बर्नौली सिद्धांत और बर्नौली समीकरण के अनुप्रयोग

बर्नौली सिद्धांत और बर्नौली समीकरण के अनुप्रयोगों के बारे में लेख

टोरिसेली का प्रमेय

बर्नौली समीकरण के उपयोगों में से एक किसी पात्र के तल से तरल पदार्थ के निकलने की गति की गणना करना है (चित्र देखें)।

हम बिंदु 1 (पात्र की सतह) और बिंदु 2 (छेद की सतह) पर बर्नौली समीकरण लागू करते हैं। क्योंकि पात्र के तल में बने छेद का व्यास पात्र के व्यास से बहुत छोटा है, इसलिए पात्र की सतह पर द्रव की गति शून्य मानी जाती है (v ₁ = 0)। पात्र की सतह और छेद की सतह खुली हैं, जिससे दाब वायुमंडलीय दाब के बराबर होता है (P ₁ = P ₂ )। अतः, इस स्थिति के लिए बर्नौली समीकरण इस प्रकार है:

यदि हम बर्तन के तल में स्थित छेद में तरल प्रवाह के वेग की गणना करना चाहते हैं, तो यह समीकरण इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:

द्रव का घनत्व समान है, इसलिए ρ की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

इस समीकरण के आधार पर, बर्तन की सतह से दूर स्थित छेद में पानी के प्रवाह की गति उतनी ही होती है जितनी कि

h दूरी तक मुक्त रूप से गिरने वाले जल की प्रवाह गति (मुक्त पतन की गति से तुलना करें)। इसे टोरिसेली का प्रमेय कहा जाता है। इस प्रमेय की खोज गैलीलियो के शिष्य टोरिसेली ने बर्नौली द्वारा समीकरण की खोज से एक शताब्दी पहले की थी।

वेंचुरी प्रभाव

टोरिसेली के प्रमेय के अलावा, बर्नौली समीकरण को अन्य विशेष मामलों में भी लागू किया जा सकता है, जैसे कि जब द्रव लगभग समान ऊंचाई वाले पाइप के एक भाग में प्रवाहित होता है। इस व्याख्या को समझने के लिए, नीचे दिए गए चित्र को देखें।

ऊपर दिए गए चित्र में ऐसा प्रतीत होता है कि पाइप की ऊंचाई, पाइप का वह भाग जिसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल अधिक है और

पाइप के जिस भाग का क्षेत्रफल छोटा है, उसका क्षेत्रफल लगभग समान है, जिससे ऊँचाई बराबर हो जाती है। यदि इस स्थिति में बर्नौली का समीकरण लागू किया जाए, तो वह इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:

जब द्रव पाइप के एक छोटे से हिस्से (A₂) से गुजरता है _, तो द्रव की गति बढ़ जाती है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, यदि द्रव की गति बढ़ती है, तो द्रव का दाब कम हो जाता है। पाइप के संकरे हिस्से में द्रव का दाब कम होता है, लेकिन द्रव की प्रवाह दर अधिक होती है।

इसे वेंचुरी प्रभाव के नाम से जाना जाता है और यह मात्रात्मक रूप से दर्शाता है कि यदि द्रव प्रवाह दर अधिक है, तो द्रव दाब कम हो जाता है। इसी प्रकार, यदि द्रव प्रवाह दर कम है, तो द्रव दाब अधिक हो जाता है।

वेंटुरी मीटर

वेंचुरी प्रभाव का एक रोचक अनुप्रयोग वेंचुरी मीटर है। इस उपकरण का उपयोग किसी द्रव की प्रवाह दर मापने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, पाइप से बहने वाले पानी या तेल की प्रवाह दर की गणना करने के लिए। वेंचुरी मीटर दो प्रकार के होते हैं: एक बिना मैनोमीटर वाला वेंचुरी मीटर और दूसरा पारे जैसे अन्य तरल पदार्थों वाले मैनोमीटर का उपयोग करने वाला वेंचुरी मीटर। दोनों का कार्य सिद्धांत समान है।

मैनोमीटर के बिना वेंचुरी मीटर

नीचे दिया गया चित्र एक वेंचुरी मीटर को दर्शाता है जिसका उपयोग पाइप में तरल पदार्थ की प्रवाह दर को मापने के लिए किया जाता है।

जब द्रव पाइप के एक छोटे से भाग (A₂) से गुजरता है _, तो द्रव की गति बढ़ जाती है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, यदि द्रव की गति बढ़ती है, तो द्रव का दाब कम हो जाता है। इस प्रकार, बड़े भाग में द्रव का दाब छोटे भाग में द्रव के दाब से अधिक होता है (P₁ _> P₂ ₎ । इसके बजाय, _v₂ > _v₁

क्योंकि P ₁ > P ₂ और v ₂ > v ₁ है, इसलिए इस समीकरण को इस प्रकार बदला जा सकता है:

