સ્થાયી તરંગો - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો
૧. ૩-મીટર લાંબી દોરી એક છેડે બાંધેલી હોય છે અને બીજો છેડો વાઇબ્રેટર સાથે જોડાયેલ હોય છે. જ્યારે વાઇબ્રેટર વાઇબ્રેટ થાય છે, ત્યારે દોરી એક સ્થિર તરંગ બનાવે છે , જેમ કે નીચેની આકૃતિમાં બતાવ્યું છે.
નિશ્ચિત છેડાથી 5મા એન્ટિનોડનું સ્થાન નક્કી કરો.
ઉકેલો:
બે ગાંઠો વચ્ચેનું અંતર = 3 મીટર / 5 = 3/5 મીટર.
પ્રથમ નોડ અને નિશ્ચિત છેડા વચ્ચેનું અંતર = 3/5 મીટર
બીજા નોડ અને નિશ્ચિત છેડા વચ્ચેનું અંતર = 2 (3/5 મીટર) = 6/5 મીટર
ત્રીજા નોડ અને નિશ્ચિત છેડા વચ્ચેનું અંતર = 3 (3/5 મીટર) = 9/5 મીટર
ચોથા નોડ અને નિશ્ચિત છેડા વચ્ચેનું અંતર = 4 (3/5 મીટર) = 12/5 મીટર
નોડ અને એન્ટિનોડ વચ્ચેનું અંતર = 1/2 (3/5 મીટર) = 3/10 મીટર.
પાંચમા એન્ટિનોડ અને નિશ્ચિત છેડા વચ્ચેનું અંતર = ચોથા નોડ અને નિશ્ચિત છેડા વચ્ચેનું અંતર + નોડ અને એન્ટિનોડ વચ્ચેનું અંતર = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 મીટર.
2. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, એક છેડો વાઇબ્રેટર સાથે જોડાયેલ છે અને બીજો છેડો નિશ્ચિત છે. જો દોરીની લંબાઈ 1.5 મીટર હોય, તો ચોથા નોડ અને વાઇબ્રેટર વચ્ચેનું અંતર શોધો.
ઉકેલો:
બે ગાંઠો વચ્ચેનું અંતર = ૧.૫ મીટર / ૧૧ = ૧.૫ / ૧૧ મીટર.
પ્રથમ નોડ અને વાઇબ્રેટર વચ્ચેનું અંતર = 1.5 / 11 મીટર
બીજા નોડ અને વાઇબ્રેટર વચ્ચેનું અંતર = 2 (1.5 / 11 મીટર) = 3/11 મીટર
ત્રીજા નોડ અને વાઇબ્રેટર વચ્ચેનું અંતર = 3 (1.5 / 11 મીટર) = 4.5 / 11 મીટર
ચોથા નોડ અને વાઇબ્રેટર વચ્ચેનું અંતર = 4 (1.5 / 11 મીટર) = 6/11 મીટર = 0.54 મીટર
૩. એક તાર બંને છેડા સ્થિર રાખેલા હોય છે, જે ૪૨૦ હર્ટ્ઝની આવૃત્તિ સાથે મૂળભૂત સ્વર ઉત્પન્ન કરે છે. ત્રીજો ઓવરટોન નક્કી કરો.
A. ૮૫૦ હર્ટ્ઝ
બી. ૯૦૦ હર્ટ્ઝ
સી. ૯૬૦ હર્ટ્ઝ
ડી. ૧,૦૨૦ હર્ટ્ઝ
જાણીતા:
મૂળભૂત આવર્તન (f 1 ) = 420 Hz
બંને છેડા સ્થિર રાખવામાં આવે છે.
વોન્ટેડ: ત્રીજો ઓવરટોન
ઉકેલો:
પહેલો ઓવરટોન (f 2 ) = 2 f 1 = 2 (420 Hz) = 840 Hz
બીજો ઓવરટોન (f 3 ) = 3 f 1 = 3 (420 Hz) = 1260 Hz
ત્રીજો ઓવરટોન (f 4 ) = 4 f 1 = 4 (420 Hz) = 1680 Hz
સાચો જવાબ સી છે.
