) ने एक सिद्धांत की खोज की जिसका उपयोग उपरोक्त घटना की व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है।

बरनौली का सिद्धांत

बर्नौली का सिद्धांत कहता है कि जहाँ द्रव प्रवाह की गति अधिक होती है, वहाँ द्रव का दाब कम होता है। इसके विपरीत, यदि द्रव प्रवाह की गति कम होती है, तो द्रव का दाब अधिक होता है। जब कोई मोटरसाइकिल तेज़ी से चलती है, तो शरीर के आगे और बगल में हवा की गति अधिक होती है। इस प्रकार, वायु दाब कम हो जाता है। शरीर का पिछला भाग शरीर के आगे के भाग से ढका होता है, इसलिए शरीर के पिछले भाग में वायु की गति अधिक नहीं होती। परिणामस्वरूप, शरीर के पिछले भाग में वायु दाब अधिक हो जाता है। वायु दाब में अंतर के कारण, शरीर के पिछले भाग में जहाँ वायु दाब अधिक होता है, वहाँ से हवा आपकी कमीज़ को पीछे की ओर धकेलती है, जिससे आपके कपड़े पीछे की ओर फूले हुए दिखाई देते हैं।

घर के उस दरवाजे के बारे में क्या जो बाहर हवा चलने पर अपने आप बंद हो जाता है? घर के बाहर की हवा घर के अंदर की हवा से तेज़ चलती है। नतीजतन, घर के बाहर हवा का दबाव घर के अंदर के दबाव से कम होता है। दबाव के अंतर के कारण, जहां घर के अंदर हवा का दबाव अधिक होता है, वहां दरवाजा बाहर की ओर धकेल दिया जाता है। दूसरे शब्दों में, दरवाजे का पल्ला अधिक हवा के दबाव वाले स्थान से कम हवा के दबाव वाले स्थान की ओर खिसक जाता है।

बर्नौली का समीकरण

इससे पहले, हमने बर्नौली के सिद्धांत के बारे में पढ़ा था। बर्नौली ने इस सिद्धांत को मात्रात्मक रूप से भी विकसित किया था। बर्नौली के समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, हम यह मानते हैं कि द्रव प्रवाह स्थिर और स्तरित है, असंपीडित है, और श्यानता न्यूनतम है, इसलिए इसे अनदेखा किया जा सकता है।

निरंतरता समीकरण की चर्चा में हमने सीखा है कि द्रव प्रवाह दर प्रवाह नली के क्षेत्रफल पर भी निर्भर करती है। ऊपर वर्णित बर्नौली के सिद्धांत के आधार पर, द्रव दाब भी द्रव प्रवाह दर पर निर्भर करता है। द्रव दाब द्रव की ऊँचाई पर भी निर्भर करता है। दाब, प्रवाह दर और प्रवाह ऊँचाई के बीच संबंध बर्नौली समीकरण में प्राप्त किया जा सकता है।

बर्नौली का समीकरण महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका उपयोग विमान उड़ान, जलविद्युत संयंत्र, पाइपिंग सिस्टम आदि के विश्लेषण में किया जा सकता है। बर्नौली के समीकरण को सामान्य रूप से व्युत्पन्न करने के लिए, हम यह मानते हैं कि द्रव एक प्रवाह नली से होकर बहता है जिसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और ऊँचाई दोनों भिन्न-भिन्न हैं। बर्नौली समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, हम प्रवाह नली में द्रव पर कार्य और ऊर्जा के प्रमेय को लागू करते हैं।

नीचे दिए गए चित्र में प्रवाह नली में अपारदर्शी रंग तरल प्रवाह को दर्शाता है, जबकि सफेद रंग तरल की अनुपस्थिति को दर्शाता है।

_{अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 1 (बाईं ओर) में द्रव L₁} तक प्रवाहित होता है और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 2 (दाईं ओर) में द्रव को _L₂ तक प्रवाहित होने के लिए विवश करता है । क्योंकि दाईं ओर का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 2 छोटा है, इसलिए प्रवाह नली के दाईं ओर द्रव प्रवाह की गति अधिक होती है (निरंतरता के समीकरण को याद रखें)। इससे अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 2 (प्रवाह नली का दायां भाग) और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 1 (प्रवाह नली का बायां भाग) के बीच दाब अंतर उत्पन्न होता है – बर्नौली के सिद्धांत को याद रखें। अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 1 के बाईं ओर स्थित द्रव दाईं ओर स्थित द्रव पर दाब (P₁) डालता है और कार्य करता है _।

