निरंतरता का समीकरण

निरंतरता के समीकरण के बारे में लेख

नल को धीरे-धीरे खोलें और नल से निकलने वाले पानी की गति पर ध्यान दें। अब तुलना करें कि नल का मुंह बंद होने पर पानी का बहाव तेज़ कहाँ होता है? ऐसा क्यों होता है? इसे समझने के लिए निरंतरता समीकरण का अध्ययन करें।

सुवीही

एक स्थिर धारा में, किसी बिंदु (मान लीजिए बिंदु A) पर प्रत्येक द्रव कण की गति हमेशा एक समान रहती है। बिंदु B से गुजरते समय द्रव कणों का वेग बदल सकता है। हालांकि, बिंदु B पर पहुंचने पर, पीछे से आने वाले द्रव कण उसी गति से प्रवाहित होते हैं जिस गति से उनके आगे वाले कण प्रवाहित होते हैं। यही स्थिति बिंदु C पर पहुंचने पर भी होती है, और इसी प्रकार आगे भी। प्रवाह रेखा एक वक्र है जो बिंदुओं A, B और C को जोड़ती है।

प्रवाह ट्यूब

हम द्रव प्रवाह के प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली प्रत्येक स्ट्रीमलाइन का वर्णन कर सकते हैं। यदि हम एक स्थिर द्रव प्रवाह को देखें, तो काल्पनिक सतह क्षेत्र पर एक विशेष कोण से गुजरने वाली कुछ स्ट्रीमलाइन एक प्रवाह नलिका बनाती हैं। कोई भी द्रव कण एक दूसरे को नहीं काटते बल्कि हमेशा समानांतर होते हैं, और प्रवाह नलिका एक पाइप के समान आकार की होती है। नलिका के एक सिरे से प्रवेश करने वाला द्रव दूसरे सिरे से बाहर निकल जाता है।

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नामे

डिस्चार्ज किसी निश्चित अनुप्रस्थ काट से किसी निश्चित समय अंतराल में प्रवाहित होने वाले द्रव की मात्रा को दर्शाता है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

डिस्चार्ज = द्रव की मात्रा / समय अंतराल

क्यू = वी / टी

आपकी समझ को बेहतर बनाने के लिए, हम एक उदाहरण का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक पाइप से तरल पदार्थ बहता है। पाइप आमतौर पर बेलनाकार होते हैं और उनका एक निश्चित अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल होता है। पाइप की लंबाई भी होती है।

जब कोई द्रव पाइप में L तक प्रवाहित होता है, तो पाइप में द्रव का आयतन V = AL होता है (V = द्रव का आयतन, A = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और L = पाइप की लंबाई)। चूंकि L लंबाई तक पाइप में प्रवाहित होने के लिए द्रव को एक निश्चित समय अंतराल की आवश्यकता होती है, इसलिए हम कह सकते हैं कि द्रव की मात्रा है:

क्योंकि v = s / t = L / t —> L = vt, उपरोक्त समीकरण इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:

इस प्रकार, जब कोई द्रव किसी निश्चित अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और लंबाई वाले पाइप से एक निश्चित अवधि के लिए प्रवाहित होता है, तो द्रव का निर्वहन (Q) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (A) को द्रव प्रवाह वेग (v) से गुणा करने के बराबर होता है।

निरंतरता का समीकरण

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए अनुसार, अलग-अलग व्यास वाले पाइप में द्रव प्रवाह की समीक्षा करें।

यह चित्र बाएं से दाएं तरल प्रवाह को दर्शाता है (तरल पदार्थ एक बड़े व्यास वाले पाइप से छोटे व्यास वाले पाइप की ओर बह रहा है)। बिंदीदार रेखा सुव्यवस्थित प्रवाह को दर्शाती है।