4. તારનાં પહેલા ઓવરટોનની તરંગલંબાઇ 40 સેમી છે. જો હવામાં ધ્વનિ તરંગની ગતિ 340 મીટર/સેકન્ડ હોય, તો ત્રીજો ઓવરટોન નક્કી કરો.
A. ૮૫૦ હર્ટ્ઝ
બી. ૯૦૦ હર્ટ્ઝ
સી. ૯૬૦ હર્ટ્ઝ
ડી. ૧,૦૨૦ હર્ટ્ઝ
જાણીતા:
પહેલા ઓવરટોન (λ) ની તરંગલંબાઇ = 40 સેમી = 0.4 મીટર
હવામાં ધ્વનિ તરંગની ગતિ (v) = 340 મીટર/સેકન્ડ
જોઈએ છે: ત્રીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ
ઉકેલો:
નીચે એક આકૃતિ છે જેમાં બંને છેડા સ્થિર રાખેલા તાર પર ઉભા રહેલા તરંગનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ, પ્રથમ ઓવરટોનની તરંગલંબાઇનો ઉપયોગ કરીને તારની લંબાઈની ગણતરી કરો. તે પછી, ત્રીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિની ગણતરી કરતા પહેલા, પ્રથમ, ત્રીજા ઓવરટોનની તરંગલંબાઇની ગણતરી કરો.
પ્રથમ ઓવરટોનની તરંગલંબાઇ:
દોરીની લંબાઈ (L) = 2. ½ λ
દોરીની લંબાઈ (L) = λ
દોરીની લંબાઈ (L) = 0.4 મીટર
ત્રીજા ઓવરટોનની તરંગલંબાઇ:
એલ = 2 λ
૦.૪ = ૨ λ
λ = 0.4 / 2
λ = 0.2 મીટર
ત્રીજા ઓવરટોનની આવર્તન:
એફ = વી / λ
f = 340 : 0.2
f = ૧૭૦૦ હર્ટ્ઝ
સાચો જવાબ સી છે.
5. બંને છેડે ખુલ્લી 40 સેમી લંબાઈની નળી 420 Hz ની આવૃત્તિ સાથે મૂળભૂત સ્વર ઉત્પન્ન કરે છે. બીજો ઓવરટોન નક્કી કરો.
A. ૮૫૦ હર્ટ્ઝ
બી. ૯૦૦ હર્ટ્ઝ
સી. ૯૬૦ હર્ટ્ઝ
ડી. ૧,૦૨૦ હર્ટ્ઝ
જાણીતા:
પાઇપની લંબાઈ (L) = 40 સેમી = 0.4 મીટર
મૂળભૂત સ્વરની આવૃત્તિ (f 1 ) = 420 હર્ટ્ઝ
જોઈએ છે: બીજા ઓવરટોનની આવર્તન (f 3 )
ઉકેલો:
જો મૂળભૂત સ્વર (f 1 ) = 420 હર્ટ્ઝ હોય તો બીજો ઓવરટોન (f 3 ) = 3 f 1 = 3 (420 હર્ટ્ઝ) = 1260 હર્ટ્ઝ
સાચો જવાબ D છે.
6. બંધ ટ્યુબ પર ધ્વનિ તરંગમાં ... જેવી તરંગ પેટર્ન હોય છે.
A. તાર પર તરંગ પ્રસાર
B. હવાના સ્તંભ પર તરંગ પ્રસાર
C. એક છેડે સ્થિર દોરી પર સ્થાયી તરંગ
D. બંને છેડે જોડાયેલા દોરી પર સ્થાયી તરંગ
ઉકેલો:
ઉપરની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, બંધ નળી એ એક નળી છે જે એક છેડે ખુલ્લી હોય છે પણ બીજા છેડે બંધ હોય છે.
સાચો જવાબ સી છે.
સ્થાયી તરંગો સંબંધિત 20 વૈચારિક પ્રશ્નો અને જવાબો:
૧. પ્રશ્ન: સ્થાયી તરંગ શું છે?
જવાબ: સ્થાયી તરંગ એ એક તરંગ પેટર્ન છે જે સ્થિર રહેતી દેખાય છે, જેમાં ગાંઠો અને એન્ટિનોડ્સ હોય છે, જે વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરતા બે તરંગોના દખલને કારણે થાય છે.
