ચક્રાકાર ગતિ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

1. 10 કિલો વજનનો પદાર્થ વર્તુળમાં 4 મીટર/સેકન્ડની ગતિએ ગતિ કરે છે. જો વર્તુળની ત્રિજ્યા 0.5 મીટર હોય, તો:

૧) વર્તુળોની આવૃત્તિ ૪/π હર્ટ્ઝ છે.

2) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ 32 ms ^{-2 છે}

૩) કેન્દ્રગામી બળ ૩૨૦ N છે

4) સમયગાળો 4π s છે.

સાચા વિધાન કયા છે?

જાણીતા:

પદાર્થનું દળ (મીટર) = 10 કિલો

રેખીય વેગ (v) = 4 m/s

વર્તુળ (r) ની ત્રિજ્યા = 0.5 મીટર

ઉકેલો:

૧) વર્તુળની આવર્તન

v = 2 π rf

૪ = ૨ π (૦.૫) એફ

૪ = π એફ

f = 4/π હર્ટ્ઝ

2) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ

a _s = v ² / r = 4 ² / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/s ²

૩) કેન્દ્રગામી બળ

F = ma _s = (10)(32) = 320 N

૪) સમયગાળો

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. એક પદાર્થ 6 મીટર ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. જો તે પદાર્થ 2 મિનિટમાં 16 વર્તુળો પરિક્રમા કરે છે, તો તે પદાર્થનો રેખીય વેગ કેટલો હશે?

જાણીતા:

ત્રિજ્યા (r) = 6 મીટર

કોણીય વેગ (ω) = 16 પરિભ્રમણ / 2 મિનિટ = 8 પરિભ્રમણ / મિનિટ = 8 પરિભ્રમણ / 60 સેકન્ડ = 0.13 પરિભ્રમણ/સેકન્ડ.

જોઈએ છે: રેખીય વેગ (v)?

ઉકેલો:

v = r ω = (6 મીટર)(0.13 પરિભ્રમણ/સેકન્ડ) = 0.8 મીટર/સેકન્ડ

રેડિયનમાં:

૧ પરિભ્રમણ = ૨π રેડિયન = ૨(૩.૧૪) = ૬.૨૮ રેડિયન

કોણીય વેગ = 8 (6.28) રેડિયન / 60 સેકન્ડ = 50.24 રેડિયન / 60 સેકન્ડ = 0.84 રેડિયન/સેકન્ડ

v = r ω = (6 મીટર)(0.84 રેડિયન/સેકન્ડ) = 5.04 રેડિયન/સેકન્ડ.

3. 20/π સે.મી. ત્રિજ્યા ધરાવતો પદાર્થ 1 સેકન્ડમાં 4 વખત ફરે છે. પદાર્થની ધારનો રેખીય વેગ કેટલો છે?

જાણીતા:

ત્રિજ્યા (r) = 20/π સેમી = 20 / 3.14 સેમી = 6.4 સેમી = 0.064 મીટર

કોણીય વેગ (ω) = 4 પરિભ્રમણ / 1 સેકન્ડ = 4 પરિભ્રમણ / સેકન્ડ.

૧ ક્રાંતિ = (૨)(૩.૧૪) રેડિયન = ૬.૨૮ રેડિયન

કોણીય વેગ (ω) = (4)(6.28) રેડિયન/સેકન્ડ = 25.12 રેડિયન/સેકન્ડ

ઇચ્છિત: પદાર્થની ધારનો રેખીય વેગ (v)

ઉકેલો:

v = r ω = (0.064 મીટર)(25.12 રેડિયન/સેકન્ડ) = 1.6 મીટર/સેકન્ડ

4. કોઈ પદાર્થ વર્તુળમાં સતત ગતિએ ફરતો હોય, તો તેનો રેખીય વેગ... પર આધાર રાખે છે.

ઉકેલો:

ગોળાકાર ગતિના રેખીય વેગનું સમીકરણ:

v = રેખીય વેગ

d = 2πr = પરિઘ

T = સમયગાળો = એક સંપૂર્ણ ક્રાંતિ માટે જરૂરી સમય.

