स्थिति सदिशों पर चर्चा करने वाली समस्याओं का उदाहरण
सदिश गणित और भौतिकी की एक मूलभूत अवधारणा है, जो दिशा और परिमाण दोनों को दर्शाने वाली राशियों का प्रतिनिधित्व करती है। विभिन्न अनुप्रयोगों में, सदिशों का उपयोग अक्सर स्थिति, वेग, बल और कई अन्य मापदंडों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। विभिन्न प्रकार के सदिशों में, स्थिति सदिश अंतरिक्ष में किसी बिंदु के स्थान का मानचित्रण करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
स्थिति सदिश की परिभाषा
स्थिति सदिश एक ऐसा सदिश है जो निर्देशांक प्रणाली में मूल बिंदु के सापेक्ष किसी बिंदु की स्थिति का वर्णन करता है। सामान्यतः, स्थिति सदिश को कार्तीय निर्देशांक रूप में इस प्रकार लिखा जाता है:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
यहां, \(\mathbf{r}\) स्थिति सदिश है, \(x\), \(y\), और \(z\) क्रमशः \(x\), \(y\), और \(z\) अक्षों के अनुदिश इसके घटक हैं, जबकि \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), और \(\mathbf{k}\) क्रमशः निर्देशांक अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, \(z\) घटक सामान्यतः अस्तित्व में नहीं होता है, इसलिए स्थिति सदिश इस प्रकार हो जाता है:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
स्थिति सदिश अनुप्रयोग
उदाहरण के लिए, भौतिकी में, वस्तुओं की गति का वर्णन करने में स्थिति सदिशों की महत्वपूर्ण भूमिका होती है। मूल बिंदु (संदर्भ बिंदु) के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति को स्थिति सदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, यांत्रिक अभियांत्रिकी में, बलों और आघूर्णों की गणना में अक्सर स्थिति सदिशों का उपयोग शामिल होता है।
स्थिति सदिशों से संबंधित उदाहरण प्रश्न और चर्चा
प्रश्न 1
मान लीजिए त्रिविमीय अंतरिक्ष में दो बिंदु हैं, बिंदु A जिसके निर्देशांक (1, 2, 3) हैं और बिंदु B जिसके निर्देशांक (4, 0, -2) हैं। बिंदु A और B के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। इसके अतिरिक्त, बिंदु A को बिंदु B से जोड़ने वाले सदिश की गणना कीजिए।
बहस:
बिंदु A के लिए स्थिति सदिश:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
बिंदु B के लिए स्थिति सदिश:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
इसके बाद, बिंदु A को बिंदु B से जोड़ने वाले सदिश (जिसे \(\mathbf{AB}\) कहते हैं) को ज्ञात करने के लिए, हमें बिंदु B के स्थिति सदिश से बिंदु A के स्थिति सदिश को घटाना होगा:
[ AB = r_B – r_A]
अतः, उपरोक्त दो स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
अतः, बिंदु A से B को जोड़ने वाला सदिश \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \) है।
प्रश्न 2
यदि एक बिंदु P 2D समतल में \((2, 3)\) पर स्थित है, तो स्थिति सदिश \(\mathbf{r_P}\) की लंबाई (मानदंड) ज्ञात कीजिए।
बहस:
बिंदु P का स्थिति सदिश:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
स्थिति सदिश \(\mathbf{r_P}\) की लंबाई की गणना सदिश मानदंड (या लंबाई) सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
x और y के मानों को प्रतिस्थापित करें:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
अतः, स्थिति सदिश \(\mathbf{r_P}\) की लंबाई \(\sqrt{13}\) है।
प्रश्न 3
मान लीजिए कि एक बिंदु Q, \( (5, -4, 2) \) पर स्थित है। स्थिति सदिश \(\mathbf{r_Q}\) और \(x\) अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
बहस:
बिंदु Q का स्थिति सदिश:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
सदिश \(\mathbf{r_Q}\) और \(x\) अक्ष के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम डॉट प्रोडक्ट की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं। सबसे पहले, हम \(\mathbf{r_Q}\) और \(\mathbf{i}\) के बीच डॉट प्रोडक्ट निर्धारित करते हैं:
_
चूंकि \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), और \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), तो:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\) का मानदंड:
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\) का मानदंड 1 है, क्योंकि \(\mathbf{i}\) एक इकाई सदिश है।
डॉट प्रोडक्ट फॉर्मूला का उपयोग करके कोण \(\theta\) ज्ञात करना:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
[ 5 = 3√5 cosθ ]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
[ cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
अतः स्थिति सदिश r_Q और x अक्ष के बीच का कोण θ इस प्रकार है:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
निष्कर्ष
स्थिति सदिश विज्ञान और इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, विशेष रूप से निर्देशांक स्थान में वस्तुओं की स्थिति का मानचित्रण करने में। ऊपर दिए गए उदाहरणों से पता चलता है कि स्थिति सदिश, उनकी लंबाई और निर्देशांक अक्षों के साथ उनके कोण की गणना कैसे की जाती है। इन मूलभूत अवधारणाओं को समझना गणित और भौतिकी में स्थान और निर्देशांक से संबंधित विभिन्न समस्याओं को हल करने में अमूल्य है।