2. પ્રશ્ન: નોડ્સ અને એન્ટિનોડ્સ કેવી રીતે અલગ છે?
જવાબ: ગાંઠો શૂન્ય કંપનવિસ્તારના બિંદુઓ છે, જ્યાં તરંગ સ્થિર રહે છે, જ્યારે એન્ટિનોડ્સ મહત્તમ કંપનવિસ્તારના બિંદુઓ છે.
૩. પ્રશ્ન: શું સ્થાયી તરંગો કોઈપણ માધ્યમમાં રચાઈ શકે છે?
જવાબ: સ્થાયી તરંગો કોઈપણ માધ્યમમાં બની શકે છે જે તરંગ પ્રસારને મંજૂરી આપે છે, જેમ કે તાર, હવાના સ્તંભ અને પાણી.
૪. પ્રશ્ન: સ્થાયી તરંગની આવૃત્તિ તેના હાર્મોનિક નંબર સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
જવાબ: મૂળભૂત આવર્તન (પ્રથમ હાર્મોનિક) એ સ્થાયી તરંગની સૌથી ઓછી આવર્તન છે. ઉચ્ચ હાર્મોનિક્સમાં એવી આવર્તન હોય છે જે મૂળભૂત આવર્તનના પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય છે.
૫. પ્રશ્ન: સ્થાયી તરંગમાં ગાંઠોનું સ્થાન શું નક્કી કરે છે?
જવાબ: જ્યાં વિરુદ્ધ દિશામાં ફરતા તરંગો વિનાશક રીતે દખલ કરે છે, એકબીજાને રદ કરે છે ત્યાં ગાંઠો રચાય છે.
૬. પ્રશ્ન: બંને છેડે સ્થિર તાર પર સ્થાયી તરંગો કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે?
જવાબ: જ્યારે કોઈ તાર નીચે મુસાફરી કરતી તરંગ નિશ્ચિત છેડે પ્રતિબિંબિત થાય છે, ત્યારે તે આવનારા તરંગોમાં દખલ કરે છે, જો ફ્રીક્વન્સીઝ ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ સાથે મેળ ખાય છે તો સ્થાયી તરંગ પેટર્ન બનાવે છે.
૭. પ્રશ્ન: સ્થાયી તરંગમાં તરંગલંબાઇ અને માધ્યમની લંબાઈ વચ્ચે શું સંબંધ છે?
જવાબ: બંને છેડા પર નિશ્ચિત તાર માટે, માધ્યમની લંબાઈ સ્થિર તરંગની અડધા તરંગલંબાઇના પૂર્ણાંક ગુણાંક છે.
૮. પ્રશ્ન: સ્થાયી તરંગો માધ્યમમાં ઊર્જાનું પરિવહન કેમ કરતા નથી?
જવાબ: જ્યારે માધ્યમમાં વ્યક્તિગત કણો ઓસીલેટ થાય છે, ત્યારે એકંદર તરંગ પેટર્ન સ્થિર રહે છે, તેથી કોઈ ચોક્કસ દિશામાં કોઈ ચોખ્ખી ઊર્જા પરિવહન થતું નથી.
9. પ્રશ્ન: શું તમે ખુલ્લા નળીઓમાં ઉભા તરંગોનું અવલોકન કરી શકો છો?
જવાબ: હા, ખુલ્લા ટ્યુબમાં સ્થાયી તરંગો રચી શકાય છે, પરંતુ સીમાની સ્થિતિ બંધ ટ્યુબથી અલગ હોય છે, જે નોડ અને એન્ટિનોડ સ્થિતિને અસર કરે છે.
૧૦. પ્રશ્ન: જ્યારે તારનો તણાવ વધે છે ત્યારે સ્થાયી તરંગનું શું થાય છે?
જવાબ: તણાવ વધારવાથી તરંગની ગતિ વધે છે, જે સ્થાયી તરંગની આવર્તન અને પેટર્ન બદલી શકે છે.
૧૧. પ્રશ્ન: પ્રતિધ્વનિ સ્થાયી તરંગો સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
જવાબ: જ્યારે બાહ્ય બળ અથવા કંપન સિસ્ટમની કુદરતી આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે, ત્યારે એક ઉચ્ચારણ સ્થાયી તરંગ બનાવે છે ત્યારે પડઘો થાય છે.