૫. કોઈ પદાર્થ ૫૦ મીટર ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. જો પદાર્થની કોણીય ગતિ ૧૨૦ આરપીએમ હોય, તો પદાર્થનો સમય અંતરાલ અને રેખીય વેગ કેટલો હશે?

જાણીતા:

ત્રિજ્યા (r) = 50 સેમી = 0.5 મીટર

કોણીય વેગ (ω) = 120 rpm = 120 ક્રાંતિ / 1 મિનિટ = 120 ક્રાંતિ / 60 મિનિટ = 2 ક્રાંતિ / 1 સેકન્ડ

૧ પરિભ્રમણ = ૨π રેડિયન

કોણીય વેગ (ω) = 2 (2π રેડિયન) / 1 સેકન્ડ = 4π રેડિયન/સેકન્ડ

ઇચ્છિત: સમય અંતરાલ (T) અને રેખીય ગતિ (v)

ઉકેલો:

સમયગાળો (T):

સમયગાળો એટલે એક સંપૂર્ણ ક્રાંતિ માટે જરૂરી સમય.

એક પદાર્થ ૧ સેકન્ડમાં બે પરિભ્રમણ કરે છે = પ્રતિ ૦.૫ સેકન્ડમાં ૧ પરિભ્રમણ. સમયગાળો = ૦.૫ સેકન્ડ.

રેખીય વેગ (v):

v = r ω = (0.5 મીટર)(4π રેડિયન/સેકન્ડ) = 2π મીટર/સેકન્ડ.

