घटक विधि द्वारा सदिश योग पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न
सदिश योग भौतिकी और गणित में दो या दो से अधिक सदिशों का परिणामी ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त एक मूलभूत प्रक्रिया है। सदिश योग को हल करने की घटक-वार विधि विशेष रूप से उपयोगी है, विशेषकर दो या तीन आयामों में सदिशों से निपटने के दौरान। यह लेख घटक-वार सदिश योग की अवधारणा को स्पष्ट करेगा और कई उदाहरण समस्याएँ और उनके हल प्रस्तुत करेगा।
घटकीय सदिश योग की अवधारणा
दो-आयामी (2D) अंतरिक्ष में प्रत्येक सदिश को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: एक x (क्षैतिज) घटक और एक y (ऊर्ध्वाधर) घटक। तीन आयामों (3D) में, सदिशों का एक अतिरिक्त घटक होता है, जिसे z (गहराई) घटक कहते हैं।
मान लीजिए हमारे पास दो सदिश A और B हैं। इन सदिशों के घटकों को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
– वेक्टर A के 2D में \(A_x\) और \(A_y\) घटक होते हैं (या 3D में \(A_z\) भी हो सकते हैं)।
– वेक्टर B के 2D में \(B_x\) और \(B_y\) घटक होते हैं (या 3D में \(B_z\) भी)।
इन दोनों सदिशों के योग से एक परिणामी सदिश R प्राप्त होगा जिसके निम्नलिखित घटक होंगे:
[ R_x = A_x + B_x \]
[ R_y = A_y + B_y \]
3D में सदिशों के लिए, z घटक भी निम्नलिखित होता है:
[ R_z = A_z + B_z \]
परिणामी सदिश के प्रत्येक घटक की गणना करने के बाद, हम निम्न सूत्र का उपयोग करके परिणामी सदिश का मापांक (परिमाण) और दिशा ज्ञात कर सकते हैं:
[ |R| = √R_x^2 + R_y^2} ] (2D के लिए)
या 3डी के लिए:
[ |R| = √R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
और परिणामी सदिश की दिशा को निर्देशांक अक्षों के साथ कोण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।
Contoh Soal dan Pembahasan
प्रश्न 1
दो आयामी समतल में दिए गए दो सदिशों को देखते हुए:
– A पूर्व दिशा में \(5 \, \text{unit}\) है।
– B उत्तर की ओर \(3 \, \text{unit}\) है.
परिणामी सदिश R ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
सबसे पहले, हम वेक्टर को उसके संबंधित घटकों में परिवर्तित करते हैं।
– वेक्टर A : \(A = (5, 0)\) क्योंकि इसमें केवल x घटक है।
– वेक्टर B : \(B = (0, 3)\) क्योंकि इसमें केवल y घटक है।
यहां घटकों का योग दिया गया है:
[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
तब परिणामी सदिश R इस प्रकार होगा:
[ R = (5, 3) \]
सदिश R की लंबाई (मापांक) की गणना करने के लिए:
[ |R| = √5^2 + 3^2} = √25 + 9 = √34 ≈ 5.83 ]
सदिश R की दिशा की गणना x-अक्ष के साथ कोण θ का उपयोग करके की जा सकती है:
[ tan(θ) = R_y{R_x} = 3{5} ]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
इस प्रकार, परिणामी सदिश R की लंबाई लगभग 5.83 इकाई है और यह x-अक्ष के साथ 30.96° का कोण बनाता है।
प्रश्न 2
तीन आयामों में दो सदिश दिए गए हैं:
– A है \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B है \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
परिणामी सदिश R ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
सबसे पहले, हम प्रत्येक वेक्टर के घटकों की पहचान करते हैं:
– वेक्टर A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– वेक्टर B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
यहां घटकों का योग दिया गया है:
[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
तब परिणामी सदिश R इस प्रकार होगा:
[ R = (4, 6, 3) \]
सदिश R की लंबाई (मापांक) की गणना करने के लिए:
[ |R| = √4^2 + 6^2 + 3^2} = √16 + 36 + 9} = √61 ≈ 7.81 \]
x, y और z अक्षों के सापेक्ष सदिश R की दिशा की गणना निर्देशक के कोसाइन का उपयोग करके की जा सकती है:
[ cos(α) = R_x{|R|} = 4{7.81} ≈ 0.512 ]
[ α = √cos(0.512) ∈ 59.50^√circ ]
[ cos(β) = R_y{|R|} = 6{7.81} ≈ 0.768 ]
[ β = √cos(0.768) √39.50^√circ]
[ cos(γ) = R_z {|R|} = 3 {7.81} ≈ 0.384 ]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \approx 67.64^\circ \]
इस प्रकार, परिणामी सदिश R की लंबाई लगभग 7.81 इकाई है और x, y और z अक्षों के सापेक्ष इसकी दिशाएँ क्रमशः 59.50°, 39.50° और 67.64° हैं।
प्रश्न 3
दो सदिश दिए गए हैं:
– P का परिमाण 4 इकाई है और यह धनात्मक x-अक्ष के साथ 45° का कोण बनाता है।
– Q का परिमाण 6 इकाई है और यह धनात्मक x-अक्ष के साथ 120° का कोण बनाता है।
परिणामी सदिश R ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
सबसे पहले, हम वेक्टर को उसके x और y घटकों में विभाजित करते हैं:
– वेक्टर P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– वेक्टर Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
यहां घटकों का योग दिया गया है:
[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
तब, परिणामी सदिश R इस प्रकार होगा:
[ R = (-0.17, 8.03) \]
सदिश R की लंबाई (मापांक) की गणना करने के लिए:
[ |R| = √(-0.17)² + 8.03² = √0.0289 + 64.48 = √64.509 ≈ 8.03 ]
सदिश R की दिशा:
[ tan(θ) = R_y{R_x} = 8.03{-0.17} = -47.24 ]
[ θ = चापन(-47.24) लगभग -88.99^\circ ]
हालांकि, यह कोण ऋणात्मक x-अक्ष के सापेक्ष मापा जाता है, इसलिए समस्या के संदर्भ में वास्तविक कोण यह है:
[ 180^\circ – 88.99^\circ \approx 91.01^\circ \]
इस प्रकार, परिणामी सदिश R की लंबाई लगभग 8.03 इकाई है और यह धनात्मक x-अक्ष के साथ 91.01° का कोण बनाता है।
इस लेख में घटक-वार सदिश योग पर चर्चा की गई है, जिसमें कई उदाहरण समस्याएं और उनके समाधान दिए गए हैं। घटक-वार विधि गणनाओं को सरल बनाने और अंतरिक्ष के गणितीय आयाम में सदिश समस्याओं को हल करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करने में बहुत उपयोगी है।
