પ્રવાહી ગતિશીલતા - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

પ્રવાહી ગતિશીલતા - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

ટોરીસેલીનું પ્રમેય

૧. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે પાણીથી ભરેલો એક પાત્ર અને તેમાં એક છિદ્ર છે . જો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ ૧૦ મિલીસેકન્ડ ^-૨ હોય , તો તે છિદ્રમાંથી પાણીની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

ઊંચાઈ (h) = 85 સેમી – 40 સેમી = 45 સેમી = 0.45 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

જોઈએ છે: પાણીની ગતિ (v)

ઉકેલો:

ટોરીસેલીનો પ્રમેય જણાવે છે કે પાણી છિદ્રમાંથી એ જ ઝડપે બહાર નીકળે છે જેટલી ઝડપે કોઈ વસ્તુ સમાન ઊંચાઈથી મુક્ત પડે છે. ઊંચાઈ (h) = 85 સેમી – 40 સેમી = 45 સેમી = 0.45 મીટર

પાણીનો વેગ મુક્ત પતન ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે :

v _t ² = 2 ઘ

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 મીટર/સેકન્ડ

2. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે પાણીથી ભરેલો એક પાત્ર અને તેમાં એક છિદ્ર છે . જો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ 10 ms ^-2 હોય , તો તે છિદ્રમાંથી પાણીની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

ઊંચાઈ (h) = 1.5 મીટર – 0.25 મીટર = 1.25 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

જોઈએ છે: પાણીની ગતિ (v)

ઉકેલો:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 મીટર/સેકન્ડ

3. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે પાણીથી ભરેલો એક પાત્ર અને તેમાં એક છિદ્ર છે . જો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ 10 ms ^-2 હોય , તો તે છિદ્રમાંથી પાણીની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

ઊંચાઈ (h) = 1 મીટર – 0.20 મીટર = 0.8 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

જોઈએ છે: પાણીની ગતિ (v)

ઉકેલો:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 મીટર/સેકન્ડ

4. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે પાણીથી ભરેલો એક પાત્ર અને તેમાં એક છિદ્ર છે . જો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ 10 ms ^-2 હોય , તો તે છિદ્રમાંથી પાણીની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

ઊંચાઈ (ક) = 20 સેમી = 0.2 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

જોઈએ છે: પાણીની ગતિ (v)

ઉકેલો:

5. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે , પાણીથી ભરેલો એક પાત્ર અને તેમાં બે છિદ્રો છે . x ₁ અને x ₂ નો ગુણોત્તર કેટલો છે?

ઉકેલ

છિદ્ર ૧ માંથી પાણી મુક્ત પતનનો સમય અંતરાલ:

² વાગ્યે h = 1/2

૦.૫ = ૧/૨ (૧૦) ટી ^૨

૦.૫ = ૫ ટી ^૨

ટી ² = 0.8 / 5 = 0.16

t = 0.4 સેકન્ડ

છિદ્ર ૧ માંથી પાણી મુક્ત પતનનો સમય અંતરાલ:

² વાગ્યે h = 1/2

૦.૫ = ૧/૨ (૧૦) ટી ^૨

૦.૫ = ૫ ટી ^૨

ટી ² = 0.5 / 5 = 0.1

t = √0.1 સેકન્ડ

આડું અંતર (x) :

x _૧ = v _૧ t _૧ = (૨)(૦.૪) = ૦.૮ મીટર

x ₂ = v ₂ t ₂ = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = 1 મીટર

_{x 1} થી x ₂ નો ગુણોત્તર :

x _{૧ :} x _૨ = ૦.૮ : ૧ = ૮ : ૧૦ = ૪ : ૫

સાતત્યનું સમીકરણ

6. પાણી A થી B અને પછી C માં વિવિધ વ્યાસના પાઇપમાંથી વહે છે. A થી C નો ગુણોત્તર 8 : 3 છે. જો પાઇપ A માં પાણીની ગતિ v હોય, તો પાઇપ C માં પાણીની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

