કણોની ગતિશીલતા - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

કણોની ગતિશીલતા - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

1. નીચે આપેલી આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, 6-kg દળ ધરાવતો પદાર્થ A અને 4-kg દળ ધરાવતો પદાર્થ B, દોરીથી જોડાયેલ અને F = 60 N બળથી ખેંચાયેલ. ફ્લોર અને બંને પદાર્થો વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.5 (tan θ = ¾) છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 10 m/s ² છે . તણાવ બળનું મૂલ્ય કેટલું છે?

જાણીતા:

પદાર્થ A નું દળ (મી_A) = ૦.૨ કિગ્રા

પદાર્થ B (m _B ) નું દળ = 4 કિલો

બળ (F) = 60 ન્યૂટન

પદાર્થ અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક (μ _k ) = 0.5

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s²

ટેન θ = 3/4

જોઈએ છે: ટેન્શન ફોર્સ (T)

ઉકેલો:

બળ F નો આડો ઘટક:

એફ _x = એફ કોસ θ

F _x = (60)(4/5) = (4)(12) = 48 N

બળ F નો વર્ટિકલ ઘટક:

F _y = F sin θ

F _y = (60)(3/5) = (3)(12) = 36 N

પદાર્થ A પર લાગતું સામાન્ય બળ :

N _A = w _A = m _A g = (6)(10) = 60 N

પદાર્થ B પર લાગતું સામાન્ય બળ:

N _B + F _y – w _B = 0

N _B + F _y = w _B

N _B = w _B – F _y = m _B g – F _y = (4)(10) – 36 = 40 – 36 = 4 N

પદાર્થ A અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનું બળ:

f _kA = μ _k N _A = (0.5)(60) = 30 N

પદાર્થ B અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનું બળ:

f _kB = μ _k N _B = (0.5)(4) = 2 N

બંને પદાર્થોના પ્રવેગની ગણતરી કરો:

ΣF = મા

F _x – T + T – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) a

F _x – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) a

૫ – ૧ – ૩ = (૦.૧ + ૦.૩) a

૪૮૦ = ૨૪૦ ક

a = ૪૮૦/૨૪૦

a = 1.6 મીટર/સેકન્ડ ²

તણાવ બળની ગણતરી કરો:

ઑબ્જેક્ટ A :

ΣF = મા

ટી _એ – એફ _કેએ = મી _એ એ

ટી _એ – ૩૦ = (૬)(૧.૬)

ટી _એ – ૩૦ = ૯.૬

ટી _એ = ૯.૬ + ૩૦ = ૩૯.૬ એન

ઑબ્જેક્ટ B :

ΣF = મા

F _x – f _kB – T _B = m _B a

૪૮ – ૨ – ટી _બી = (૪)(૧,૬)

૪૬ – ટી _બી = ૬.૪

૪૬ – ૬.૪ = ટી _બી

ટી _બી = 39.6 એન

2. જો બંને બ્લોક્સ અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.2 હોય, તો બંને પદાર્થોનો પ્રવેગ કેટલો હશે? (cos 37 ^o = 0,8, sin 37 ^o = 0,6)

જાણીતા:

પદાર્થ A નું દળ (મી_A) = ૦.૨ કિગ્રા

પદાર્થ B (m _B ) નું દળ = 2 કિલો

બળ (F) = 30 ન્યૂટન

પદાર્થ અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક (μ _k ) = 0.2

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s²

કોસ ૩૭ ^ઓ = ૦.૮

પાપ ૩૭ ^ઓ = ૦.૬

જોઈએ છે: બંને વસ્તુઓનું પ્રવેગક

ઉકેલો:

બળ F નો આડો ઘટક :

એફ _x = એફ કોસ θ

F _x = (30)(0.8) = 24 N

બળ F નો ઊભી ઘટક:

F _y = F sin θ

F _y = (30)(0.6) = 18 N

પદાર્થ A પર લાગતું સામાન્ય બળ:

N _A = w _A = m _A g = (4)(10) = 40 N

પદાર્થ B પર લાગતું સામાન્ય બળ:

N _B + F _y – w _B = 0

N _B + F _y = w _B

N _B = w _B – F _y = m _B g – F _y = (2)(10) – 18 = 20 – 18 = 2 N

પદાર્થ A અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનું બળ:

f _kA = μ _k N _A = (0.2)(40) = 8 N

પદાર્થ B અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનું બળ:

f _kB = μ _k N _B = (0.2)(2) = 0.4 N

બંને પદાર્થોનું પ્રવેગ:

ΣF = મા

F _x – f _kB – f _kA = (m _A + m _B ) a

૫ – ૧ – ૩ = (૦.૧ + ૦.૩) a

૪૮૦ = ૨૪૦ ક

a = 15.6 / 6

a = 2.6 મીટર/સેકન્ડ ²

3. નીચે આપેલી આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, બે પદાર્થો દોરી દ્વારા ગરગડી પર જોડાયેલા છે. પદાર્થ A = m _A , પદાર્થ f = m _B અને બ્લોક B નું પ્રવેગ a છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ g છે. બ્લોક B પર તાણ બળ શું છે?

ઉકેલો:

આડી સપાટી સુંવાળી છે તેથી કોઈ ઘર્ષણ નથી. સિસ્ટમને વેગ આપતું એકમાત્ર બળ બ્લોક B નું વજન છે.

સિસ્ટમનો પ્રવેગ:

તાણ બળ (T):

સમીકરણ 1 માં m _{A ને} સમીકરણ 2 માં m _A થી બદલો .