૧૨. પ્રશ્ન: મૂળભૂત આવૃત્તિ શું છે?
જવાબ: મૂળભૂત આવર્તન, અથવા પ્રથમ હાર્મોનિક, એ સૌથી ઓછી આવર્તન છે જેના પર સિસ્ટમ સ્થાયી તરંગને ટેકો આપી શકે છે.
૧૩. પ્રશ્ન: ઓવરટોન હાર્મોનિક્સ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
જવાબ: ઓવરટોન એ મૂળભૂત આવર્તન કરતા ઉપરની આવર્તન છે. પહેલો ઓવરટોન બીજા હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે, બીજો ઓવરટોન ત્રીજા હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે, અને તેથી વધુ.
૧૪. પ્રશ્ન: નોડ્સ પર કોઈ વિસ્થાપન કેમ નથી?
જવાબ: નોડ્સ પર, બે દખલ કરતી તરંગો 180° દ્વારા તબક્કાની બહાર હોય છે, જેના પરિણામે વિનાશક દખલગીરી અને શૂન્ય વિસ્થાપન થાય છે.
૧૫. પ્રશ્ન: શું સ્થાયી તરંગોનું ધ્રુવીકરણ થઈ શકે છે?
જવાબ: તાર પર સ્થાયી તરંગો ત્રાંસી હોય છે અને તેથી તેમની દિશા ઓસિલેશન (ધ્રુવીકરણ) હોય છે. જોકે, હવા જેવા માધ્યમમાં, સ્થાયી ધ્વનિ તરંગો રેખાંશ હોય છે અને ધ્રુવીકરણ દર્શાવતા નથી.
૧૬. પ્રશ્ન: સંગીતનાં સાધનો સ્થાયી તરંગોના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ શા માટે કરે છે?
જવાબ: સંગીતનાં સાધનો ઘણીવાર સ્થાયી તરંગો બનાવીને અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે, જેમાં વિવિધ હાર્મોનિક્સ વિવિધ સંગીત સૂરો ઉત્પન્ન કરે છે.
૧૭. પ્રશ્ન: તરંગની ગતિ સ્થિર તરંગની આવર્તન અને તરંગલંબાઇ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
જવાબ: તરંગ ગતિ (v) એ આવર્તન (f) અને તરંગલંબાઇ (λ) નું ઉત્પાદન છે: v = fx λ.
૧૮. પ્રશ્ન: શું બે અલગ અલગ ફ્રીક્વન્સી એક જ માધ્યમમાં સ્થાયી તરંગો ઉત્પન્ન કરી શકે છે?
જવાબ: હા, જ્યાં સુધી ફ્રીક્વન્સીઝ તે માધ્યમમાં સ્થાયી તરંગો માટેની પરિસ્થિતિઓને અનુરૂપ હોય ત્યાં સુધી. દરેક ફ્રીક્વન્સી એક અલગ હાર્મોનિક રજૂ કરે છે.
૧૯. પ્રશ્ન: બંધ નળીઓમાં સ્થાયી તરંગો ખુલ્લા નળીઓમાં રહેલા તરંગોથી કેવી રીતે અલગ પડે છે?
જવાબ: બંધ નળીઓમાં, એક છેડે ગાંઠ હોય છે જ્યારે બીજા છેડે એન્ટિનોડ હોય છે. ખુલ્લી નળીઓમાં, બંને છેડા એન્ટિનોડ હોય છે.
20. પ્રશ્ન: શું આપેલ માધ્યમમાં કોઈપણ આવર્તન સાથે સ્થાયી તરંગો રચી શકાય છે?
જવાબ: ના, ફક્ત ચોક્કસ ફ્રીક્વન્સીઝ જે માધ્યમની સીમાની સ્થિતિઓને પૂર્ણ કરે છે તે જ સ્થાયી તરંગો ઉત્પન્ન કરશે.
સંગીતથી લઈને ટેલિકોમ્યુનિકેશન સુધીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં સ્થાયી તરંગોને સમજવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં મૂળભૂત તરંગ વર્તણૂકોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