A ₁ = बड़े व्यास वाले पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, A ₂ = छोटे व्यास वाले पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, v ₁ = बड़े व्यास वाले पाइप में द्रव प्रवाह का वेग, v ₂ = छोटे व्यास वाले पाइप में द्रव प्रवाह का वेग, L = द्रव द्वारा तय की गई दूरी।

स्थिर प्रवाह में, किसी बिंदु पर द्रव कणों का वेग उस बिंदु से गुजरने वाले अन्य द्रव कणों के वेग के बराबर होता है। द्रव प्रवाह एक दूसरे को काटते भी नहीं हैं (रेखाएँ समानांतर होती हैं)। इसलिए, पाइप के एक सिरे से प्रवेश करने वाले द्रव का द्रव्यमान दूसरे सिरे से निकलने वाले द्रव के द्रव्यमान के बराबर होना चाहिए। यदि द्रव का द्रव्यमान अधिक व्यास वाले पाइप में प्रवेश करता है, तो कम व्यास वाले पाइप से निकलने वाले द्रव का द्रव्यमान भी उतना ही होगा।

अब ऊपर दिए गए पाइप के चित्र पर विचार करें। बड़े व्यास वाले पाइप और छोटे व्यास वाले पाइप की समीक्षा करें।

एक निश्चित समयावधि के दौरान, कुछ द्रव बड़े व्यास वाले पाइप के भाग (A _{1 ) से L 1} तक प्रवाहित होते हैं (L ₁ = v ₁ t)। प्रवाहित द्रव का आयतन V ₁ = A ₁ / L ₁ = A _{1 /} v ₁ t है। इसी समयावधि के दौरान, कुछ अन्य द्रव छोटे व्यास वाले पाइप के भाग (A _{2 ) से L 2} तक प्रवाहित होते हैं (L ₂ = v ₂ t)। प्रवाहित द्रव का आयतन V ₂ = A ₂ / L ₂ = A ₂ / v ₂ t है।

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असंपीड्य द्रवों के लिए निरंतरता का समीकरण

असंपीड्य द्रवों में, द्रव का घनत्व उसके द्वारा गुजरने वाले प्रत्येक बिंदु पर हमेशा समान रहता है। A1 (बड़े पाइप व्यास) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले पाइप में एक निश्चित समयावधि के दौरान प्रवाहित होने वाले द्रव का द्रव्यमान क्या होगा?

इसी प्रकार, किसी निश्चित समयावधि के दौरान A² अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (छोटे पाइप व्यास) _वाले पाइप में प्रवाहित होने वाले द्रव का द्रव्यमान होगा:

स्थिर प्रवाह में, प्रवेश करने वाले द्रव का द्रव्यमान बाहर निकलने वाले द्रव के द्रव्यमान के बराबर होता है, इसलिए:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

अतः, असंपीड्य द्रवों में निरंतरता का समीकरण इस प्रकार है :

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — समीकरण 1

A ₁ = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 1, A ₂ = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 2, v ₁ = खंड 1 में द्रव प्रवाह का वेग, v ₂ = खंड 2 में द्रव प्रवाह का वेग, A v = आयतन की प्रवाह दर (V / t) = निर्वहन।

समीकरण 1 दर्शाता है कि पाइप या प्रवाह नली के प्रत्येक बिंदु पर निर्वहन हमेशा समान रहता है। पाइप के अनुप्रस्थ काट के घटने पर द्रव प्रवाह दर बढ़ जाती है, जबकि पाइप के अनुप्रस्थ काट के बढ़ने पर द्रव प्रवाह दर कम हो जाती है।

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नल का मुंह बंद होने पर पानी का बहाव नल का मुंह खुला रहने की तुलना में अधिक तेज़ हो जाता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि नल का मुंह बंद होने पर उसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल कम हो जाता है, जिससे पानी का बहाव बढ़ जाता है। लेकिन यह जानना ज़रूरी है कि नल का मुंह बंद हो या खुला, पानी के बहाव की दर या प्रवाह दर हमेशा पानी के प्रवाह के हर बिंदु पर एक समान रहती है। तो फिर पानी के बहाव की दर में क्या बदलाव आता है?