1. કણોના સંદર્ભમાં સ્ટેટિક્સ અને ડાયનેમિક્સ વચ્ચે શું તફાવત છે?
   • જવાબ: સ્ટેટિક્સ સંતુલનમાં કણો પરના બળોના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે, જ્યાં બધા બળ સંતુલિત હોય છે, અને કોઈ પ્રવેગ નથી હોતો. બીજી બાજુ, ગતિશાસ્ત્ર, જ્યારે દળો અસંતુલિત હોય છે, જેના કારણે પ્રવેગ થાય છે ત્યારે કણોના બળ અને પરિણામે થતી ગતિનો અભ્યાસ કરે છે.
2. ન્યુટનનો બીજો નિયમ કણની ગતિ પર કેવી રીતે લાગુ પડે છે?
   • જવાબ: ન્યૂટનનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે કણ પર લાગતું બળ તેના પ્રવેગના ગુણાકાર કણના દળ જેટલું હોય છે: $F=ma$આ નિયમ વર્ણવે છે કે બળ કણની ગતિને કેવી રીતે અસર કરશે, જે તેના દળ અને બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા પ્રવેગ પર આધાર રાખે છે.
3. રેખીય ગતિના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત શું છે અને તે કણો પર કેવી રીતે લાગુ પડે છે?
   • જવાબ: રેખીય ગતિના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો કોઈ બાહ્ય બળ સિસ્ટમ પર કાર્ય ન કરે તો કણોની બંધ સિસ્ટમનો કુલ રેખીય ગતિ સ્થિર રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમમાં કણો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પહેલા અને પછીનો કુલ ગતિ સમાન રહેશે.
4. કણ પર કરવામાં આવતા કાર્યનો ખ્યાલ કણના લાગુ બળ અને વિસ્થાપન સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
   • જવાબ: કણ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય એ કણ પર લાગુ બળ, કણનું વિસ્થાપન અને બળ અને વિસ્થાપન વેક્ટર વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનનું ઉત્પાદન છે: $W=Fdકોસ\theta$.
5. કણના સંદર્ભમાં ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિજન્ય ઊર્જા વચ્ચે શું તફાવત છે?
   • જવાબ: ગતિ ઊર્જા એ કણની ગતિને કારણે મળતી ઊર્જા છે અને તે 1/2 દ્વારા આપવામાં આવે છે ​mv²જ્યાં $m$ દળ છે અને $v$ વેગ છે. સ્થિતિ ઊર્જા એ કણમાં સંગ્રહિત ઊર્જા છે જે બળ ક્ષેત્રમાં (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા વિદ્યુત ક્ષેત્રો) તેના સ્થાનને કારણે સંગ્રહિત થાય છે. સ્થિતિ ઊર્જા માટે ચોક્કસ અભિવ્યક્તિ કણ પર કાર્ય કરતા બળ પર આધાર રાખે છે.
6. કણ પરનો આવેગ તેના વેગમાં ફેરફાર સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
   • જવાબ: કણ પરનો આઘાત એ કણ પર લાગુ કરાયેલા બળ અને તે બળ લાગુ પડે તે સમયનો ગુણાકાર છે. તે કણના વેગમાં ફેરફાર સમાન છે: $I=F\Delta t=\Delta p$.
7. "મુક્ત કણ" નો અર્થ શું છે અને તે કેવી રીતે વર્તે છે?
   • જવાબ: મુક્ત કણ એ છે જે કોઈપણ બળને આધીન નથી. ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ મુજબ, મુક્ત કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય તો તે સ્થિર રહેશે અથવા શરૂઆતમાં ગતિમાં હોય તો સતત વેગ સાથે આગળ વધશે.
8. કણોની ગતિશીલતામાં ઘર્ષણ શું ભૂમિકા ભજવે છે?
   • જવાબ: ઘર્ષણ એ એક બળ છે જે સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે. કણ ગતિશીલતાના સંદર્ભમાં, ઘર્ષણ ઘર્ષણ બળની દિશા અને તીવ્રતાના આધારે કણની ગતિ ધીમી અથવા બંધ કરી શકે છે.
9. કેન્દ્રીય બળ કણના માર્ગને કેવી રીતે પ્રભાવિત કરે છે?
   • જવાબ: કેન્દ્રીય બળ એ બળ છે જે કણને એક નિશ્ચિત બિંદુ, જેને કેન્દ્ર કહેવાય છે, સાથે જોડતી રેખા સાથે કાર્ય કરે છે. આવા બળ ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓમાં સામાન્ય છે અને કણને એવા માર્ગે આગળ વધવા માટે કારણભૂત બનાવે છે જે કેન્દ્રની આસપાસ ચોક્કસ કોણીય ગતિ જાળવી રાખે છે, જે ઘણીવાર લંબગોળ અથવા ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં પરિણમે છે.
10. કણોની સિસ્ટમ પર કાર્યરત ચોખ્ખા બાહ્ય બળ અને સિસ્ટમના કુલ રેખીય વેગના પરિવર્તન દર વચ્ચે શું સંબંધ છે?

• જવાબ: કણોના તંત્ર પર લાગુ પડતા ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ, તંત્ર પર કાર્ય કરતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ તંત્રના કુલ રેખીય વેગના પરિવર્તનના દર જેટલું છે: Fએક્સ​=dP/dt​જ્યાં $\mathbf{P}$ કુલ રેખીય ગતિ છે.