A (A) નું ક્ષેત્રફળ_A) = 8

_{C (A C} ) નું ક્ષેત્રફળ = 3

_{પાઇપ A (v A} ) માં પાણીની ગતિ = v

જોઈએ છે: પાઇપ C (v _C ) માં પાણીની ગતિ

ઉકેલો:

સાતત્યનું સમીકરણ:

એ _એ વિ _એ = એ _સી વિ _સી

8 વિ = 3 વિ _સે

v _C = 8/3 v

7. જો 12 સે.મી. વ્યાસવાળા પાઇપમાં પાણીની ગતિ 10 સે.મી./સેકન્ડ હોય, તો 8 સે.મી. વ્યાસવાળા પાઇપમાં પાણીની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

વ્યાસ 1 (d ₁ ) = 12 સેમી, ત્રિજ્યા 1 (r ₁ ) = 6 સેમી

વ્યાસ 2 (d ₂ ) = 8 સેમી, ત્રિજ્યા 2 (r ₂ ) = 4 સેમી

પાણીની ગતિ 1 (v ₁ ) = 10 સેમી/સેકન્ડ

જોઈએ છે: પાણીની ગતિ 2 (વિભાગ ₂ )

ઉકેલો:

ક્ષેત્રફળ 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

ક્ષેત્રફળ 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

સાતત્યનું સમીકરણ:

A ₁ વિ ₁ = A ₂ વિ ₂

(36π)(10) = (16π) વિરુદ્ધ ₂

(36)(10) = (16) વિરુદ્ધ ₂

૩૬૦ = (૧૬) વિરુદ્ધ _૨

વિરુદ્ધ ₂ = 360/16

વિરુદ્ધ ₂ = 22.5 સેમી/સેકન્ડ

8. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, વિવિધ વ્યાસના પાઇપમાંથી પાણી વહે છે. જો ક્ષેત્રફળ 1 (A ₁ ) = 8 સેમી ² , A ₂ = 2 સેમી ² અને પાઇપ 2 માં પાણીની ગતિ = v _{2 = 2 m/s હોય, તો પાઇપ 1 = v 1} માં પાણીની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

ક્ષેત્ર ૧ (એ)₁) = 8 સે.મી²

ક્ષેત્રફળ 2 (A ₂ ) = 2 સેમી ²

_{પાઇપ 2 (v 2} ) માં પાણીની ગતિ = 2 m/s

જોઈએ છે: પાઇપ 1 (v ₁ ) માં પાણીની ગતિ

ઉકેલો:

સાતત્યનું સમીકરણ:

A ₁ વિ ₁ = A ₂ વિ ₂

૮ વિરુદ્ધ _૧ = (૨)(૨)

૮ વિરુદ્ધ _૧ = ૪

વિરુદ્ધ _૧ = ૪ / ૮ = ૦.૫ મી/સેકન્ડ

9. જો મોટા પાઇપનો વ્યાસ નાના પાઇપના વ્યાસ કરતા 2 ગણો હોય, તો નાના પાઇપ પર પ્રવાહીની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

મોટા પાઇપનો વ્યાસ (d₁) = 2

મોટા પાઇપનો ત્રિજ્યા (r ₁ ) = ½ d ₁ = ½ (2) = 1

મોટા પાઇપનું ક્ષેત્રફળ ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

નાના પાઇપનો વ્યાસ (d ₂ ) = 1

નાના પાઇપનો ત્રિજ્યા (r ₂ ) = ½ d ₂ = ½ (1) = ½

નાની પાઇપનું ક્ષેત્રફળ ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

મોટા પાઇપ ( v ₁ ) પર પ્રવાહીની ગતિ = 4 m/s

જોઈએ છે: નાના પાઇપ પર પ્રવાહીની ગતિ ( વિભાજન ₂ )

ઉકેલો:

સાતત્યનું સમીકરણ:

A ₁ વિ ₁ = A ₂ વિ ₂

π 4 = ¼ π (વિરુદ્ધ ₂ )

૪ = ¼ (વિભાગ _૨ )

વિરુદ્ધ ₂ = 8 મીટર/સેકન્ડ

બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત અને સમીકરણો

10. 120 kP કોમ્પ્રેસર વડે પાણીને નીચેના પાઇપ (1) માં દાખલ કરીને 1 m/s ની ઝડપે ઉપર તરફ વહે છે . ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 10 m/ s છે અને પાણીની ઘનતા 1000 kg/m છે ^-3 . ઉપલા પાઇપ (II ) પર પાણીનું દબાણ કેટલું છે ?

જાણીતા:

નીચલા પાઇપનો ત્રિજ્યા (r₁) = 12 સે.મી

નીચલા પાઇપ (r ₂ ) ની ત્રિજ્યા = 6 સેમી

નીચલા પાઇપમાં પાણીનું દબાણ (p ₁ ) = 120 kPa = 120,000 પાસ્કલ

નીચલા પાઇપમાં પાણીની ગતિ (v ₁ ) = 1 ms ^-1

નીચલા પાઇપની ઊંચાઈ (h ₁ ) = 0 મીટર

ઉપલા પાઇપની ઊંચાઈ (h ₂ ) = 2 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms ^-2

પાણીની ઘનતા = 1000 કિગ્રા.મી ^-3

જોઈએ છે: પાઇપ 2 (p ₂ ) માં પાણીનું દબાણ

ઉકેલો:

પાઇપ 2 માં પાણીની ગતિ સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

પાઇપ 2 માં પાણીનું દબાણ બર્નૌલી સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

૧૧. જમીનથી ૫ મીટર ઉપર એક મોટો પાઇપ અને જમીનથી ૧ મીટર ઉપર એક નાનો પાઇપ. મોટા પાઇપમાં પાણીનો વેગ ૩૬ કિમી/કલાક છે અને તેનું દબાણ ૯.૧ x ૧૦ ^૫ પા છે, જ્યારે નાના પાઇપમાં દબાણ ૨.૧૦ ^૫ પા છે. નાના પાઇપમાં પાણીનો વેગ કેટલો છે ? પાણીની ઘનતા = ૧૦ ^૩ કિગ્રા/મી ^૩

જાણીતા:

મોટા પાઇપમાં પાણીનું દબાણ (p₁) = ૧૦૦ x ૧૨⁵ પાસ્કલ = ૯૧૦,૦૦૦ પાસ્કલ

નાના પાઇપમાં પાણીનું દબાણ (p ₂ ) = 2 x 10 ⁵ પાસ્કલ = 200,000 પાસ્કલ

મોટા પાઇપમાં પાણીની ગતિ (v ₁ ) = 36 કિમી/કલાક = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 મીટર/સેકન્ડ

મોટા પાઇપની ઊંચાઈ (h ₁ ) = -4 મીટર

નાના પાઇપની ઊંચાઈ (h ₂ ) = 0 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms ^-2

પાણીની ઘનતા = 1000 કિગ્રા/મીટર ³

જોઈએ છે: નાના પાઇપમાં પાણીની ગતિ (વિભાગ ₂ )

ઉકેલો:

_{નાના પાઇપ (v 2} ) માં પાણીની ગતિ બર્નૌલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

૧૨. ૧૫ સે.મી. ત્રિજ્યા ધરાવતો પાઇપ, ૫ સે.મી. ત્રિજ્યા ધરાવતો બીજો પાઇપ સાથે જોડાયેલો છે . બંને પાઇપ આડી સ્થિતિમાં છે. મોટા પાઇપમાં પાણીના પ્રવાહનો વેગ ૧૦ ^૫ N/ m ^૨ ના દબાણે ૧ મીટર/સેકન્ડ છે . નાના પાઇપ પર પાણીનું દબાણ કેટલું છે (૧ ગ્રામ સે.મી. ^-૩ )

