लघुगणकीय फलनों पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

लघुगणकीय फलनों पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

लघुगणक गणित, विशेषकर बीजगणित और विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह घातांकों से घनिष्ठ रूप से संबंधित है और इसका उपयोग अक्सर घातांकीय समीकरणों को हल करने और विभिन्न वैज्ञानिक एवं इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में किया जाता है। इस लेख में लघुगणक से संबंधित कई सामान्य समस्याओं पर चर्चा की जाएगी, साथ ही प्रत्येक समस्या का विस्तृत विवरण भी दिया जाएगा।

लघुगणक का परिचय

लघुगणक घातांकों का व्युत्क्रम होता है। यदि हमारे पास घातांकीय समीकरण \(b^y = x\) है, तो इसका लघुगणकीय रूप \(y = \log_b{x}\) है, जिसका अर्थ है "y, आधार b पर x का लघुगणक है"। कुछ सामान्यतः प्रयुक्त लघुगणक प्राकृतिक लघुगणक (आधार \(e\)) और दशमलव लघुगणक (आधार 10) हैं।

लघुगणकों के गुणधर्म

लघुगणक के कुछ बुनियादी गुण निम्नलिखित हैं जिनका उपयोग अक्सर समस्याओं को हल करने में किया जाता है:

1. गुणनफल का लघुगणक:
\[
log_b{(xy)} = log_b{x} + log_b{y}
\]

2. भागफल का लघुगणक:
\[
log_b{(\frac{x}{y})} = log_b{x} – log_b{y}
\]

3. घातांक का लघुगणक:
\[
log_b{(x^a)} = a \cdot log_b{x}
\]

4. लघुगणकीय आधार में परिवर्तन:
\[
log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}
\]

Contoh Soal dan Pembahasan

1. प्रश्न 1:

(log_2{32} का मान ज्ञात कीजिए)।

बहस:

हम जानते हैं कि \(32\) को \(2^5\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः:
\[
log₂₃² = log₂(2⁵) = 5 ⋅ log₂²
\]
चूँकि \(\log_2{2} = 1\):
\[
log₂₃₂ = 5 ⋅ 1 = 5
\]
अतः, \( \log_2{32} \) का मान 5 है।

2. प्रश्न 2:

यदि \( \log_3{x} = 4 \), तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।

बहस:

लघुगणक की परिभाषा के आधार पर, \( \log_3{x} = 4 \) को घातांकीय रूप में पुनः लिखा जा सकता है:
\[
3^4 = x
\]
\(3^4\) की गणना करना:
\[
3 ^ 4 = 81
\]
अतः, x का मान 81 है।

3. प्रश्न 3:

एक समीकरण दिया गया है \( \log_{10}{x} = -2 \)। \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।

बहस:

लघुगणकीय रूप को घातांकीय रूप में परिवर्तित करें:
\[
10^{-2} = x
\]
\(10^{-2}\) की गणना करना:
\[
10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01
\]
अतः, x का मान 0.01 है।

4. प्रश्न 4:

(log_5{(125 ⋅ 25)} का मान ज्ञात कीजिए।

बहस:

हम जानते हैं कि \(125 = 5^3\) और \(25 = 5^2\)। तो:
\[
log_5{(125 \cdot 25)} = log_5{(5^3 \cdot 5^2)}
\]
लघुगणकों के गुणनफल के गुणों के आधार पर:
\[
log_5{(5^3 \cdot 5^2)} = log_5{5^5}
\]
लघुगणकीय घातों के गुणों का उपयोग करते हुए:
\[
log₅ = 5 ⋅ log₅
\]
चूँकि \(\log_5{5} = 1\):
\[
5 ✓ 1 = 5
\]
अतः, \( \log_5{(125 \cdot 25)} \) का मान 5 है।

5. प्रश्न 5:

\( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) का मान ज्ञात कीजिए।

बहस:

हम जानते हैं कि \(8 = 2^3\) और \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\)। तो:
\[
log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} = log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})}
\]
लघुगणकों के गुणनफल के गुणों के आधार पर:
\[
log₂{(2³ ⋅ 2¹/²) = log₂{(2³ + 1/²) = log₂{(2³.5)
\]
लघुगणकीय घातों के गुणों का उपयोग करते हुए:
\[
log₂(2³.5) = 3.5 ⋅ log₂²
\]
चूँकि \(\log_{2}{2} = 1\):
\[
3.5 ✓ 1 = 3.5
\]
अतः, \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) का मान 3.5 है।

6. प्रश्न 6:

यदि \( \log_4{y} – \log_4{2} = 3 \), तो \( y \) का मान ज्ञात कीजिए।

बहस:

लघुगणकीय भागफल के गुणों के आधार पर:
\[
log_4{(\frac{y}{2})} = 3
\]
लघुगणकीय रूप को घातांकीय रूप में परिवर्तित करें:
\[
4^3 = \frac{y}{2}
\]
\(4^3\) की गणना करना:
\[
4 ^ 3 = 64
\]
इसलिए:
\[
64 = \frac{y}{2}
\]
इसलिए:
\[
y = 64 ⋅ 2 = 128
\]
अतः, \( y \) का मान 128 है।

7. प्रश्न 7:

( log_{6}{\frac{1}{36}} \) का मान ज्ञात कीजिए।

बहस:

हम जानते हैं कि \(36 = 6^2\)। तो:
\[
\log_{6}{\frac{1}{36}} = \log_{6}{(6^{-2})}
\]
लघुगणकीय घातों के गुणों का उपयोग करते हुए:
\[
log₆(6⁻²) = -2 ⋅ log₆6
\]
चूँकि \(\log_{6}{6} = 1\):
\[
-2 ✓ 1 = -2
\]
अतः, \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \) का मान -2 है।

निष्कर्ष

लघुगणक विभिन्न वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में एक अत्यंत उपयोगी गणितीय उपकरण है। लघुगणक के मूलभूत गुणों को समझने से कई समस्याओं को हल करना आसान हो जाता है। इस लेख में कई समस्याओं का वर्णन किया गया है और विभिन्न संदर्भों में अक्सर सामने आने वाले लघुगणकों पर चर्चा की गई है। इन अवधारणाओं का अभ्यास और समझना लघुगणक विषय में महारत हासिल करने में बहुत सहायक होगा।