ગોળાકાર ગતિમાં સ્પર્શક ગતિ અને કોણીય ગતિ વચ્ચે શું તફાવત છે?
જવાબ : સ્પર્શક ગતિ એ ફરતી વસ્તુ પર બિંદુની રેખીય ગતિ છે અને તે દર્શાવે છે કે બિંદુ તેના ગોળાકાર માર્ગ પર કેટલી ઝડપથી આગળ વધી રહ્યું છે. બીજી બાજુ, કોણીય ગતિ એ દર્શાવે છે કે પદાર્થ ફરે છે તેમ કોણ કેટલી ઝડપથી બદલાય છે. સ્પર્શક ગતિ સામાન્ય રીતે મીટર પ્રતિ સેકન્ડ (m/s) માં માપવામાં આવે છે જ્યારે કોણીય ગતિ સામાન્ય રીતે રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ (rad/s) માં માપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ શું છે અને તે ગોળાકાર ગતિ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
જવાબ : કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ એક પ્રવેગ છે જે પદાર્થ ગોળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરે છે. તે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરે છે અને પદાર્થને તેના ગોળાકાર માર્ગમાં રાખવા માટે જવાબદાર છે. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર $a_{c} = v ^{2 /r}$ જ્યાં $v$ એ સ્પર્શક ગતિ છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
એકસરખી ગોળાકાર ગતિમાં રહેલી વસ્તુની ગતિ સ્થિર હોવા છતાં, તેનો પ્રવેગ કેમ થાય છે?
જવાબ : એકસરખી ગોળાકાર ગતિમાં ગતિનું મૂલ્ય (અથવા કદ) સ્થિર રહે છે, પરંતુ વેગની દિશા બદલાય છે. પ્રવેગને વેગમાં ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને વેગ એ પરિમાણ અને દિશા બંને સાથે વેક્ટર જથ્થો છે, તેથી દિશામાં કોઈપણ ફેરફાર પ્રવેગક બને છે. આ કિસ્સામાં, તે કેન્દ્રગામી પ્રવેગક છે.
ગોળાકાર ગતિ જાળવવા માટે જરૂરી બળ પદાર્થના દળ અને વર્તુળની ત્રિજ્યા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
જવાબ : ગોળાકાર ગતિ જાળવવા માટે જરૂરી બળ કેન્દ્રગામી બળ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_{c} = m \times a_{c} = m \times v ^{2 /r}$
જ્યારે કાર તીવ્ર વળાંક લે છે (દા.ત., ગોળાકાર દિશામાં) ત્યારે તમને બહારની તરફ ધક્કો કેમ લાગે છે?
જવાબ : આ "કાલ્પનિક" કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે છે, જે એક એવું બળ છે જે ગોળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા શરીર પર બહારની તરફ કાર્ય કરે છે. તે દબાણ અથવા ખેંચાણના અર્થમાં વાસ્તવિક બળ નથી, પરંતુ જડતાની અસર છે. તમારું શરીર સીધી રેખામાં આગળ વધવા માંગે છે (ન્યુટનનો પ્રથમ નિયમ), પરંતુ કારની દિવાલો અથવા સીટબેલ્ટ તમને વર્તુળમાં ગતિ કરતા રાખવા માટે બળનો ઉપયોગ કરે છે. આનાથી બહારની તરફ ધકેલવામાં આવી રહ્યાની અનુભૂતિ થાય છે.
ગોળાકાર ગતિમાં ઘર્ષણ શું ભૂમિકા ભજવે છે, ખાસ કરીને જ્યારે કાર રસ્તા પર વળતી હોય?
જવાબ : ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના ઘર્ષણથી કારને વળવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ મળે છે. પૂરતા ઘર્ષણ વિના, કાર તેના હેતુવાળા ગોળાકાર માર્ગને અનુસરવામાં નિષ્ફળ જાય છે, જેના કારણે તે સરકી જાય છે અથવા લપસી જાય છે.
જો ગોળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે પણ ગતિ એ જ રહે તો કેન્દ્રગામી બળ કેવી રીતે બદલાય છે?
જવાબ : જો ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે અને ગતિ સમાન રહે, તો કેન્દ્રગામી બળ બમણું થશે, કારણ કે કેન્દ્રગામી બળ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણસર છે.
ગોળાકાર ગતિમાં કેન્દ્રગામી બળ વિના આપણે કેન્દ્રગામી બળ કેમ ન રાખી શકીએ?
જવાબ : કેન્દ્રત્યાગી બળ એ એક પ્રતિક્રિયાશીલ અથવા "કાલ્પનિક" બળ છે જે ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમમાં જોવા મળે છે. તે પરિભ્રમણના કેન્દ્રથી વસ્તુઓને બહારની તરફ ધકેલે છે. જોકે, કોઈ પદાર્થને ગોળાકાર માર્ગમાં ખસેડવા માટે, કેન્દ્ર તરફ કાર્ય કરતું એક વાસ્તવિક બળ હોવું આવશ્યક છે, જે કેન્દ્રત્યાગી બળ છે. કેન્દ્રત્યાગી બળ વિના, શરૂઆતમાં ગોળાકાર ગતિ ન હોત, અને તેથી, કેન્દ્રત્યાગી બળની કોઈ ધારણા ન હોત.
ચંદ્રની ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા માટે પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેવી રીતે જવાબદાર છે?
જવાબ : પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ચંદ્રને પૃથ્વીની આસપાસ તેની ભ્રમણકક્ષામાં રાખે છે તે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે. આ ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ વિના, ચંદ્ર તેની ગોળાકાર (અથવા વધુ સચોટ રીતે કહીએ તો, લંબગોળ) ભ્રમણકક્ષાને બદલે સીધી રેખામાં ફરત.
જો બોલને વર્તુળમાં સમાન ગતિએ ફેરવતી વખતે બોલ સાથે બાંધેલી દોરી અડધી ટૂંકી કરવામાં આવે, તો દોરીમાં તણાવ કેવી રીતે બદલાશે?

જવાબ : જો દોરીની લંબાઈ (જે ગોળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યાને અનુરૂપ છે) અડધી કરવામાં આવે અને ગતિ સ્થિર રાખવામાં આવે, તો જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ (અને આમ દોરીમાં તણાવ) બમણું થશે. આનું કારણ એ છે કે કેન્દ્રગામી બળ (અને વિવિધ રીતે, આ પરિસ્થિતિ માટે તણાવ) ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણસર છે.