બે વેક્ટરનો ક્રોસ ગુણાકાર, ઉદાહરણ તરીકે વેક્ટર A અને B તરીકે લખાયેલ A x B (A ક્રોસ B). ક્રોસ ગુણાકારને વેક્ટર ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે કારણ કે આ ગુણાકારના પરિણામે વેક્ટર જથ્થો ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર A અને વેક્ટર B નીચેની છબી જેવા દેખાય છે.
વેક્ટર વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે A અને B (A x B), આપણે વેક્ટર દોરીએ છીએ A અને B ઉપરના ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, અને દર્શાવ્યા મુજબ વેક્ટર ઘટકો B એ A ને લંબ છે, જે B sin froma બરાબર છે.
આમ, આપણે વેક્ટરના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. A અને B (A x B) વેક્ટરના મૂલ્યના ઉત્પાદન તરીકે A વેક્ટર ઘટકો સાથે B વેક્ટરને લંબ A.
શું જો એ x બી આપણે પાછા અસ્તિત્વમાં આવી ગયા છીએ. B x A ?
પહેલા, ચાલો એક વેક્ટર દોરીએ. B અને A અને વેક્ટર ઘટકો A જે B ને લંબ છે
આ આકૃતિના આધારે, આપણે વેક્ટર વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ B અને A (B x A) વેક્ટરના મૂલ્યના ઉત્પાદન તરીકે B વેક્ટર ઘટકો સાથે A વેક્ટરને લંબ Bગાણિતિક રીતે લખાયેલ:
ક્રોસ ગુણાકારની દિશા A x B
ક્રોસ પ્રોડક્ટ એક વેક્ટર પ્રોડક્ટ છે, તેથી પ્રોડક્ટમાં મેગ્નિટ્યુડ અને દિશા બંને હોય છે. વેક્ટર પ્રોડક્ટનું મેગ્નિટ્યુડ ઉપર લેવામાં આવ્યું છે; હવે તેની દિશા નક્કી કરો. દિશા નક્કી કરવા માટે એ x બી, પહેલા આપણે નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે A અને B વેક્ટર દોરીએ છીએ. આપણે આ બે વેક્ટરને એક સમતલમાં મૂકીએ છીએ.
ક્રોસ ગુણાકાર A x B જે સમતલમાં વેક્ટર હોય તેના લંબરૂપ વેક્ટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે A અને B સ્થિત છે. કદ સમાન છે AB પાપ ટેટા. જો C = A x B મકા C = AB પાપ ટેટા
દિશા C જે સમતલમાં વેક્ટર છે તેને લંબરૂપ A અને B સ્થિત છે. દિશા નક્કી કરવા માટે આપણે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ C. જો આપણે આપણી આંગળીઓને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવવાની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં પકડી રાખીએ, તો દિશા C જે દિશામાં અંગૂઠો ઉપર તરફ ઇશારો કરે છે તે જ દિશામાં.
ક્રોસ ગુણાકારની દિશા B x A
દિશા નક્કી કરવા માટે બ x અ, પહેલા આપણે વેક્ટર દોરીએ છીએ B અને A નીચે આપેલા ચિત્રની જેમ. આપણે આ બે વેક્ટરને એક સમતલમાં મૂકીએ છીએ.
જો C = B x A મકા C = બીએ સિન ટેટા.
C ની દિશા સમતલ પર લંબ છે જ્યાં વેક્ટર છે B અને A સ્થિત છે. દિશા નક્કી કરવા માટે આપણે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ C. જો આપણે આપણી આંગળીઓને એવી દિશામાં પકડીએ જે હાથ ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે તેની દિશા સાથે સુસંગત હોય, તો દિશા C નીચે તરફ ઇશારો કરતા અંગૂઠાની દિશા સમાન.
A x B બરાબર નથી B x A. ક્રોસ પ્રોડક્ટ એક વેક્ટર જથ્થામાં પરિણમે છે, જેનું મૂલ્ય હોવા ઉપરાંત, દિશા પણ હોય છે. ઉપરોક્ત ડ્રોપમાં, દિશા A x B વિરુદ્ધ દિશામાં B x A.
ક્રોસ ગુણાકાર વિશે કેટલીક બાબતો જે તમારે જાણવાની જરૂર છે:
1. ક્રોસ ગુણાકાર એ પરિવર્તન વિરોધી છે.
A x B = – B x A
નકારાત્મક ચિહ્ન સૂચવે છે કે દિશા B પર A x B વિરુદ્ધ દિશા B પર B x A.
2. જો બે વેક્ટર પરસ્પર વિશિષ્ટ હોય લંબ તો બનેલો ખૂણો 90 છેo. 90 વિનાo = 1. આમ, વેક્ટર વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય A અને B નીચે મુજબ દેખાશે:
A x B = AB પાપ ટેટા = AB 90 વગરo = AB
B x A = BA પાપ ટેટા = BA 90 વગરo = BA
3. જો બંને વેક્ટર એક જ દિશામાં હોય, તો બનેલો ખૂણો 0 છે.o.
0 વિનાo = 0. આમ, વેક્ટર વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય A અને B નીચે મુજબ દેખાશે.
A x B = AB પાપ થીટા = AB sin 0o = 0
B x A = BA પાપ થીટા = બીએ સિન 0o = 0