तब W1 _{समीकरण को} इस प्रकार लिखा जा सकता है:

डब्ल्यू ₁ = पी ₁ ए ₁ एल ₁

खंड 2 (प्रवाह नली के दाहिने भाग) में, द्रव पर किया गया कार्य है:

W ₂ = − p ₂ A ₂ L ₂

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि लगाया गया बल गति की दिशा के विपरीत है। अतः, द्रव अनुप्रस्थ काट 2 के दाईं ओर कार्य करता है। इसके अतिरिक्त, गुरुत्वाकर्षण बल भी द्रव पर कार्य करता है। उपरोक्त उदाहरण में, कुछ द्रव द्रव्यमान खंड 1 से L₁ तक खंड 2 में L₂ तक स्थानांतरित होते हैं _, जहाँ खंड ₁ में द्रव का आयतन (A₁L₁) खंड 2 में द्रव का आयतन (A₂L₂) है _। गुरुत्वाकर्षण द्वारा _{किया गया} कार्य _है :

W ₃ = − mg (h ₂ − h ₁ )

W ₃ = − mgh ₂ + mgh ₁ )

W ₃ = mgh ₁ − mgh ₂

द्रव के ऊपर की ओर बहने के कारण, जो गुरुत्वाकर्षण की दिशा के विपरीत है, ऋणात्मक चिह्न उत्पन्न होता है। अतः, द्रव पर किया गया कुल कार्य है:

W = W ₁ + W ₂ + W ₃

डब्ल्यू = पी₁ A₁ L₁ - पी₂ A₂ L₂ + एमजीएच₁ - एमजीएच₂

कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहता है कि किसी प्रणाली पर किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। अतः, हम कार्य (W) को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन (EK ₂ – EK ₁ ) से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

उपरोक्त समीकरण को पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है:

डब्ल्यू = पी₁ A₁ L₁ - पी₂ A₂ L₂ + एमजीएच₁ - एमजीएच₂

EK₂ ‐ ईके₁ = पी₁ A₁ L₁ - पी₂ A₂ L₂ + एमजीएच₁ - एमजीएच₂

1⁄2 एमवी₂² – 1⁄2 एमवी₁² = पी₁ A₁ L₁ - पी₂ A₂ L₂ + एमजीएच₁ - एमजीएच₂

वह द्रव द्रव्यमान जो L तक प्रवाहित होता है₁ अनुप्रस्थ काट A में₁ = द्रव का वह द्रव्यमान जो L तक प्रवाहित होता है₂ (अनुप्रस्थ अनुभाग ए)₂द्रव का द्रव्यमान, मान लीजिए m, का आयतन A है।₁ L₁ और अ₂ L₂ जहां एक₁ L₁ = ए₂ L₂ (L₂ L से लंबा है₁).

अब हम उपरोक्त समीकरण में m को m = ρ AL से प्रतिस्थापित करते हैं:

यह बर्नौली का समीकरण है। बर्नौली का समीकरण कार्य-ऊर्जा के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए यह ऊर्जा संरक्षण का एक रूप है।

P = दाब, ρ = घनत्व, v = द्रव की गति, g = गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, h = जमीन से पाइप की ऊंचाई।

बर्नौली समीकरण के उपरोक्त बाएँ और दाएँ खंड प्रवाह नली के अनुदिश कहीं भी स्थित दो बिंदुओं को संदर्भित कर सकते हैं, जिससे हम उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

अब आइए कुछ मामलों में बर्नौली समीकरण की समीक्षा करें।

स्थिर तरल पदार्थों में बर्नौली का समीकरण

बर्नौली समीकरण का विशेष मामला स्थिर द्रव के लिए है, जहाँ द्रव की कोई गति नहीं होती है। अतः, v ₁ = v ₂ = 0। स्थिर द्रव के मामले में, हम बर्नौली समीकरण को इस प्रकार सूत्रबद्ध कर सकते हैं:

यदि h ₂ – h ₁ = h हो, तो इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

p ₁ − p ₂ = ρ g (h ₂ − h ₁ )

p ₁ − p ₂ = ρ gh

समान ऊंचाई वाले पाइप पर बर्नौली का समीकरण

यदि पाइप की ऊंचाई समान हो, तो बर्नौली का समीकरण इस प्रकार बदल जाता है: