ક્રોસ ગુણાકાર

બે વેક્ટર, ઉદાહરણ તરીકે વેક્ટર A અને B, ના ક્રોસ પ્રોડક્ટને A x B ( A ક્રોસ B ) તરીકે લખવામાં આવે છે . ક્રોસ પ્રોડક્ટને વેક્ટર પ્રોડક્ટ કહેવામાં આવે છે કારણ કે આ ગુણાકારના પરિણામે વેક્ટર જથ્થો ઉત્પન્ન થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર A અને વેક્ટર B નીચેની છબી જેવા દેખાય છે.

વેક્ટર વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે A અને B (A x B), આપણે વેક્ટર દોરીએ છીએ A અને B ઉપરના ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, અને દર્શાવ્યા મુજબ વેક્ટર ઘટકો B એ A ને લંબ છે, જે B sin froma બરાબર છે.

આમ, આપણે વેક્ટરના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. A અને B (A x B) વેક્ટરના મૂલ્યના ઉત્પાદન તરીકે A વેક્ટર ઘટકો સાથે B વેક્ટરને લંબ A.

જો આપણે A x B ને B x A માં ફેરવીએ તો શું થશે?

પ્રથમ, આપણે B અને A વેક્ટર અને B ને લંબરૂપ વેક્ટર A ના ઘટકો દોરીએ છીએ.

આ આકૃતિના આધારે, આપણે વેક્ટર વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ B અને A (B x A) વેક્ટરના મૂલ્યના ઉત્પાદન તરીકે B વેક્ટર ઘટકો સાથે A વેક્ટરને લંબ Bગાણિતિક રીતે લખાયેલ:

ક્રોસ ગુણાકારની દિશા A x B

ક્રોસ પ્રોડક્ટ એ વેક્ટર પ્રોડક્ટ છે, તેથી પરિણામમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે. વેક્ટર પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય ઉપર લેવામાં આવ્યું છે; હવે આપણે તેની દિશા નક્કી કરવાની જરૂર છે. A x B ની દિશા નક્કી કરવા માટે , આપણે પહેલા નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે A અને B વેક્ટર દોરીએ છીએ. આપણે આ બે વેક્ટરને એક સમતલ પર મૂકીએ છીએ.

ક્રોસ ગુણાકાર A x B જે સમતલમાં વેક્ટર હોય તેના લંબરૂપ વેક્ટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે A અને B સ્થિત છે. કદ સમાન છે AB પાપ ટેટા. જો C = A x B મકા C = AB પાપ ટેટા

C ની દિશા એ સમતલ પર લંબ છે જેમાં વેક્ટર A અને B આવેલા છે. C ની દિશા નક્કી કરવા માટે આપણે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. જો આપણે આપણી આંગળીઓને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં પકડી રાખીએ, તો C ની દિશા એ જ દિશામાં હશે જે દિશામાં અંગૂઠો ઉપર તરફ નિર્દેશ કરે છે.

ક્રોસ ગુણાકારની દિશા B x A

દિશા B x A નક્કી કરવા માટે , પહેલા આપણે નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે B અને A વેક્ટર દોરીએ છીએ . આપણે આ બે વેક્ટરને એક સમતલમાં મૂકીએ છીએ.

જો C = B x A મકા C = બીએ સિન ટેટા.

C ની દિશા એ સમતલ પર લંબ છે જેમાં વેક્ટર B અને A આવેલા છે. આપણે C ની દિશા નક્કી કરવા માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. જો આપણે આપણી આંગળીઓને ઘડિયાળની દિશામાં પકડી રાખીએ, તો C ની દિશા અંગૂઠાની દિશા જેવી જ હશે જે નીચે તરફ નિર્દેશ કરે છે.

A x B બરાબર નથી B x A. ક્રોસ પ્રોડક્ટ એક વેક્ટર જથ્થામાં પરિણમે છે, જેનું મૂલ્ય હોવા ઉપરાંત, દિશા પણ હોય છે. ઉપરોક્ત ડ્રોપમાં, દિશા A x B વિરુદ્ધ દિશામાં B x A.

ક્રોસ ગુણાકાર વિશે કેટલીક બાબતો જે તમારે જાણવાની જરૂર છે:

1. ક્રોસ ગુણાકાર એ પરિવર્તન વિરોધી છે.

A x B = – B x A

નકારાત્મક ચિહ્ન સૂચવે છે કે A x B પર B ની દિશા B x A પર B ની દિશાની વિરુદ્ધ છે.

2. જો બે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય , તો બનેલો ખૂણો 90 ^o થાય છે . Sin 90 ^{o = 1. આમ,} A અને B સદિશો વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય નીચે મુજબ દેખાશે:

A x B = AB પાપ થીટા = AB પાપ 90 ^o = AB

B x A = BA પાપ થીટા = BA પાપ 90 ^o = BA

3. જો બંને વેક્ટર એક જ દિશામાં હોય, તો બનેલો ખૂણો 0 ^o છે.

Sin 0 ^{o = 0. આમ,} A અને B વેક્ટર વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય નીચે મુજબ દેખાશે.

A x B = AB પાપ થીટા = AB પાપ 0 ^o = 0

B x A = BA પાપ થીટા = BA પાપ 0 ^o = 0