व्युत्क्रम सदिशों पर चर्चा करने वाली समस्याओं का उदाहरण
सदिश एक गणितीय वस्तु है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। सदिशों के अध्ययन में, हमें अक्सर विशिष्ट गुणों वाले सदिशों का सामना करना पड़ता है। सदिशों की एक मूलभूत अवधारणा व्युत्क्रम सदिश, या ऋणात्मक सदिश है। यह लेख व्युत्क्रम सदिशों के उदाहरणों और चर्चा को प्रस्तुत करेगा।
व्युत्क्रम सदिशों को समझना
व्युत्क्रम सदिश, जिसे अक्सर ऋणात्मक सदिश कहा जाता है, एक ऐसा सदिश होता है जिसका परिमाण मूल सदिश के समान होता है लेकिन दिशा विपरीत होती है। यदि किसी सदिश को \(\vec{a}\) से दर्शाया जाता है, तो उसका व्युत्क्रम सदिश \(-\vec{a}\) होता है। गणितीय रूप से, यदि \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) है, तो \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\) होगा।
उदाहरण प्रश्न 1
दिए गए सदिश \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) का व्युत्क्रम सदिश ज्ञात कीजिए।
बहस:
\(\vec{a}\) के व्युत्क्रम सदिश को निर्धारित करने के लिए, हमें बस इसके प्रत्येक सदिश घटक को ऋणात्मक में बदलना होगा:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
अतः, \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) का व्युत्क्रम सदिश \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\) है।
उदाहरण प्रश्न 2
मान लीजिए कि सदिश \(\vec{b} = (7, -5, 0)\) है। \(\vec{b}\) का व्युत्क्रम सदिश ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\) है।
बहस:
सबसे पहले, हम \(\vec{b}\) के व्युत्क्रम सदिश को परिभाषित करते हैं:
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
इसके बाद, हम यह सत्यापित करते हैं कि सदिश \(\vec{b}\) और उसके व्युत्क्रम सदिश का योग शून्य सदिश में परिणत होता है:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
हम वेक्टर के घटकों को जोड़ते हैं:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
अतः, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), यह सिद्ध होता है कि सदिश \(\vec{b}\) और उसके व्युत्क्रम सदिश के योग का परिणाम शून्य सदिश होता है।
उदाहरण प्रश्न 3
दिए गए सदिशों \(\vec{u} = (2, -1)\) और \(\vec{v} = (-2, 1)\) के लिए, क्या \(\vec{u}\) सदिश \(\vec{v}\) का व्युत्क्रम सदिश है?
बहस:
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या \(\vec{u}\) और \(\vec{v}\) व्युत्क्रम सदिश हैं, हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या \(\vec{v} = -\vec{u}\) है।
\(-\vec{u}\) की गणना करें:
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
पता चलता है कि \(-\vec{u} = \vec{v}\), इसका मतलब है कि वेक्टर \(\vec{u}\) वास्तव में वेक्टर \(\vec{v}\) का व्युत्क्रम वेक्टर है।
उदाहरण प्रश्न 4
यदि सदिश \(\vec{w}\) का परिमाण 5 ज्ञात हो और दिशा सदिश \(\vec{p} = (4, 3)\) के विपरीत हो, तो \(\vec{w}\) को घटक रूप में ज्ञात कीजिए।
बहस:
सबसे पहले, हम सदिश \(\vec{p}\) का परिमाण ज्ञात करते हैं:
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
चूंकि \(\vec{w}\) का परिमाण \(\vec{p}\) के समान है लेकिन दिशा विपरीत है, तो:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
अतः, घटक रूप में सदिश \(\vec{w}\) इस प्रकार है: \(\vec{w} = (-4, -3)\).
उदाहरण प्रश्न 5
बिंदु A(2, 3) और बिंदु B(4, 7) दिए गए हैं। बिंदु A से बिंदु B तक का स्थिति सदिश और उस सदिश का विपरीत सदिश ज्ञात कीजिए।
बहस:
बिंदु A से बिंदु B तक का स्थिति सदिश:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
\(\vec{AB}\) का व्युत्क्रम सदिश:
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
अतः, स्थिति सदिश \(\vec{AB} = (2, 4)\) का व्युत्क्रम सदिश \(-\vec{AB} = (-2, -4)\) है।
उदाहरण प्रश्न 6
एक सदिश (\vec{m} = (x, y)\) दिया गया है और इसका व्युत्क्रम सदिश (\vec{m}\) = (-5, 12)\) है। x और y के मान ज्ञात कीजिए।
बहस:
\(\vec{m}\) का व्युत्क्रम सदिश \( (-x, -y) \) है, और समस्या के अनुसार, \((-x, -y) = (-5, 12)\) है।
वेक्टर घटकों का मिलान करके, हमें प्राप्त होता है:
\[
-x = -5 \implies x = 5
\]
\[
-y = 12 \implies y = -12
\]
अतः, x का मान 5 है और y का मान -12 है।
निष्कर्ष
व्युत्क्रम सदिश वे सदिश होते हैं जिनका परिमाण समान होता है लेकिन दिशा विपरीत होती है। व्युत्क्रम सदिशों की अवधारणा को समझकर हम सदिशों से संबंधित विभिन्न समस्याओं को हल कर सकते हैं, जैसे किसी सदिश का ऋणात्मक मान ज्ञात करना, सदिशों के योग को शून्य सिद्ध करना इत्यादि। ऊपर दिए गए उदाहरण प्रश्नों की चर्चा से व्युत्क्रम सदिशों के साथ कार्य करने के हमारे ज्ञान और समझ में वृद्धि होने की उम्मीद है।
