વેક્ટર સામાન્ય સંખ્યાઓ નથી, તેથી સામાન્ય ગુણાકાર તેમના પર સીધો લાગુ કરી શકાતો નથી. આપણે વેક્ટર ગુણાકારનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. વેક્ટર ગુણાકારના બે પ્રકાર છે: બિંદુ ગુણાકાર અને ક્રોસ ગુણાકાર. બિંદુ ગુણાકારને સ્કેલર ગુણાકાર પણ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે સ્કેલર જથ્થો ઉત્પન્ન કરે છે. ક્રોસ ગુણાકારને વેક્ટર ગુણાકાર પણ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે વેક્ટર જથ્થો ઉત્પન્ન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે વેક્ટર છે, એટલે કે A અને B. વેક્ટરનો સ્કેલર ગુણાકાર A અને B સાથે જણાવ્યું એબી કેકારણ કે એરેના ડોટ નોટેશનનો ઉપયોગ કરે છે, આ ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે ડોટ પ્રોડક્ટ. નો વેક્ટર ગુણાકાર A અને B સાથે જણાવ્યું A x બ. કારણ કે તે નોટેશનનો ઉપયોગ કરે છે x, તો આ ગુણાકારને ક્રોસ ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર આપેલ છે A અને B નીચેની છબીમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. વેક્ટર વચ્ચેનો ડોટ ગુણાકાર A અને B તરીકે લખાયેલ એબી (A બિંદુ B).
વેક્ટરના ડોટ ગુણાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે A અને B (એબી), ચિત્રિત વેક્ટર A અને વેક્ટર તમારા દ્વારાજે એક ખૂણો બનાવે છે θ. આગળ આપણે વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ દોરીએ છીએ. B વેક્ટરની દિશા તરફ A. આ પ્રક્ષેપણ વેક્ટરનો એક ઘટક છે B જે વેક્ટરને સમાંતર છે A, જેનું કદ B કોસ θ.
આમ, આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ એબી મોટા વેક્ટર તરીકે A વેક્ટર ઘટકો દ્વારા ગુણાકાર B જે સમાંતર છે Aગાણિતિક રીતે આપણે તેને નીચે મુજબ લખી શકીએ છીએ:
AB કોસ θ એક સામાન્ય સંખ્યા (સ્કેલર) છે. તેથી, ડોટ ગુણાંકને સ્કેલર ગુણાંક પણ કહેવામાં આવે છે. જો વેક્ટર વચ્ચે ડોટ ગુણાંક A અને B ઉલટાવીને બી.એ. ? આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તે પહેલાં બી.એ., પહેલા આપણે વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ દોરીએ છીએ A વેક્ટર્સ માટે બી (નીચેની છબી જુઓ).
આ છબીના આધારે, આપણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ બી.એ. મોટા વેક્ટર તરીકે B વેક્ટર ઘટકો દ્વારા ગુણાકાર A જે સમાંતર છે Bગાણિતિક રીતે આપણે તેને નીચે મુજબ લખી શકીએ છીએ:
ડોટ પ્રોડક્ટ પરિણામ એબી = AB કોસ θ અને ડોટ પ્રોડક્ટનું પરિણામ બી.એ. = BA કોસ θ. કારણ કે AB કોસ θ = BA કોસ θ, તો તે લાગુ પડે છે એબી = બી.એ.
બિંદુ ગુણાકાર વિશે કેટલીક બાબતો જે તમારે જાણવાની જરૂર છે:
1. ડોટ પ્રોડક્ટ પરિવર્તનીય કાયદાને પૂર્ણ કરે છે.
એબી = બી.એ.
2. ડોટ પ્રોડક્ટ વિતરણના નિયમને સંતોષે છે.
એ. (બી + સી) = એબી + એસી
3. જો વેક્ટર A અને B એકબીજાને લંબ, પછી બિંદુ ગુણાકારનું પરિણામ એબી = 0
જ્યારે વેક્ટર A અને B એકબીજાને લંબ હોય, તો બનેલો ખૂણો 90 હોયo. કોસ ૯૦o = 0. આમ: એબી = AB કોસ ટેટા = AB કોસ 90o = 0. બીજી બાજુ, બી.એ. = BA કોસ ટેટા = BA કોસ 90o = 0
4. જો વેક્ટર A અને વેક્ટર B એક તરફી, માકા એબી = AB કોસ 0o = AB
જ્યારે વેક્ટર A અને B એ જ દિશામાં, પછી બનેલો ખૂણો 0 થાય છેo. Cos 0 = 1. આમ, એબી = AB કોસ ટેટા = AB કોસ 0o = AB. તેનાથી વિપરીત બી.એ. = BA કોસ ટેટા = BA કોસ 0o = BA
(તમારે આ સાથે મૂંઝવણમાં ન આવવું જોઈએ AB અને BA. મોટું AB = મોટું BAઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટરનું મૂલ્ય A = 2. વેક્ટરનું મૂલ્ય B = ૩. પછી એબી = 2.3 = 6; આ સમાન છે બી.એ. = 3.2 = 6.
5. બે વેક્ટર એક જ દિશામાં હોવા માટે બીજી શરત, જો એ = બી પછી મેળવ્યું એએ = A2 અથવા બી.બી. = બી2
6. જો વેક્ટર A અને B વિરુદ્ધ દિશા (જ્યારે બે વેક્ટર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે, ત્યારે બનેલો ખૂણો 180º હોય છે), પછી ગુણાકારનું પરિણામ એબી = AB કોસ ૧૮૦º = AB (-1) = -AB.
કોસ ૧૮૦º = -૧.
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ:
એક વેક્ટર A તેનું મૂલ્ય 4 એકમ છે અને તે એક વેક્ટર છે B 3 એકમો ધરાવે છે. જો બે વેક્ટર દ્વારા રચાયેલા ખૂણા 60º, 90º અને 180º હોય તો બે વેક્ટરનો બિંદુ ગુણાકાર નક્કી કરો.o
ચર્ચા
કરિના એબી = બી.એ. પછી આપણે એકનો ઉપયોગ કરવાનું પસંદ કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે એબી
એબી = AB કોસ ટેટા
બેસર A = 4 એકમ અને મોટા B = 3 એકમ.