समीकरण 1।

निरंतरता का समीकरण:

समीकरण 2।

यहां हम एक बड़े अनुप्रस्थ काट (v ₁ ) में द्रव की प्रवाह दर ज्ञात करना चाहते हैं। हम समीकरण 1 में v _{2 को} समीकरण 2 में _v 2 से प्रतिस्थापित करते हैं।

समीकरण 3।

किसी निश्चित गहराई पर द्रव दाब की गणना करने के लिए, निम्न समीकरण का उपयोग करें:

p = ρ gh → समीकरण a

यदि द्रव घनत्व में अंतर न्यूनतम है, तो विभिन्न ऊंचाइयों पर दाब में अंतर ज्ञात करने के लिए इस समीकरण का उपयोग करें। इस प्रकार, समीकरण a को इस प्रकार बदला जा सकता है:

Δ p = ρ g Δh

उपरोक्त मामले के लिए, इस समीकरण को इस प्रकार बदला जा सकता है:

पी ₁ - पी ₂ = ρ gh → समीकरण बी

अब हम समीकरण 3 में p ₁ – p _{2 को} समीकरण b में p ₁ – p _{2 से प्रतिस्थापित करते हैं:}

क्योंकि द्रव एक ही है, इसलिए घनत्व भी एक ही होगा। समीकरण से ρ को हटा दें।

पिटोट ट्यूब

यदि वेंचुरी मीटर का उपयोग द्रव की प्रवाह दर मापने के लिए किया जाता है, तो पिटोट ट्यूब का उपयोग गैस या वायु की प्रवाह दर मापने के लिए किया जाता है। बिंदु 1 पर स्थित छेद वायु प्रवाह के समानांतर होता है। इन दोनों छेदों की स्थिति पिटोट ट्यूब के सिरे से इतनी दूरी पर रखी जाती है कि छेद के बाहर वायु की प्रवाह दर और दाब, मुक्त रूप से प्रवाहित वायु की प्रवाह दर और दाब के बराबर हो। इस स्थिति में, v₁ = मुक्त प्रवाह वाली हवा की प्रवाह दर (यही हम मापेंगे) और मैनोमीटर के बाएं सिरे (बाएं पाइप) पर दबाव = मुक्त प्रवाह वाली हवा का दबाव (P)₁).

मैनोमीटर के दाहिने पैर की ओर जाने वाला छेद वायु प्रवाह के लंबवत है। इसलिए, इस छेद (मध्य भाग) से होकर बहने वाली वायु की दर कम हो जाती है और बिंदु 2 पर पहुँचने पर वायु रुक जाती है। इस स्थिति में, v₂ ₌ 0। मैनोमीटर के दाहिने पैर पर दाब बिंदु 2 पर वायु दाब (P₂) के बराबर होता है _। बिंदु 1 और बिंदु 2 की ऊँचाई लगभग समान है (अंतर बहुत अधिक नहीं है) इसलिए इसे अनदेखा किया जा सकता है।

दाब में अंतर (P ₂ – P ₁ ) = मैनोमीटर में द्रव का जलस्थैतिक दाब (मैनोमीटर में काला रंग द्रव, पारा को दर्शाता है)। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

पी ₂ - पी ₁ = ρ 'घ → समीकरण 2

ρ '= मैनोमीटर में द्रव का घनत्व

समीकरण 1 और समीकरण 2। बायां खंड समान है (P ₂ – P ₁ )। इसलिए, समीकरण 1 और 2 को इस प्रकार बदला जा सकता है:

पिपेट की मदद से पिएं

क्या आपने कभी पिपेट से पानी पिया है? जब हम पिपेट से पानी पीते हैं, तो पिपेट में मौजूद हवा की गति बढ़ जाती है। इस स्थिति में, हमारे मुंह के पास वाले पिपेट में हवा की गति अधिक होती है। परिणामस्वरूप, पिपेट के उस हिस्से में हवा का दबाव कम हो जाता है जो पेय पदार्थ के करीब होता है। पेय पदार्थ के पास वाले पिपेट के हिस्से में हवा की गति कम होती है। गति कम होने के कारण दबाव अधिक होता है। हवा के दबाव में इस अंतर के कारण ही पानी हमारे मुंह में बहता है। इस स्थिति में, तरल पदार्थ पिपेट के उस हिस्से से जहां हवा का दबाव अधिक होता है, उस हिस्से की ओर बढ़ता है जहां हवा का दबाव कम होता है।

चिमनी

क्या आपने कभी चिमनी देखी है? धुआं चिमनी से ऊपर क्यों जाता है? सबसे पहले, दहन से उत्पन्न धुएं का तापमान बहुत अधिक होता है। उच्च तापमान के कारण, हवा का घनत्व कम होता है। कम घनत्व वाली हवा आसानी से ऊपर की ओर तैरती या गति करती है। कारण केवल यही नहीं है। इसमें बर्नौली का सिद्धांत भी शामिल है।

