यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर आधारित उदाहरण प्रश्न

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर आधारित प्रश्नों के 16 उदाहरण

मुक्त पतन गति में यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम

1. 2 किलोग्राम द्रव्यमान का एक नारियल 6 मीटर की ऊंचाई से स्वतंत्र रूप से गिरता है। जमीन पर पहुँचने पर नारियल की गतिज ऊर्जा होगी… g = 10 m/s²²
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
नारियल का द्रव्यमान (मी) = 2 किलोग्राम
ऊँचाई (h) = 6 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गतिज ऊर्जा (EK)
जवाबी :

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
यदि कोई वस्तु मुक्त पतन में है, तो उसका कोई प्रारंभिक वेग नहीं होता। क्योंकि कोई प्रारंभिक वेग नहीं है, इसलिए कोई प्रारंभिक गतिज ऊर्जा भी नहीं है। प्रारंभ में, वस्तु 6 मीटर की ऊंचाई पर है, इसलिए स्पष्ट रूप से, वस्तु में प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा है। अतः, प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM) है_o) गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP) है।
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(6) = 120 जूल

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
नीचे की ओर गति करते समय, वस्तु की ऊँचाई घटती है, जिससे उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा भी घटती है। गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा नष्ट नहीं होती बल्कि गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। जब वस्तु जमीन पर पहुँचती है, तो उसकी ऊँचाई जमीन की ऊँचाई के बराबर हो जाती है (h = 0), इसलिए उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है (h = 0, अतः EP = mgh = 0)। सारी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। इस प्रकार, अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM) है_t) गतिज ऊर्जा (EK) है।
EM_t = ईके = ½ एमवी²

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम :
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
EM_o = ईएम_t
ईपी = ईके
120 = ईके
जब नारियल जमीन पर पहुंचता है तो उसकी गतिज ऊर्जा 100 जूल होती है।

2. 2 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक गेंद निर्बाध गिरावट चित्र में दर्शाए गए स्थान A से। (g = 10 ms)^-2बिंदु B पर पहुँचने पर, गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा की दोगुनी होती है, इसलिए जमीन से बिंदु B की ऊँचाई…

ए. 80 मीटर
बी. 70 मीटर
सी. 60 मीटर
डी. 40 मीटर
पूर्व 30 मीटर

विचार-विमर्श
ज्ञात है :
गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ms^-2
ऊंचाई A (h_A) = 90 मीटर
पूछा : ऊँचाई B (h_B)
जवाबी :

जब गेंद बिंदु B पर पहुँचती है, तो बिंदु B पर गेंद की गतिज ऊर्जा, बिंदु B पर गेंद की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के 2 गुना के बराबर होती है।
EK = 2 EP
½ एमवी² = 2 मिलीग्राम जीएच_B
½ वी² = 2 जीएच_B
v² = 2(2)(10) h_B
v² = 40 घंटे_B
हितुंग केसेपाटन (v) गेंद जब बिंदु A से गिरने के बाद बिंदु B पर पहुँचती है।
v² = 2 gh = 2(10)(90–h_B) = 20(90–h_B)
v को बदलें² उपरोक्त समीकरण में v के साथ² इस समीकरण में।
v² = 40 घंटे_B
20(90–h_B) = 40 घंटे_B
1800-20 h_B = 40 घंटे_B
1800 = 40 घंटे_B + 20 घंटे_B
1800 = 60 घंटे_B
h_B = 1800/60
h_B = 30 मीटर
सही उत्तर E है।

3. 1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक वस्तु 80 मीटर ऊँची बहुमंजिला इमारत की छत से स्वतंत्र रूप से गिरती है। यदि वायु के साथ घर्षण को अनदेखा किया जाए और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) 10 m/s² हो, तो² अतः वस्तु की गतिज ऊर्जा जब वह जमीन की सतह पर पहुँचती है, तो वह होगी...
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
द्रव्यमान (मीटर) = 1 किग्रा
ऊँचाई (h) = 80 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा (EK) जब वह वस्तु जमीन की सतह पर पहुँचती है
जवाबी :
वस्तुएँ स्वतंत्र रूप से गिरती हैं, इसलिए वस्तु की कोई प्रारंभिक गति नहीं होती। अतः, जब वह 80 मीटर की ऊँचाई पर होती है, तो वस्तु में गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा होती है, परन्तु गतिज ऊर्जा नहीं होती (v = 0, अतः EK = ½ mv²)।² = 0)। अतः प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (ईपी)।