तो फिर नदी में पानी के बहाव का क्या? नदी के गहरे हिस्से का अनुप्रस्थ काट उथले हिस्से की तुलना में बड़ा होता है, इसलिए गहरे हिस्से में पानी के बहाव की गति उथले हिस्से की तुलना में कम होती है।

संपीड्य द्रवों के लिए निरंतरता का समीकरण

संपीड़ित द्रव के लिए, द्रव का घनत्व हमेशा एक जैसा नहीं होता। दूसरे शब्दों में, संपीड़ित होने पर द्रव का घनत्व बदल जाता है। यदि द्रव संपीड़ित नहीं होता है, तो समीकरण से द्रव का घनत्व हटा दिया जाता है, इसलिए इस स्थिति में, द्रव का घनत्व समीकरण में शामिल है। पहले व्युत्पन्न किए गए समीकरण का संदर्भ लेते हुए, आइए संपीड़ित द्रव के लिए समीकरण व्युत्पन्न करें।

प्रवेश करने वाले द्रव का द्रव्यमान निकास करने वाले द्रव के द्रव्यमान के बराबर होता है, इसलिए:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

द्रव प्रवाह का अंतराल समान है, इसलिए इसे हटाया जा सकता है। समीकरण इस प्रकार परिवर्तित हो जाते हैं:

ρ ए ₁ वी ₁ = ρ ए ₂ वी ₂ → समीकरण 2

यह संपीड़ित द्रव का समीकरण है। अंतर द्रव के घनत्व में निहित है। यदि द्रव संपीड़ित होता है, तो घनत्व बदल जाता है। इसके विपरीत, यदि द्रव संपीड़ित नहीं होता है, तो घनत्व हमेशा समान रहता है, इसलिए इसे समीकरण से हटाया जा सकता है।

उदाहरण समस्या 1:

10 सेंटीमीटर व्यास वाले एक पाइप से 2 मीटर/सेकंड की गति से पानी बह रहा है। पानी का निकास कितना होगा?

ज्ञात :

पाइप का व्यास = 10 सेमी

पाइप की त्रिज्या (r) = 5 सेमी = 0.05 मीटर

पानी की गति (v) = 2 मीटर/सेकंड

आवश्यकता है: डेबिट

समाधान:

Q = A v

Q = ( π r ² ) (2 m/s)

Q = (3.14)(0.05 मीटर) ² (2 मीटर/सेकंड)

Q = (3.14)(0.0025 m ² )(2 m/s)

Q = 0.0157 मीटर ^/ सेकंड

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उदाहरण समस्या 2:

20 सेंटीमीटर व्यास वाली एक पाइप को 10 सेंटीमीटर व्यास वाली दूसरी पाइप से जोड़ा गया है। यदि 20 सेंटीमीटर व्यास वाली पाइप में पानी की गति 4 मीटर/सेकंड है, तो 10 सेंटीमीटर व्यास वाली पाइप में पानी की गति क्या होगी?

ज्ञात :

व्यास 1 = 20 सेमी (आर ₁ = 10 सेमी = 0.1 मीटर)

v ₁ = 4 m/s

व्यास 2 = 10 सेमी (आर ₂ = 5 सेमी = 0.05 मीटर)

वांटेड : v ₁

उत्तर :

प्रश्न ₁ = प्रश्न ₂

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

( π आर ₁₂ ) (4 मी/से) = (π आर ₂₂ ) (वी ₂ )

(0.1 मीटर) ² (4 मीटर/सेकंड) = (0.05 मीटर) ² (v ² )

(0.01 मीटर ² )(4 मीटर/सेकंड) = (0.0025 मीटर ² )(v ² )

(0.04 मीटर ³ /सेकंड) = (0.0025 मीटर ² )(v ² )

v ² = 16 m/s

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