दूसरा, बर्नौली का सिद्धांत कहता है कि यदि वायु प्रवाह की दर अधिक हो तो दाब कम हो जाता है, अन्यथा यदि वायु प्रवाह की दर कम हो तो दाब अधिक हो जाता है। चिमनी का ऊपरी सिरा खुले में है। चिमनी के ऊपरी सिरे पर हवा चल रही है, जिससे उसके आसपास का वायु दाब कम है। एक बंद कमरे में हवा नहीं चलती, इसलिए वायु दाब अधिक होता है। अतः धुआँ चिमनी से बाहर निकल गया। हवा अधिक दाब वाले स्थान से कम दाब वाले स्थान की ओर चलती है।

जमीन में चूहे का बिल

नीचे दिए गए चित्र पर ध्यान दें। यह जमीन में बने चूहे के बिल का चित्र है। चूहे भी बर्नौली के सिद्धांत को जानते हैं। सांस फूलने से मरना उन्हें अच्छा नहीं लगता, इसलिए वे अलग-अलग ऊंचाइयों पर दो बिल बनाते हैं। जमीन की सतह की ऊंचाई में अंतर के कारण, हवा आपस में टकराती है। यह वैसा ही है जैसे पानी एक बड़े व्यास वाले पाइप से बहकर एक छोटे व्यास वाले पाइप में जाता है। इस प्रकार, हवा की गति बढ़ जाती है और वायु दाब कम हो जाता है।

वायु दाब में अंतर होने के कारण, हवा चूहे के बिल से होकर बहने के लिए विवश होती है। हवा उस स्थान से बहती है जहाँ वायु दाब अधिक होता है, उस स्थान की ओर जहाँ वायु दाब कम होता है।

हवाई जहाज के पंख और गतिशील उत्प्लावन

विमान के उड़ने का एक मुख्य कारण उसके पंख होते हैं। पंखों का आकार घुमावदार होता है और उनका आगे का भाग पीछे के भाग से मोटा होता है। इस आकार को एयरोफॉयल कहते हैं। यह विचार पक्षियों के पंखों से प्रेरित है। पक्षियों के पंखों का आकार भी इसी प्रकार का होता है (उनके पंख घुमावदार होते हैं और आगे का भाग मोटा होता है)। अंतर यह है कि पक्षियों के पंख फड़फड़ाए जा सकते हैं, जबकि विमानों के पंख नहीं फड़फड़ाए जा सकते। पक्षी अपने पंख फड़फड़ाकर उड़ते हैं, जिससे पंखों के दोनों ओर हवा का प्रवाह होता है। विमान के पंखों के दोनों ओर हवा का प्रवाह होने के लिए विमान को आगे की ओर चलाना आवश्यक है। मनुष्य विमानों को चलाने के लिए मशीनों का उपयोग करते हैं।

पंख का अगला भाग ऊपर की ओर मुड़ा हुआ होता है। नीचे से आने वाली हवा ऊपर की हवा से टकराती है। यह वैसा ही है जैसे पानी एक चौड़े अनुप्रस्थ काट वाले पाइप से पतले अनुप्रस्थ काट वाले पाइप में बहता है। परिणामस्वरूप, पंख के ऊपर हवा का प्रवाह बढ़ जाता है। क्योंकि हवा का प्रवाह बढ़ने से वायु दाब कम हो जाता है। इसके विपरीत, पंख के नीचे वायु प्रवाह की दर कम होती है क्योंकि हवा टकराती नहीं है (वायु दाब अधिक होता है)। इस दाब अंतर के कारण ही विमान के पंख ऊपर उठते हैं।

बर्नौली का सिद्धांत केवल एक कारक है। एक अन्य कारण संवेग है। आमतौर पर, विमान का पंख थोड़ा ऊपर की ओर झुका होता है। पंख की निचली सतह से टकराने वाली हवा नीचे की ओर विक्षेपित हो जाती है। चूंकि विमान में बाएँ और दाएँ दो पंख होते हैं, इसलिए नीचे की ओर विक्षेपित हवा आपस में टकराती है। टकराने वाली हवा के आणविक संवेग में परिवर्तन से अतिरिक्त उत्प्लावन बल उत्पन्न होता है।

क्योंकि पंख पूंछ की ओर नीचे की ओर मुड़े होते हैं, इसलिए पंख के दबाव से हवा फिर से नीचे की ओर बहने लगती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, क्योंकि एक क्रिया बल होता है, इसलिए एक प्रतिक्रिया बल भी होता है। पंख हवा को नीचे की ओर धकेलते हैं, इसलिए हवा को भी पंखों को ऊपर की ओर धकेलना पड़ता है। इस स्थिति में, हवा पंख पर उत्प्लावन बल लगाती है। अतः, विमान के उत्प्लावन का कारण केवल बर्नौली का सिद्धांत ही नहीं है।