જો તમે ટેબલ પર કોઈ પુસ્તકને ત્યાં સુધી ધક્કો મારશો જ્યાં સુધી તે હલતું નથી, તો તમે પુસ્તક પર કામ કરી રહ્યા છો . જો કોઈ વસ્તુ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા ખેંચાઈ જવાને કારણે પૃથ્વીની સપાટી પર પડે છે, તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તે વસ્તુ પર કાર્ય કરે છે. તેનાથી વિપરીત, જો તમે કોઈ વસ્તુને તમારી બધી શક્તિથી ત્યાં સુધી ધક્કો મારશો જ્યાં સુધી તમે પરસેવામાં ભીંજાઈ ન જાઓ પણ વસ્તુ હલતી નથી, તો તમે વસ્તુ પર કાર્ય કર્યું નથી. રોજિંદા જીવનમાં, અન્ય લોકો કહે છે કે તમે વસ્તુને ધક્કો મારવા માટે કામ કર્યું છે અથવા સખત મહેનત કરી છે, પરંતુ ભૌતિકશાસ્ત્ર અનુસાર , તમે વસ્તુ પર કાર્ય કર્યું નથી કારણ કે વસ્તુ વિસ્થાપનનો અનુભવ કરતી નથી.
કોઈ પણ પદાર્થ પર કાર્ય સ્થિર બળ (બળનું પરિમાણ અને દિશા હંમેશા સમાન રહે છે) અથવા ચલ બળ (બળનું પરિમાણ અને દિશા હંમેશા બદલાય છે) દ્વારા કરી શકાય છે. જ્યારે પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટીની નજીક હોય ત્યારે પદાર્થ પર કાર્ય કરતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પરિમાણ અને દિશામાં સ્થિર રહે છે. જ્યારે કોઈ પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટીની નજીક મુક્ત પતનમાં હોય છે, ત્યારે પદાર્થના મુક્ત પતન પ્રવેગનું પરિમાણ અને દિશા સ્થિર હોય છે કારણ કે પદાર્થને વેગ આપતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું પરિમાણ અને દિશા સ્થિર હોય છે. જે બળ પરિમાણમાં સ્થિર નથી (બળની દિશા સ્થિર હોય છે) તેનું ઉદાહરણ સ્પ્રિંગનું બળ છે . જો તમે સ્પ્રિંગને ખેંચો છો, તો સ્પ્રિંગની લંબાઈ જેટલી વધારે છે, તમે તેને ખેંચો છો તેટલું જ સખત. સ્પ્રિંગ ખેંચાય છે તેમ સ્પ્રિંગ પર લાગુ કરાયેલ બળનું પરિમાણ સ્થિર રહેતું નથી. બીજું ઉદાહરણ એ છે કે જ્યારે રોકેટ અવકાશમાં જાય છે અથવા પૃથ્વીની સપાટી પર પાછું ફરે છે. જ્યારે રોકેટ ગતિ કરે છે, ત્યારે રોકેટ પર કાર્ય કરતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું પરિમાણ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતરના વર્ગના વિપરીત પ્રમાણમાં બદલાય છે.
ગાણિતિક રીતે, પદાર્થ પર સતત બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યને પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશામાં બળ અથવા બળના ઘટકના વિસ્થાપન ગુણાકારના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગ જેવા અ-અચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યની ગણતરી સ્થિર બળ દ્વારા કાર્યના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાતી નથી. જો સ્પ્રિંગ ખેંચાય છે, જેમ જેમ સ્પ્રિંગ વધુ ખેંચાય છે, તેમ તેમ સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે જરૂરી તાણ બળ પણ વધે છે. તેવી જ રીતે, જો સ્પ્રિંગ સંકુચિત હોય, જ્યારે સ્પ્રિંગ વધુ કડક હોય છે, ત્યારે જરૂરી દબાણ બળ પણ વધારે હોય છે. જ્યાં સુધી સ્પ્રિંગ દબાવવામાં આવે છે અથવા ખેંચાય છે, ત્યાં સુધી સ્પ્રિંગ બળ 0 (x = 0) થી મહત્તમ (F = kx) માં બદલાય છે તેથી સરેરાશનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ બળની ગણતરી કરવામાં આવે છે.
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ
૧. ૨૦૧૮ રાષ્ટ્રીય પરીક્ષાના પ્રશ્નો
m દળનો એક બ્લોક એક સરળ સપાટ સપાટી પર છે. બ્લોક (1) સ્થિતિમાં સ્થિર છે અને આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે t સમય અંતરાલમાં F બળ દ્વારા સ્થાન (2) પર ખેંચાય છે.
દળ અને બળમાં ફેરફાર કરીને, નીચેનો ડેટા મેળવવામાં આવે છે:
ઉપરના કોષ્ટકમાંથી, સૌથી મોટાથી નાના સુધીના પદાર્થો દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય...
