सदिश घटाव के उदाहरण प्रश्न और चर्चा
पेंडाहुलुआन
गणित और भौतिकी में, सदिश एक मूलभूत अवधारणा है जिसका उपयोग कई प्राकृतिक और इंजीनियरिंग घटनाओं की व्याख्या करने के लिए किया जाता है। सदिश एक ऐसी राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। विस्थापन, वेग, त्वरण और बल सदिश के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। इस लेख में, हम सदिश घटाव पर चर्चा करेंगे, हालांकि इस विषय पर अक्सर सदिश संयोजन के संदर्भ में जोर दिया जाता है।
सदिश घटाव एक मूलभूत संक्रिया है जो सदिश विश्लेषण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस अवधारणा को गहराई से समझने के लिए, आइए सदिश घटाव से संबंधित कुछ उदाहरण समस्याओं और चर्चाओं की समीक्षा करें।
वेक्टर घटाव
सदिश घटाव {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} को सदिश {\displaystyle \mathbf{A}} में सदिश {\displaystyle -\mathbf{B}} को जोड़ने की क्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ {\displaystyle -\mathbf{B}} एक ऐसा सदिश है जिसका परिमाण {\displaystyle \mathbf{B}} के समान है, लेकिन दिशा विपरीत है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ{ए} - मैथबीएफबी} = मैथबीएफए + (-मैथबीबीबी})
Contoh Soal dan Pembahasan
प्रश्न 1: दो-आयामी सदिशों का घटाव
मान लीजिए कि कार्टेशियन निर्देशांकों में दो सदिश हैं:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} और {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} की गणना कीजिए।
बहस:
पहला चरण {\displaystyle \mathbf{B}} का ऋणात्मक सदिश ज्ञात करना है, अर्थात्:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
इसके बाद, सदिश {\displaystyle \mathbf{A}} को {\displaystyle -\mathbf{B}} के साथ जोड़ें:
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ{ए} – मैथबीएफबी} = (4, 3) + (-1, -2)}
प्रत्येक x और y घटक को जोड़कर सदिश योग करें:
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ{ए} - मैथबीएफबी} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ{ए} – मैथबीएफबी} = (3, 1)}
अतः, सदिश {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} को घटाने का परिणाम सदिश (3, 1) है।
प्रश्न 2: त्रि-आयामी सदिशों का घटाव
तीन आयामी निर्देशांकों में दिए गए दो सदिशों को देखते हुए:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} और {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} की गणना कीजिए।
बहस:
पहला चरण {\displaystyle \mathbf{Q}} का ऋणात्मक सदिश ज्ञात करना है:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
इसके बाद, सदिश {\displaystyle \mathbf{P}} को {\displaystyle -\mathbf{Q}} के साथ जोड़ें:
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ {पी} - मैथबीएफ क्यू = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
प्रत्येक x, y और z घटक को जोड़कर सदिश योग करें:
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ {पी} - मैथबीएफ क्यू = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ {पी} - मैथबीएफ क्यू = (5, -9, -1)}
अतः, सदिश {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} को घटाने का परिणाम सदिश (5, -9, -1) है।
प्रश्न 3: जटिल समतल में सदिश घटाव
मान लीजिए कि दो सदिश जटिल संख्याओं द्वारा दर्शाए गए हैं:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} और {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} की गणना कीजिए।
बहस:
पहला चरण {\displaystyle \mathbf{N}} का ऋणात्मक सदिश ज्ञात करना है:
{डिस्प्लेस्टाइल -मैथबीएफ{एन} = -1 – 2आई}
इसके बाद, सदिश {\displaystyle \mathbf{M}} को {\displaystyle -\mathbf{N}} के साथ जोड़ें:
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ {एम} - मैथबीएफ एन} = (3 + 4आई) + (-1 - 2आई)}
प्रत्येक वास्तविक और काल्पनिक घटक को जोड़कर सदिश योग करें:
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ {एम} - मैथबीएफ एन} = (3 + (-1)) + (4आई + (-2आई))}
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ {एम} - मैथबीएफ एन} = 2 + 2आई}
अतः, सदिशों {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} को घटाने का परिणाम जटिल संख्या 2 + 2i है।
प्रश्न 4: ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में सदिश घटाव
मान लीजिए कि ध्रुवीय निर्देशांकों में दो सदिश हैं:
{\displaystyle \mathbf{U}} का परिमाण 5 है और कोण 30° है।
और {\displaystyle \mathbf{V}} का परिमाण 3 है और कोण 150° है।
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} की गणना करें।
बहस:
पहला चरण वैक्टर {\displaystyle \mathbf{U}} और {\displaystyle \mathbf{V}} को कार्टेशियन निर्देशांकों में परिवर्तित करना है।
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ{यू}} के लिए:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
इसलिए कार्टेशियन में {\displaystyle \mathbf{U}} (4.33, 2.5) है।
{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ{वी}} के लिए:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
इसलिए कार्टेशियन में {\displaystyle \mathbf{V}} (-2.598, 1.5) है।
अगला चरण, कार्टेशियन में वेक्टर घटाव की गणना करें:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
यानी वेक्टर के ऋणात्मक मान को जोड़कर:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
अतः, कार्टेशियन निर्देशांकों में सदिश {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} को घटाने का परिणाम (6.928, 1) है।
निष्कर्ष
सदिश घटाव कई गणितीय क्षेत्रों में एक आवश्यक गणितीय संक्रिया है जहाँ सदिश विश्लेषण का उपयोग होता है। चाहे द्वि-आयामी, त्रि-आयामी, जटिल या ध्रुवीय निर्देशांक प्रणालियाँ हों, मूल सिद्धांत एक ही रहता है: एक सदिश को दूसरे के ऋणात्मक में जोड़ना। ऊपर दिए गए उदाहरण विभिन्न संदर्भों में इस संक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोग दर्शाते हैं, जिससे हमें इस अवधारणा को अधिक गहराई से और व्यावहारिक रूप से समझने में सहायता मिलती है।