EM _o = EP = mgh = (1)(10)(80) = 800 जूल

मुक्त पतन के दौरान, गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। जब कोई वस्तु जमीन से टकराती है, तो उसकी सारी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। इसलिए, जब वह जमीन पर पहुँचती है, तो वस्तु में गतिज ऊर्जा तो होती है, लेकिन गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा नहीं होती (h = 0, अतः EP = mgh = 0)। इसलिए, अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM _t ) = गतिज ऊर्जा (EK)

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
EM_o = ईएम_t
ईपी = ईके
800 = ईके
जब वस्तु जमीन पर पहुंचती है तो उसकी गतिज ऊर्जा (EK) 800 जूल होती है।

4. एक वस्तु जमीन से 10 मीटर की ऊंचाई से स्वतंत्र रूप से गिरती है। यदि वस्तु का द्रव्यमान 4 किलोग्राम है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ms⁻² ^है , तो जमीन से 5 मीटर की ऊंचाई पर वस्तु की गतिज ऊर्जा और गति क्या होगी?

विचार-विमर्श
ज्ञात है :
ऊंचाई में परिवर्तन (h) = 10 – 5 = 5 मीटर
द्रव्यमान (मीटर) = 4 किग्रा
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा : 5 मीटर की ऊंचाई पर किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा
जवाबी :
(a) 5 मीटर की ऊंचाई पर किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = (4)(10)(5) = 200 जूल
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = ईके
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
EM_o = ईएम_t
200 = ईके
जमीन से 5 मीटर की ऊंचाई पर स्थित किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा 200 जूल है।

(ख) 5 मीटर की ऊंचाई पर वस्तु की गति
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t)
ईपी = ईके
200 = ½ मील प्रति घंटा²
2(200) / 4 = v²
100 = वी²
वी = √100
v = 10 मीटर/सेकंड
वस्तु की गति 10 मीटर/सेकंड है।

5. एक आम 2 मीटर की ऊंचाई से स्वतंत्र रूप से गिरता है। यदि g = 10 ms^{- 2}आम के जमीन पर गिरने से ठीक पहले उसकी गति की गणना यांत्रिक ऊर्जा के नियम का उपयोग करके करें।
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
ऊँचाई (h) = 2 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा जमीन पर गिरने से ठीक पहले आम की गति (क्रिया)
जवाबी :
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP)
EM_o = ईपी = एमजीएच = एम (10)(2) = 20 एम
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = ईके = ½ एमवी²
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
EM_o = ईएम_t
20 मीटर = ½ मील प्रति घंटा²
20 = ½ v²
2(20) = v²
40 = वी²
v = √40 = √(4)(10) = 2√10 मीटर/सेकंड
जमीन पर गिरने से ठीक पहले आम की गति 2√10 मीटर/सेकंड है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारी गणनाओं में हमने वायु घर्षण को अनदेखा किया है। वास्तविकता में, यदि कोई वस्तु पृथ्वी की सतह पर स्वतंत्र रूप से गिरती है, तो वायु घर्षण भी उसकी गति को प्रभावित करता है, जिसके परिणामस्वरूप गति उपरोक्त गणना से कम होती है।

ऊपर और नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर गति में यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम

6. 1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक वस्तु को 40 मीटर ऊँची इमारत के किनारे से 2 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से लंबवत नीचे की ओर फेंका जाता है। जब वस्तु जमीन से 10 मीटर ऊपर होती है, तब उसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी? g = 10 मीटर/ ^{सेकंड²}

विचार-विमर्श
ज्ञात है :
वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 2 मीटर/सेकंड
ऊंचाई में परिवर्तन = 40 – 10 = 30 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा, जो जमीन से 10 मीटर ऊपर हो।
जवाबी :

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
प्रारंभ में, वस्तु में गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा होती है।
प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP) = mgh = (1)(10)(30) = 300 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv_o² = ½ (1)(2)² = ½ (4) = 2 जूल
अतः प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = 300 + 2 = 302 जूल।