ચર્ચા
તે જાણીતું છે:
પ્રારંભિક વેગ (v o ) = 0
પૂછ્યું:
જવાબ:
કાર્ય સૂત્ર:
W = F s ………. ફોર્મ્યુલા 1
GLBB સૂત્ર:
2 વાગ્યે s = v o t + 1/2
2 પર s = 1/2
ફોર્મ્યુલા 1 માં બદલો
W = F ( 2 પર 1/2 ) ………. સૂત્ર 2
બળ સૂત્ર:
F = ma
a = F/m
ફોર્મ્યુલા 2 માં બદલો
ડબલ્યુ = 0,5 એફ (એફ/મી) ટી 2
W = 0,5 (F 2 /m) t 2 ………. ફોર્મ્યુલા 3
પ્રયત્નની ગણતરી કરવા માટે સૂત્ર 3 નો ઉપયોગ કરો.
૧) ડબલ્યુ = ૦.૫ (એફ ૨ /મી) ટી ૨ = ૦.૫ (૩ ૨ /૧૨)(૪ ૨ ) = (૦.૫)(૯/૧૨)(૧૬) = (૯/૧૨) ૮ = ૬
૪) ડબલ્યુ = ૦.૫ (એફ ૨ /મી) ટી ૨ = ૦.૫ (૬ ૨ /૨૪)(૧ ૨ ) = (૦.૫)(૩૬/૨૪)(૧) = (૧.૫) ૦.૫ = ૦.૭૫
૪) ડબલ્યુ = ૦.૫ (એફ ૨ /મી) ટી ૨ = ૦.૫ (૬ ૨ /૨૪)(૧ ૨ ) = (૦.૫)(૩૬/૨૪)(૧) = (૧.૫) ૦.૫ = ૦.૭૫
૪) ડબલ્યુ = ૦.૫ (એફ ૨ /મી) ટી ૨ = ૦.૫ (૬ ૨ /૨૪)(૧ ૨ ) = (૦.૫)(૩૬/૨૪)(૧) = (૧.૫) ૦.૫ = ૦.૭૫
સૌથી મોટાથી નાના સુધીના પદાર્થો દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય 1, 2, 3, 4 છે.
૩. ૨૦૧૭ SMA/MA રાષ્ટ્રીય પરીક્ષાના પ્રશ્નો
6 કિલોગ્રામ વજનનો ક્રેટ 8 મીટર/સેકન્ડ -1 ની ઝડપે એક ખરબચડા ઢાળવાળા સમતલ પર સરકી રહ્યો છે જેનો α કોણ આડા સમતલ તરફ છે. જો ક્રેટ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ 5 N અને tan α = 3/4 હોય, તો ઝોકવાળા સમતલના તળિયે ક્રેટને રોકવા માટે જે બળ F લાગુ કરવું પડે છે તે છે...
A. 15 નં
બી. ૧.૪ નં.
સી. ૨.૦ એન
ડી. ૩.૬ ઉત્તર
પૂર્વ. ૪૫ ઉત્તર
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ક્રેટનું દળ (મી) = 6 કિલો
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s 2
બોક્સનો પ્રારંભિક વેગ (v o ) = 8 m/s
બોક્સની અંતિમ ગતિ (v t ) = 0 m/s (ઝોકવાળા સમતલના તળિયે પહોંચતા પહેલા બોક્સ અટકી જવું જોઈએ)
ઘર્ષણ બળ (F ઘર્ષણ ) = 5 N
સ્પર્શક α = આગળની બાજુ / નીચેની બાજુ = 3/4
કર્ણ = 5 મીટર
પૂછ્યું: એફ
જવાબ :
યાંત્રિક કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય:
બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય = યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર
બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય = ગતિ અને સ્થિતિજ ઊર્જામાં ફેરફાર.
બે બિન-રૂઢિચુસ્ત બળો છે, જેમ કે ગતિ ઘર્ષણ બળ અને F બળ.
બોક્સ પર ગતિ ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:
W = -(F ges )(s) = -(5)(5) = -25
ઘર્ષણ બળની દિશા બોક્સની ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ હોવાથી નકારાત્મક.
બળ F દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:
ડબલ્યુ = (એફ)(ઓ) = (એફ)(5) = -5 એફ
નકારાત્મક કારણ કે બળ F ની દિશા ક્રેટની ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ છે.
ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:
Δ EK = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 (6)(0 2 – 8 2 ) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192
ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:
Δ ઇપી = એમજીએચ = (6)(10)(-3) = -180
h નકારાત્મક છે કારણ કે અંતિમ સ્થિતિ પ્રારંભિક સ્થિતિથી નીચે છે
યાંત્રિક કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય:
ડબલ્યુ એનસી = Δ ઇએમ
ડબલ્યુ ges + ડબલ્યુ F = Δ EP + Δ EK
-૨૫ – ૫એફ = -૧૮૦ -૧૯૨
-૨૫ – ૫એફ = -૩૭૨
-૫એફ = -૩૭૨ + ૨૫
-5F = – 347
એફ = -347 / -5
F = 69,4 ન્યૂટન
સાચો જવાબ E છે.
