कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम कहा कि यदि परिणामी बल आघूर्ण किसी घूर्णनशील कठोर वस्तु में इसका मान शून्य होता है। कोनेदार गति एक कठोर वस्तु निरंतर घूर्णी गति में है। कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम का सूत्र न्यूटन के गति के द्वितीय नियम के कोणीय संवेग के सूत्र को संशोधित करके गणितीय रूप से प्राप्त किया जा सकता है।
न्यूटन के दूसरे नियम का यह कोणीय संवेग संस्करण सूत्र का घूर्णी सादृश्य है। न्यूटन के दूसरे नियम का संवेग संस्करण.
यदि परिणामी बल आघूर्ण शून्य है, तो उपरोक्त सूत्र इस प्रकार परिवर्तित हो जाता है:
टिप्पणी:
समस्या का उदाहरण:
1. घूर्णी गति में एक कण का जड़त्व आघूर्ण 4 kg m² है।2 कण का कोणीय वेग 2 रेडियन/सेकंड है। यदि कण का कोणीय वेग 4 रेडियन/सेकंड हो जाता है, तो कण का जड़त्व आघूर्ण कितना बदल जाएगा?
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण = 4 kg m2
प्रारंभिक कोणीय वेग = 2 रेडियन/सेकंड
अंतिम कोणीय गति = 4 रेडियन/सेकंड
पूछा : अंतिम जड़त्व आघूर्ण?
जवाबी :
कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम कहता है कि:
प्रारंभिक कोणीय संवेग (L)o) = अंतिम कोणीय संवेग (Lt)
(प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण)(प्रारंभिक कोणीय गति) = (अंतिम जड़त्व आघूर्ण)(अंतिम कोणीय गति)
(4 किलोग्राम मीटर)2)(2 रेडियन/सेकंड) = (अंतिम जड़त्व आघूर्ण)(4 रेडियन/सेकंड)
अंतिम जड़त्व आघूर्ण = 2 kg m2
2. 2 किलोग्राम द्रव्यमान वाला एक कण घूर्णन अक्ष के चारों ओर 2 मीटर की दूरी से 2 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूमता है। यदि घूर्णन अक्ष से कण की दूरी बदलकर 1 मीटर हो जाती है, तो कण का कोणीय वेग ज्ञात कीजिए!
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
कण का द्रव्यमान = 2 किलोग्राम
घूर्णन अक्ष से कण की दूरी (1) = 2 मीटर
प्रारंभिक कोणीय वेग = 2 रेडियन/सेकंड
घूर्णन अक्ष से कण की दूरी (2) = 1 मीटर
पूछा अंतिम कोणीय वेग?
जवाबी :
कण के जड़त्व आघूर्ण (I) की गणना कीजिए।
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण (I अवाल) :
I अवाल = श्रीमान2 = (2 कि.ग्रा.)(2 मीटर)2 = (2 कि.ग्रा.)(4 मी2) = 8 kg m2
अंतिम जड़त्व आघूर्ण (I आखिर) :
I आखिर = श्रीमान2 = (2 कि.ग्रा.)(1 मी.)2 = (2 कि.ग्रा.)(1 मी.)2) = 2 kg m2
अंतिम कोणीय वेग की गणना कीजिए।
कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम :
प्रारंभिक कोणीय संवेग = अंतिम कोणीय संवेग
(प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण)(प्रारंभिक कोणीय गति) = (अंतिम जड़त्व आघूर्ण)(अंतिम कोणीय गति)
(8 किलोग्राम मीटर)2)(2 रेडियन/सेकंड) = (2 किलोग्राम मीटर2(अंतिम कोणीय वेग)
अंतिम कोणीय गति = 8 रेडियन/सेकंड
3. एक समरूप बेलनाकार डिस्क प्रारंभ में अपनी अक्ष पर 4 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूम रही है। डिस्क का द्रव्यमान और त्रिज्या क्रमशः 1 किलोग्राम और 0,5 मीटर है। जब डिस्क घूम रही होती है, तो उसके ऊपर 0,2 किलोग्राम द्रव्यमान और 0,1 मीटर त्रिज्या वाली एक वलय रखी जाती है, जिससे डिस्क और वलय एक साथ घूमते हैं। वलय का केंद्र डिस्क के केंद्र के ठीक ऊपर स्थित है। डिस्क और वलय का कोणीय वेग ज्ञात कीजिए!
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
प्रारंभिक कोणीय गति = ठोस सिलेंडर की कोणीय गति = 4 रेडियन/सेकंड
ठोस सिलेंडर का द्रव्यमान = 1 किलोग्राम
ठोस बेलन की त्रिज्या = 0,5 मीटर
रिंग का द्रव्यमान = 0,2 किलोग्राम
वलय की त्रिज्या = 0,1 मीटर
पूछा क्या अंतिम कोणीय गति = वलय और ठोस सिलेंडर की कोणीय गति है?
जवाबी :
समरूप ठोस बेलन के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है: I = ½ mr2
किसी वलय के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र = I = mr2
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण = ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण:
मैं = ½ श्रीमान2 = ½ (1 कि.ग्रा.)(0,5 मीटर)2 = (0,5 कि.ग्रा.)(0,25 मी2) = 0,125 kg m2
अंतिम जड़त्व आघूर्ण = ठोस सिलेंडर का जड़त्व आघूर्ण + वलय का जड़त्व आघूर्ण:
वलय का जड़त्व आघूर्ण = I = mr2 = (0,2 कि.ग्रा.)(0,1 मीटर)2 = (0,2 कि.ग्रा.)(0,01 मी2) = 0,002 kg m2
अंतिम जड़त्व आघूर्ण = 0,125 kg m2 + 0,002 kg m2 = 0,127 किलोग्राम मीटर2
कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम :
प्रारंभिक कोणीय संवेग (L)o) = अंतिम कोणीय संवेग (Lt)
(प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण)(प्रारंभिक कोणीय गति) = (अंतिम जड़त्व आघूर्ण)(अंतिम कोणीय गति)
(0,125 किलोग्राम मीटर)2)(4 रेडियन/सेकंड) = (0,127 किलोग्राम मीटर2(अंतिम कोणीय वेग)
0,5 किलो मीटर2/s = (0,127 kg m2(अंतिम कोणीय वेग)
अंतिम कोणीय गति = 0,5 / 0,127
अंतिम कोणीय गति = 4 रेडियन/सेकंड