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
जब कोई वस्तु नीचे की ओर गति करती है, तो उसकी ऊँचाई घटती जाती है, जिससे उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। यह गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। 30 मीटर की दूरी तय करने के बाद, या जब वस्तु जमीन से 10 मीटर ऊपर होती है, तो उसकी सारी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
अतः अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम गतिज ऊर्जा = प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = 300 + 2 = 302 जूल।

7. 1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक वस्तु को 10 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। ज्ञात कीजिए (a) उच्चतम बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (b) वस्तु द्वारा प्राप्त उच्चतम बिंदु या अधिकतम ऊँचाई… g = 10 मीटर/सेकंड²
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 10 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा उच्चतम बिंदु और निम्नतम बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा
जवाबी :
(a) उच्चतम बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
प्रारंभ में वस्तु में गतिज ऊर्जा होती है, लेकिन गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा नहीं होती है। प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv_o² = ½ (1)(10)² = ½ (100) = 50 जूल.
 
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
ऊपर की ओर गति करने के बाद, वस्तु की ऊँचाई बढ़ती है, जिससे उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा भी बढ़ती है। यह गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा स्वतः उत्पन्न नहीं होती, बल्कि गतिज ऊर्जा से प्राप्त होती है। अपनी अधिकतम ऊँचाई या उच्चतम बिंदु पर, वस्तु दिशा बदलने से पहले कुछ क्षण के लिए स्थिर रहती है। क्योंकि यह कुछ क्षण के लिए स्थिर रहती है, इसलिए इसका वेग शून्य होता है और इसकी गतिज ऊर्जा भी शून्य होती है। सारी गतिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP)

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
ईके = ईपी
50 = ईपी
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा 50 जूल है।

(ख) उच्चतम बिंदु या अधिकतम ऊंचाई
ईपी = एमजीएच
50 = (1)(10) h
50 = 10 घंटे
h = 50 / 10 = 5 मीटर
किसी वस्तु द्वारा प्राप्त किया गया उच्चतम बिंदु या अधिकतम ऊंचाई जमीन की सतह से 5 मीटर है।

 

झुके हुए तल पर गति में यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम

8. विराम अवस्था से एक ब्लॉक घर्षण रहित एक झुके हुए तल पर सरकता है। जब ब्लॉक झुके हुए तल के तल पर पहुँचता है, तो उसकी गति क्या होगी? g = 10 m/s²
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
ऊँचाई (h) = 8 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा : झुके हुए तल के तल पर पहुँचने पर ब्लॉक की गति (v)
जवाबी :
जब ब्लॉक 8 मीटर की ऊंचाई पर होता है, तो उसमें गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा तो होती है, लेकिन गतिज ऊर्जा नहीं होती क्योंकि वह अभी तक गतिमान नहीं हुआ होता है। इसलिए, ब्लॉक की प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP)
EM_o = ईपी = एमजीएच = एम (10)(8) = 80 एम
जैसे ही ब्लॉक नीचे की ओर गति करना शुरू करता है, उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित होने लगती है। जब वह ढलान के निचले सिरे पर पहुँचता है, तो उसकी सारी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। इस प्रकार, ब्लॉक की अंतिम यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा होती है।
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = ईके = ½ एमवी²
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
EM_o = ईएम_t
80 मीटर = ½ मील प्रति घंटा²
80 = ½ v²
160 = वी²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 मीटर/सेकंड
झुके हुए तल के तल पर ब्लॉक की गति 4√10 मीटर/सेकंड है।

9. 1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक वस्तु, जो प्रारंभ में विराम अवस्था में है, को 8 मीटर लंबे एक चिकने झुके हुए तल के शीर्ष से छोड़ा जाता है। 5 मीटर तक झुके हुए तल पर फिसलने के बाद वस्तु की गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए… (g = 10 m/s²)²)
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 0,2 किलोग्राम
वस्तु जिस कर्ण से होकर गुजरती है उसकी लंबाई = 5 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा किसी वस्तु की 5 मीटर तक फिसलने के बाद उसकी गतिज ऊर्जा (EK) ज्ञात कीजिए।
जवाबी :
इस समस्या को हल करने का पहला चरण यह गणना करना है कि वस्तु के 5 मीटर तक एक झुके हुए तल पर फिसलने के बाद उसकी ऊंचाई में कितना परिवर्तन होता है।
पाप 30^o ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई / कर्ण की लंबाई
0,5 = ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई / 5
ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई = (0,5)(5) = 2,5 मीटर
वस्तु की ऊंचाई में परिवर्तन 2,5 मीटर है।