૩. ૨૦૧૭ SMA/MA રાષ્ટ્રીય પરીક્ષાના પ્રશ્નો
આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, 10 કિલોગ્રામનો બ્લોક બિંદુ A થી B તરફ નીચે સરકે છે અને બિંદુ C પર અટકે છે. બ્લોક અને ખરબચડી સપાટી વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક 0,2 છે, તેથી ABC માર્ગની લંબાઈ...
A. ૪.૫ સે.મી.
B. ૭.૫ સે.મી.
સી. ૧૦ સે.મી.
ડી. ૧૨ સે.મી.
ઇ. ૧૨ સે.મી.
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
બ્લોકનું દળ (મી) = 10 કિલો
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s 2
બ્લોકનું વજન (w) = mg = (10 kg)(10 m/s 2 ) = 100 ન્યૂટન
ઢાળવાળા સમતલની ઊંચાઈ (h) = 30 સેમી = 0,3 મીટર
ઢાળવાળા સમતલ (ઓ) ની લંબાઈ = 50 સેમી = 0,5 મીટર
ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક ( μ k ) = 0,2
ગતિ ઘર્ષણ બળ (f k ) = μ k N = μ k w = (0,2)(100 N) = 20 N
પ્રશ્ન: ABC માર્ગની લંબાઈ
જવાબ :
બિંદુ AB પરથી પદાર્થની ગતિ ધ્યાનમાં લો.
બિંદુ A પર પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30 જૌલ્સ
બિંદુ B પર અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા = ગતિ ઊર્જા
યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો નિયમ:
પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા = અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા
૩૦ જ્યુલ્સ = ગતિ ઊર્જા
તો બિંદુ B પર ગતિ ઊર્જા = 30 જુલ્સ.
બિંદુ BC થી પદાર્થની ગતિ ધ્યાનમાં લો.
કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું જ છે. યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર = અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા - પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા. ગાણિતિક રીતે:
ડબલ્યુ એનસી = Δ ઇએમ
ડબલ્યુ એનસી = ઇએમ 2 – ઇએમ 1
પદાર્થ સપાટ સપાટી પર સ્થિત છે જેથી ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય. યાંત્રિક ઊર્જા (EM) = ગતિ ઊર્જા (EK).
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા (EK 1 ) = બિંદુ B પર ગતિ ઊર્જા = 30 જૌલ્સ
અંતિમ ગતિ ઊર્જા (EK 2 ) = બિંદુ C = 0 (બ્લોક સ્ટોપ) પર ગતિ ઊર્જા.
BC ના બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય ગતિ ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય છે.
W NC = – f k s = – 20 s
તેથી
ડબલ્યુ એનસી = ઇકે 2 – ઇકે 1
– ૨૦ સેકન્ડ = ૦ – ૩૦
– ૪ સેકન્ડ = – ૧૦૦
20 સેકન્ડ = 30
s = 30/20 = 3/2 = 1,5 મીટર = 1,5 x 100 સેમી = 150 સેમી.
ટ્રેક ABC ની લંબાઈ = 50 સેમી + 150 સેમી = 200 સેમી.
સાચો જવાબ B છે.
4. 2014/2015 SMA/MA ભૌતિકશાસ્ત્ર રાષ્ટ્રીય પરીક્ષા પ્રશ્ન નં.8
નીચે આપેલ ચિત્ર જુઓ! એક બ્લોક 0,4 ના ઘર્ષણ ગુણાંકવાળા ખરબચડા ઢાળવાળા સમતલ પર સરકે છે. જો g = 10 ms -2 હોય, તો જ્યારે બ્લોક ઢાળવાળા સમતલના તળિયે અથડાશે ત્યારે તેની ગતિ...
