૧. ની વ્યાખ્યા ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર
એક કઠોર શરીર ઘણા કણોથી બનેલું હોય છે; તેથી, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આ દરેક કણો પર કાર્ય કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક કણનું પોતાનું વજન હોય છે. પદાર્થનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર એ પદાર્થ પરનું એક બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થના તમામ ભાગોનું વજન તે બિંદુ પર કેન્દ્રિત માનવામાં આવે છે.
જો કોઈ વસ્તુ એકરૂપ હોય (તે વસ્તુના દરેક ભાગની ઘનતા સમાન હોય અથવા તે વસ્તુ સમાન સામગ્રીથી બનેલી હોય) અને વસ્તુનો આકાર સપ્રમાણ હોય (ઉદાહરણ તરીકે ચોરસ, લંબચોરસ, વર્તુળ)
પછી પદાર્થનું વજન પદાર્થના દળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ થાય છે, જે પદાર્થના કેન્દ્રમાં સ્થિત છે. ત્રિકોણ માટે, દળનું કેન્દ્ર 1/3 h (h = ત્રિકોણની ઊંચાઈ) પર સ્થિત છે.
2. ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રનું સમીકરણ
જો પદાર્થનો આકાર સપ્રમાણ હોય અને પદાર્થ એકરૂપ હોય, તો પદાર્થનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર પદાર્થના દળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ થાય છે,
જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર અને દળનું કેન્દ્ર પદાર્થના કેન્દ્રમાં સ્થિત હોય છે. તેનાથી વિપરીત, જો પદાર્થ એકરૂપ હોય પણ સપ્રમાણ ન હોય, તો પદાર્થના વજનનું સ્થાન નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે.
x-અક્ષ પર પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ:
y-અક્ષ પર પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ:
x = x-અક્ષ પર પદાર્થનો મધ્યબિંદુ, y = y-અક્ષ પર પદાર્થનો મધ્યબિંદુ, A = ક્ષેત્રફળ. જો પદાર્થ ત્રણ પરિમાણમાં હોય, તો x અને y અક્ષો પર પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા ઉપરાંત, તે z-અક્ષ પર પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ નક્કી કરે છે. ક્ષેત્રફળ (A) ને વોલ્યુમ (V) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
નમૂના સમસ્યા ૧.
બાજુ પરની આકૃતિમાં સજાતીય પદાર્થના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો!
ઉકેલ:
વસ્તુને ત્રણ ભાગમાં વહેંચો.
A 1 = (10-0)(10-0) = (10)(10) = 100
A2 = (૧૦-૦)(૧૦-૦) = (૧૦)(૧૦) = ૧૦૦
A 3 = (30-20)(10-0) = (10)(10) = 100
x ૨ = ૧/૨ (૬-૦) = ૧/૨ (૬) = ૩
x ૧ = ૧/૨ (૫-૧) + ૧ = ૧/૨ (૪) + ૧ = ૨ + ૧ = ૩
x ૩ = ૧/૨ (૩૦-૨૦) + ૨૦ = ૧/૨ (૧૦) + ૨૦ = ૫ + ૨૦ = ૨૫
y 1 = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5
y 2 = 1⁄2 (30-0) = 1⁄2 (30) = 15
y 3 = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5
x-અક્ષ પર પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ:
y-અક્ષ પર પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ:
પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ (15; 11) છે.
નમૂના સમસ્યા ૧.
આકૃતિમાં પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો!
ઉકેલ:
વસ્તુને બે ભાગમાં વિભાજીત કરો, ક્ષેત્રફળ 1 = ચોરસ, ક્ષેત્રફળ 2 = ત્રિકોણ.
A 1 = (5-1)(3-0) = (4)(3) = 12
A 2 = 1⁄2 (6-0)(9-3) = 1⁄2 (6)(6) = (3)(6) = 18
x ૧ = ૧/૨ (૫-૧) + ૧ = ૧/૨ (૪) + ૧ = ૨ + ૧ = ૩
x ૨ = ૧/૨ (૬-૦) = ૧/૨ (૬) = ૩
y 1 = 1⁄2 (3-0) = 1⁄2 (3) = 1.5
y 2 = 1/3(9-3) + 3 = 1/3(6) + 3 = 2 + 3 = 5
x-અક્ષ પર પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ:
y-અક્ષ પર પદાર્થના વજનના કોઓર્ડિનેટ્સ:
પદાર્થના વજનનો કોઓર્ડિનેટ (3; 3.6) છે.