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(2,5) = 25 जूल
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = ईके
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
EM_o = ईएम_t
25 = ईके
वस्तु के 5 मीटर तक फिसलने के बाद उसकी गतिज ऊर्जा 25 जूल है।

 

वक्र समतल में गति के दौरान यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम

10. 1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक वस्तु बिना घर्षण के 5 मीटर की ऊंचाई से बिना किसी प्रारंभिक वेग के फिसलती है। सबसे निचले बिंदु पर वस्तु की गतिज ऊर्जा और वेग क्या होंगे? g = 10 m/s²
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम
ऊंचाई में परिवर्तन (h) = 5 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा : वस्तु की सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा (EK) और गति (v)
जवाबी :

(a) वस्तु की सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा
जब कोई वस्तु 5 मीटर की ऊंचाई पर होती है और अभी चलना शुरू नहीं करती है, तो उसमें गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा तो होती है लेकिन गतिज ऊर्जा नहीं होती क्योंकि वह अभी भी स्थिर अवस्था में होती है। अतः, वस्तु के चलना शुरू करने से पहले की प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा होती है। जैसे ही वस्तु नीचे की ओर चलना शुरू करती है, गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित होने लगती है। जब वह सबसे निचले बिंदु पर पहुंचती है, तो सारी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अतः, अंतिम यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा होती है।
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(5) = 50 जूल
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा
EM_t = ईके = ½ एमवी_t²
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।.
EM_o = ईएम_t
ईपी = ईके
50 = ईके
सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा (EK) 50 जूल है।

(ख) वस्तु की सबसे निचले बिंदु पर गति
पहला तरीका:
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t)
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
50 = ½ मील प्रति घंटा²
2(50) / m = v²
100 / 1 = v²
100 = वी²
वी = √100
v = 10 मीटर/सेकंड
 
दूसरा तरीका:
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम :
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t)
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(5) = v²
100 = वी²
वी = √100
v = 10 मीटर/सेकंड
वस्तु की सबसे निचले बिंदु पर गति 10 मीटर/सेकंड है।

11. 2 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक वस्तु, जो प्रारंभ में विराम अवस्था में है, जमीन से 10 मीटर ऊपर की ऊंचाई से बिना घर्षण के फिसलती है। जमीन से 2 मीटर ऊपर की ऊंचाई पर वस्तु की गतिज ऊर्जा और गति होगी… g = 10 m/s²
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम
ऊंचाई में परिवर्तन (h) = 10 – 2 = 8 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा जमीन की सतह से 2 मीटर की ऊंचाई पर वस्तु की गतिज ऊर्जा (EK) और गति (v)।
जवाबी :
इस समस्या का समाधान पिछली समस्या के समाधान के समान ही है।

(a) 2 मीटर की ऊंचाई पर किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(8) = 160 जूल
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा
EM_t = ईके = ½ एमवी_t²
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।.
EM_o = ईएम_t
ईपी = ईके
160 = ईके
2 मीटर की ऊंचाई पर गतिज ऊर्जा (EK) 160 जूल है।

(ख) वस्तु की सबसे निचले बिंदु पर गति
पहला तरीका:
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t)
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
160 = ½ मील प्रति घंटा²
160 = ½ (2) v²
160 = वी²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 मीटर/सेकंड

दूसरा तरीका:
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम :
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t)
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(8) = v²
160 = वी²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 मीटर/सेकंड
2 मीटर की ऊंचाई पर किसी वस्तु की गति 4√10 मीटर/सेकंड है।

12. सर्दियों में, स्वीडन में, पहाड़ों में आइस स्केटिंग प्रतियोगिताएं आयोजित की जाती हैं। आइस स्केटर चित्र 2 में दिखाए अनुसार ऊंचाई A से फिसलते हैं।

यदि स्कीयर की प्रारंभिक गति शून्य है, और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 ms⁻² है ^, तो ऊँचाई B पर स्कीयर की गति क्या होगी?