જાણીતા:

મોટા પાઇપનો ત્રિજ્યા (r ₁ ) = 15 સેમી = 0.15 મીટર

નાના પાઇપની ત્રિજ્યા (r ₂ ) = 5 સેમી = 0.05 મીટર

મોટા પાઇપમાં પાણીનું દબાણ (p ₁ ) = 10 ⁵ N m ^-2 = 100.000 N m ^-2

મોટા પાઇપમાં પાણીની ગતિ (v ₁ ) = 1 ms ^-1

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms ^-2

પાણીની ઘનતા = 1 ગ્રામ સેમી ^-3 = 1000 કિગ્રા મીટર ^-3

ઊંચાઈનો તફાવત (Δh) = 0.

જોઈએ છે: નાના પાઇપમાં દબાણ (p ₂ )

ઉકેલો:

પાઇપ 2 માં પાણીની ગતિ સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

_{નાના પાઇપ (p 2} ) માં પાણીનું દબાણ બર્નૌલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

1. પ્રવાહી ગતિશીલતા શું છે?
   • જવાબ: પ્રવાહી ગતિશીલતા એ ભૌતિકશાસ્ત્રની એક શાખા છે જે પ્રવાહી (પ્રવાહી અને વાયુઓ) ની ગતિ અને તેમના પર કાર્ય કરતા બળોનો અભ્યાસ કરે છે. તે સિદ્ધાંતો અને સમીકરણોને સમાવે છે જે વર્ણવે છે કે પ્રવાહી કેવી રીતે વહે છે, ઘન સીમાઓ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે અને એકબીજાને કેવી રીતે અસર કરે છે.
2. લેમિનાર અને ટર્બ્યુલન્ટ ફ્લો વચ્ચે શું તફાવત છે?
   • જવાબ: લેમિનર પ્રવાહ પ્રવાહીના સરળ, સમાંતર સ્તરો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે જે વ્યવસ્થિત માર્ગોમાં ફરે છે. બીજી બાજુ, તોફાની પ્રવાહ અસ્તવ્યસ્ત હોય છે, જેમાં એડી, વમળ અને ઝડપી વધઘટ હોય છે. તોફાન સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ વેગ પર અથવા અનિયમિત આકારની ચેનલોમાં થાય છે.
3. પ્રવાહી ગતિશીલતામાં સ્નિગ્ધતાનો ખ્યાલ કેવી રીતે મહત્વપૂર્ણ છે?
   • જવાબ: સ્નિગ્ધતા પ્રવાહીના પ્રવાહના પ્રતિકારને માપે છે. ઉચ્ચ-સ્નિગ્ધતા પ્રવાહી (જેમ કે મધ) ઓછી-સ્નિગ્ધતા પ્રવાહી (જેમ કે પાણી) કરતાં પ્રવાહનો વધુ પ્રતિકાર કરે છે. પ્રવાહી ગતિશીલતામાં, પ્રવાહી પ્રવાહ, ઉર્જા વિસર્જન અને ખેંચાણ બળોની પ્રકૃતિ નક્કી કરવામાં સ્નિગ્ધતા મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે.
4. બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત શું છે?
   • જવાબ: બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સ્થિર પ્રવાહમાં, પ્રતિ એકમ વોલ્યુમ દબાણ ઊર્જા, ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિજ ઊર્જાનો સરવાળો સ્થિર રહે છે. ખાસ કરીને, જ્યાં પ્રવાહી વેગ વધારે હોય છે, ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે, અને ઊલટું.
5. એરોડાયનેમિક્સમાં લિફ્ટનો સિદ્ધાંત પ્રવાહી ગતિશીલતા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