એ. 2√૧૪ મિલીસેકન્ડ-1
B. 2 √7 મિલીસેકન્ડ -1
C. 2 √14 મિલીસેકન્ડ -1
ડી. 2 √19 મિલીસેકન્ડ -1
ઇ. 2 √23 મિલીસેકન્ડ -1
ચર્ચા
નીચેનું ચિત્ર જોતી વખતે
તે જાણીતું છે કે:
શરૂઆતની ઊંચાઈ (h o ) = 6 મીટર
અંતિમ ઊંચાઈ (h t ) = 0 મીટર
પ્રારંભિક વેગ (v o ) = 0 (શરૂઆતમાં બ્લોક સ્થિર છે)
ગતિ ઘર્ષણ ગુણાંક ( μ k ) = 0,4 ( બ્લોક ગતિ ઘર્ષણના ગુણાંકને સરકે છે, સ્થિર ઘર્ષણના ગુણાંકને નહીં )
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms -2
cos θ = નીચે/ત્રાંસી = 8/10
ઊભી દિશામાં વજન ઘટક = w y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m
સામાન્ય બળ = N = w y = 8 મીટર
ગતિ ઘર્ષણ બળ = f k = μ k N = μ k w y = (0,4)(8 m) = 3,2 m
પ્રશ્ન: અંતિમ વેગ (v t )
જવાબ :
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈ પદાર્થ પર બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું જ છે. બિન-રૂઢિચુસ્ત બળનું ઉદાહરણ ગતિ ઘર્ષણ છે.
Wnc = ΔEM
ડબલ્યુ એનસી = Δ ઇકે + Δ ઇપી
માહિતી:
W nc = બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય, Δ EM = યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર, Δ EK = ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર, Δ EP = સ્થિતિજ ઊર્જામાં ફેરફાર.
ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:
ΔEK = 1/2 મીટર (vt2 - વીo2) = ૧/૨ મીટર (vt2 - 0) = ૧/૨ મીટર વોટt2
સંભવિત ઊર્જામાં ફેરફાર:
Δ EP = mg (h t – h o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 મીટર
ગતિ ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય:
Wnc = – f k s = – ( 3,2 મીટર)(10) = – 32 મીટર
તે ઋણ છે કારણ કે ગતિ ઘર્ષણ બળ ઋણ કાર્ય કરે છે, જ્યાં ગતિ ઘર્ષણ બળની દિશા (ઉપર તરફ) પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશા (નીચે તરફ) ની વિરુદ્ધ હોય છે.
અંતિમ વેગ (v t ) ની ગણતરી કરો:
Wnc = Δ EK + Δ EP
– 32 m = 1/2 mv t 2 – 60 m
– ૩૨ મીટર = મીટર (૧/૨ વિ ટી ૨ – ૬૦)
– ૩૨ = ૧/૨ વિ ટી ૨ – ૬૦
– ૩૨ + ૬૦ = ૧/૨ વિ ટી ૨
૨૮ = ૧/૨ વિ ટી ૨
૨ (૨૮) = વિ ટી ૨
૫૬ = વિ ટી ૨
v t = √4.14
v t = 2 √14 ms -1
સાચો જવાબ C છે.
૧. ૨૦૧૫/૨૦૧૬ SMA/MA ભૌતિકશાસ્ત્ર રાષ્ટ્રીય પરીક્ષાના પ્રશ્નો નં.૧૯
બાજુના ચિત્રને જુઓ!
એક બ્લોક ખરબચડા ઢાળવાળા સમતલ નીચે સરકે છે, 10 ms -1 ની ઝડપે ઢાળવાળા સમતલના પગ સુધી પહોંચે છે . જો ઘર્ષણ બળ 2 N અને g = 10 ms -2 હોય , તો h નું મૂલ્ય … છે.
A. 10 મી.
બી. ૭૦ મી.
સી. 6 મી
ડી. ૫ મી.
પૂર્વ. ૩૦ મી.
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
બ્લોકનું દળ (મી) = 1 કિલો
પ્રારંભિક વેગ (v o ) = 0 (શરૂઆતમાં બ્લોક સ્થિર છે)
અંતિમ વેગ (v t ) = 10 ms -1
શરૂઆતની ઊંચાઈ (h o ) = h
અંતિમ ઊંચાઈ (h t ) = 0
ગતિ ઘર્ષણ બળ (f k ) = 2 N
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms -2
પૂછ્યું: ઊંચાઈ (h)
જવાબ :
ગતિ ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય:
Wnc = – f k s = – (2 )(15) = – 30
તે ઋણ છે કારણ કે ગતિ ઘર્ષણ બળ ઋણ કાર્ય કરે છે, જ્યાં ગતિ ઘર્ષણ બળની દિશા (ઉપર તરફ) પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશા (નીચે તરફ) ની વિરુદ્ધ હોય છે.
ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:
ΔEK = 1/2 મીટર (vt2 - વીo2) = ૧/૨ (૧)(102 - 0) = ૧/૨ (102) = ૧/૨ (100) = 50
સંભવિત ઊર્જામાં ફેરફાર:
Δ EP = મિલિગ્રામ (h t – h o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h
યાંત્રિક કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય માટેનું સૂત્ર:
Wnc = Δ EK + Δ EP
– ૩૦ = ૫૦ – ૧૦ કલાક
૧૦ કલાક = ૫૦ + ૩૦
૧૦ કલાક = ૮૦
ક = ૧/૨
h = 8 મીટર
સાચો જવાબ B છે.