ए. √2 एमएस ^-1

बी. 5 √2 एमएस ^-1

सी. 10 √2 एमएस ^-1

डी. 20 √2 एमएस ^-1

ई. 25 √2 एमएस ^-1

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = 50 मीटर – 10 मीटर = 40 मीटर

अंतिम ऊँचाई (h _t ) = 0

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

प्रश्न: अंतिम वेग (v _t )

उत्तर :

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - वी_o²) = 1/2 मीटर (v_t² - 0) = 1/2 एमवी_t²

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के सूत्र का उपयोग करके अंतिम वेग (v _{t ) की गणना करें:}

0 = Δ EK + Δ EP

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

1/2 mv _t ² = 400 m

1/2 v _t ² = 400

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 m/s

सही उत्तर है डी.

13. 1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक गेंद को छोड़ा जाता है और वह नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए अनुसार एक चिकने वक्र पथ पर स्थिति A से स्थिति C तक फिसलती है। यदि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 मिलीसेकंड^-2तो बिंदु C पर गेंद की गतिज ऊर्जा (Ek) क्या होगी?

ए. 25,0 जूल
बी. 22,5 जूल
सी. 20,0 जूल
डी. 12,5 जूल
ई. 7,5 जूल

विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
ऊंचाई में परिवर्तन (h) = 0,75 मीटर

प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (ईपी)_o) = mgh = (1)(10)(0,75) = 7,5 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = ½ एमवी_o² = ½ मीटर (0²) = 0
अंतिम गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (ईपी)_t) = mgh = mg (0) = 0
प्रश्न: बिंदु C पर गेंद की गतिज ऊर्जा (EK) ज्ञात कीजिए।
उत्तर :

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम कहता है कि किसी गेंद की प्रारंभिक स्थिति में यांत्रिक ऊर्जा, उसकी अंतिम स्थिति में उसकी अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है। इस प्रश्न में, प्रारंभिक स्थिति गेंद की वह स्थिति है जो उसे छोड़े जाने से पहले थी, और अंतिम स्थिति बिंदु C है।

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t)
प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (ईपी)_o) + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = अंतिम गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP)_t) + अंतिम गतिज ऊर्जा (EK)_t)
7,5 जूल + 0 = 0 + EK_t
7,5 जूल = EK_t
बिंदु C पर गेंद की गतिज ऊर्जा (EK) 7,5 जूल है।
सही उत्तर E है।

14. 2 किलोग्राम द्रव्यमान वाली गेंद A को छोड़ा जाता है और यह चित्र में दिखाए गए अनुसार एक समतल पथ पर गति करती है। यदि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² है, तो^-2जब गेंद की गतिज ऊर्जा B में है...

ए. 4 जूल
बी. 8 जूल
सी. 10 जूल
डी. 12 जूल
ई. 24 जूल

विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
ऊंचाई में परिवर्तन (h) = 120 सेमी = 1,2 मीटर

प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (ईपी)_o) = mgh = (2)(10)(1,2) = 24 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = ½ एमवी_o² = ½ मीटर (0²) = 0
अंतिम गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (ईपी)_t) = mgh = mg (0) = 0
प्रश्न: बिंदु B पर गेंद की गतिज ऊर्जा क्या है?
उत्तर :
बिंदु A पर गेंद की यांत्रिक ऊर्जा (प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा) बिंदु B पर गेंद की यांत्रिक ऊर्जा (अंतिम यांत्रिक ऊर्जा) के बराबर है।

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t)
प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (ईपी)_o) + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = अंतिम गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP)_t) + अंतिम गतिज ऊर्जा (EK)_t)
24 जूल + 0 = 0 + EK_t
EK_t = 24 जूल
बिंदु C पर गेंद की गतिज ऊर्जा (EK) 24 जूल है।
सही उत्तर E है।

 

परवलयिक गति में यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम

15. 0,1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक गेंद को 10 मीटर/सेकंड की गति से उछाला जाता है। यदि उन्नयन कोण 30° है, तो^o और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² है।² (a) उच्चतम बिंदु पर गेंद की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (b) उच्चतम बिंदु या अधिकतम ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 0,1 किलोग्राम
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 10 मीटर/सेकंड
उन्नयन कोण = 30^o
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गेंद की उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा (EK)
जवाबी :