   • જવાબ: બર્નૌલીના સિદ્ધાંત અને ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિમાનની પાંખ પરની લિફ્ટ સમજાવી શકાય છે. જેમ જેમ હવા પાંખ ઉપરથી વહે છે, તેમ તેમ તે નીચેની સપાટી કરતાં વક્ર ટોચની સપાટી પર વધુ ઝડપથી ફરે છે, જેના કારણે દબાણમાં તફાવત સર્જાય છે. દબાણમાં આ તફાવત, પાંખ દ્વારા હવાના નીચે તરફના વિચલન સાથે, ઉપર તરફ બળ અથવા લિફ્ટમાં પરિણમે છે.
6. પ્રવાહી ગતિશીલતામાં સાતત્યનું સમીકરણ શું છે?
   • જવાબ: સાતત્યનું સમીકરણ જણાવે છે કે પ્રવાહના ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયા (A) અને તેના વેગ (v) નું ઉત્પાદન સ્થિર પ્રવાહમાં સ્ટ્રીમલાઇન સાથે સ્થિર રહે છે. ગાણિતિક રીતે, A₁​v_1​=A₂​v₂​જ્યાં A_1​ અને A₂​ ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તારો છે અને v₁​ અને v_2​ સ્ટ્રીમલાઇન સાથે બે બિંદુઓ પર વેગ છે.
7. રેનોલ્ડ્સ નંબર પ્રવાહી ગતિશીલતામાં શું ભૂમિકા ભજવે છે?
   • જવાબ: રેનોલ્ડ્સ નંબર એ એક પરિમાણહીન જથ્થો છે જે પ્રવાહી ગતિશીલતામાં પ્રવાહ શાસન (લેમિનાર, સંક્રમિત અથવા તોફાની) ની આગાહી કરવામાં મદદ કરે છે. તેને જડતા બળ અને ચીકણા બળોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે પ્રવાહી વેગ, લાક્ષણિક લંબાઈ અને પ્રવાહી ગુણધર્મો જેવા પરિબળો પર આધાર રાખે છે.
8. પ્રવાહીમાં ગતિ કરતી વસ્તુઓ પર ખેંચાણ બળ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે?
   • જવાબ: ખેંચાણ બળ પ્રવાહી દ્વારા પદાર્થની ગતિનો વિરોધ કરે છે. તે પ્રવાહીના ચીકણા પ્રતિકાર અને પદાર્થની આસપાસ દબાણના તફાવતને કારણે ઉદ્ભવે છે. ખેંચાણનું પ્રમાણ અને પ્રકૃતિ પદાર્થના આકાર, ખરબચડીપણું, ગતિ અને પ્રવાહીના ગુણધર્મો જેવા પરિબળો પર આધાર રાખે છે.
9. વેન્ચુરી અસર શું છે?
   • જવાબ: વેન્ચુરી અસર એ પ્રવાહી દબાણમાં ઘટાડો દર્શાવે છે જે પાઇપના સંકુચિત ભાગમાંથી પ્રવાહી વહે છે ત્યારે થાય છે. જેમ જેમ સંકુચિત ભાગમાં પ્રવાહીનો વેગ વધે છે (દળના સંરક્ષણને કારણે), બર્નૌલીના સિદ્ધાંત અનુસાર તેનું દબાણ ઘટે છે.
10. પાઇપ અથવા ચેનલના સાંકડા ભાગમાંથી વહેતી વખતે પ્રવાહીની ગતિ કેમ વધે છે?

• જવાબ: આ વર્તણૂકને દળના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવી શકાય છે. સ્થિર પ્રવાહમાં, પાઇપના એક ભાગમાં પ્રવેશતા પ્રવાહીનું પ્રમાણ બહાર નીકળતા પ્રવાહીના જથ્થા જેટલું હોવું જોઈએ. જો પાઇપ સાંકડી હોય, તો પ્રવાહીની ગતિ વધવી જોઈએ જેથી આપેલ સમયમાં તે જ જથ્થામાંથી પસાર થઈ શકે.