(a) उच्चतम बिंदु पर गेंद की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा
गेंद का प्रक्षेप पथ एक परवलय है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
सबसे पहले क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक वेग घटक (v) की गणना करें।_ox) और ऊर्ध्वाधर (v_oy).
यदि परवलयिक गति का पथ ऊपर दिए गए चित्र जैसा है, तो क्षैतिज या क्षैतिज दिशा में गति का विश्लेषण इस प्रकार किया जाता है। एकसमान रेखीय गति और ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का विश्लेषण इस प्रकार किया जाता है: ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गतिएकसमान रेखीय गति में, गति के दौरान वेग स्थिर रहता है। इसके विपरीत, ऊर्ध्वाधर गति में, जब वस्तु अपनी अधिकतम ऊँचाई या उच्चतम बिंदु पर पहुँचती है, तो दिशा बदलने से पहले वह एक क्षण के लिए रुक जाती है। अतः, उच्चतम बिंदु पर वस्तु का ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है, लेकिन उच्चतम बिंदु पर भी वस्तु का वेग v होता है।_ox.

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
जब गेंद चलना शुरू करती है, तो उसकी ऊँचाई फर्श या जमीन की सतह के बराबर होती है (h = 0), इसलिए उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है (h = 0, अतः EP = mgh = 0)। इसके विपरीत, जब गेंद चलना शुरू करती है, तो उसका प्रारंभिक वेग अधिकतम होता है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा भी अधिकतम होती है। अतः, गेंद की प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_o = ईके = ½ एमवी_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 जूल

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
गति शुरू होने के बाद, गेंद की ऊँचाई बढ़ती है, जिससे उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा भी बढ़ती है। जब वह अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है, तो उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा भी अधिकतम हो जाती है। गेंद की गतिज ऊर्जा का क्या होगा? अपने उच्चतम बिंदु पर, गेंद का ऊर्ध्वाधर वेग (voy) शून्य होता है, लेकिन उसका क्षैतिज वेग (vox) अभी भी मौजूद होता है।
अधिकतम ऊंचाई पर गतिज ऊर्जा :
EK = ½ mv_ox² = ½ (0,1)(5√3)² = ½ (0,1)((25)(3)) = ½ (0,1)(75) = 3,75 जूल

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ईएम)_t)
EK = EP + EK
5 = ईपी + 3,75
ईपी = 5 – 3,75 = 1,25 जूल
अधिकतम ऊंचाई पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा 1,25 जूल है।
 
(ख) उच्चतम बिंदु या अधिकतम ऊंचाई
ईपी = एमजीएच
1,25 = (0,1)(10) h
1,25 = h
अधिकतम ऊंचाई 1,25 मीटर है।

16. 0,1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक गेंद को 10 मीटर ऊँची इमारत के किनारे से 10 मीटर/सेकंड के गति से क्षैतिज रूप से फेंका जाता है। यदि उस स्थान पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड है, तो²तो, जब गेंद जमीन पर पहुँचती है, तब उसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी?
विचार-विमर्श
ज्ञात है :
गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 0,1 किलोग्राम
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 10 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
ऊंचाई में परिवर्तन (h) = 10 – 2 = 8 मीटर
पूछा 2 मीटर की ऊंचाई पर गेंद की गतिज ऊर्जा
जवाबी :
जब गेंद 10 मीटर की ऊंचाई पर होती है, तो उसमें गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा होती है। गेंद को 10 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से फेंके जाने के बाद वह गतिमान हो जाती है, इसलिए उसमें गतिज ऊर्जा भी होती है। अतः, गेंद की प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (EP) = mgh = (0,1)(10)(10) = 10 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 जूल

जैसे-जैसे गेंद नीचे की ओर गिरती है, उसकी ऊँचाई घटती जाती है, जिससे उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। जब वह ज़मीन पर पहुँचती है, तो उसकी ऊँचाई ज़मीन की ऊँचाई के बराबर हो जाती है (h = 0), इसलिए उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है (h = 0, अतः EP = mgh = 0)। सारी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
अंतिम गतिज ऊर्जा = प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = 10 + 5 = 15 जूल