આર્કિમિડીઝના કાયદાની સામગ્રી
શું તમે ક્યારેય જહાજ જોયું છે? જો તમે તેને રૂબરૂમાં ન જોયું હોય, તો આશા છે કે તમે ટેલિવિઝન અથવા ઇન્ટરનેટ પર જોયું હશે. ખૂબ મોટા દળવાળું જહાજ ડૂબતું નથી, જ્યારે એક નાનો, હળવો ખડક ડૂબી શકે છે. આવું કેમ છે? જો તમે ઉછાળાના ખ્યાલો અને આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંતને સમજો છો તો જવાબ એકદમ સરળ છે.
રોજિંદા જીવનમાં, આપણે જોશું કે પ્રવાહીમાં મુકવામાં આવેલી વસ્તુઓ, જેમ કે ખડક, જ્યારે પદાર્થ પ્રવાહીમાં ન હોય તેના કરતાં ઓછી હોય છે. તમને જમીનની સપાટી પરથી ખડક ઉપાડવામાં મુશ્કેલી પડી શકે છે, પરંતુ તે જ ખડકને તળાવના તળિયેથી સરળતાથી ઉપાડી શકાય છે. આ ઉછાળા બળને કારણે છે. ઉછાળા વિવિધ ઊંડાણો પર પ્રવાહી દબાણમાં તફાવતને કારણે થાય છે. ઊંડાણ સાથે પ્રવાહી દબાણ વધે છે, પ્રવાહી જેટલું ઊંડું હશે, પ્રવાહી દબાણ એટલું વધારે હશે. જ્યારે કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પદાર્થની ઉપરના પ્રવાહી અને પદાર્થની નીચે રહેલા પ્રવાહી વચ્ચે દબાણમાં તફાવત હશે. પદાર્થના તળિયે સ્થિત પ્રવાહીનું દબાણ પદાર્થની ટોચ પર સ્થિત પ્રવાહી કરતાં વધુ હોય છે.
ઉછાળો
છબીમાં, એક પદાર્થ પાણીમાં તરતો દેખાય છે. પદાર્થની નીચેના પ્રવાહીનું દબાણ પદાર્થની ઉપરના પ્રવાહી કરતા વધારે હોય છે. આનું કારણ એ છે કે પદાર્થની નીચે રહેલા પ્રવાહીની ઊંડાઈ પદાર્થની ઉપરના પ્રવાહી કરતા વધારે હોય છે (h2 > એચ1).
F 2 = પદાર્થના તળિયે પ્રવાહી દ્વારા લગાવવામાં આવતું બળ, F 1 = પદાર્થની ટોચ પર પ્રવાહી દ્વારા લગાવવામાં આવતું બળ, A = પદાર્થનું સપાટી ક્ષેત્રફળ
F 2 અને F 1 વચ્ચેનો તફાવત પદાર્થ પર પ્રવાહી દ્વારા લગાવવામાં આવતા કુલ બળ છે, જેને આપણે ઉછાળા બળ તરીકે જાણીએ છીએ. ઉછાળા બળનું મૂલ્ય છે:
F ઉછાળો = F 2 − F 1
F buoyant = (ρ gh 2 A ) - (ρ gh 1 A)
F ફ્લોટ = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F ઉછાળો = ρ g A h
F ઉછાળો = ρ g V
માહિતી:
ρ = પ્રવાહી ઘનતા
g = ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ
V = પ્રવાહીમાં પદાર્થનું કદ
જેથી ઉપરોક્ત ઉછાળા બળ (F ઉછાળા) ની તીવ્રતા દર્શાવતું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:
F ફ્લોટ = ρ F g V → m = ρ V
F ઉછાળો = m F g
F ઉછાળો = w F
m F g = w F = ડૂબી ગયેલી વસ્તુના જથ્થા જેટલું જ વોલ્યુમ ધરાવતું પ્રવાહીનું વજન.
આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત
ઉપરોક્ત સમીકરણના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે ઉછાળાનું બળ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું છે, વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થના કદ જેટલું છે.
જો કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં ડૂબી જાય અને તરતો રહે, અને પદાર્થનો માત્ર એક ભાગ જ ડૂબી જાય, તો વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ તે પદાર્થના તે ભાગના જથ્થા જેટલું હશે જે પદાર્થ પ્રવાહીમાં ડૂબી ગયો હતો. પદાર્થનો આકાર કે કદ ગમે તે હોય, બધા સાથે આવું જ થશે. આ આર્કિમિડીઝ (287-212 બીસી) નું કાર્ય છે, જેને હવે આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે:
જ્યારે કોઈ પદાર્થ સંપૂર્ણપણે અથવા આંશિક રીતે પ્રવાહીમાં ડૂબી જાય છે, ત્યારે પ્રવાહી પદાર્થ પર ઉપર તરફનું બળ (ઉછાળાવાળું બળ) લગાવશે, જ્યાં ઉપર તરફના બળ (ઉછાળાવાળું બળ) ની તીવ્રતા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલી હશે.
આર્કિમિડીઝની વાર્તા
૨૮૭ થી ૨૧૨ બીસી વચ્ચે રહેતા આર્કિમિડીઝને રાજા હિરોન બીજા દ્વારા રાજા માટે બનાવેલો મુગટ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે કે કેમ તેની તપાસ કરવાનું કામ સોંપવામાં આવ્યું હતું. આર્કિમિડીઝ શરૂઆતમાં મૂંઝવણમાં હતા કે મુગટ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે કે તેમાં અન્ય ધાતુઓ છે. સમસ્યા એ હતી કે મુગટનો આકાર અનિયમિત હતો અને તે શુદ્ધ સોનું છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે તેનો નાશ કરી શકાતો ન હતો.
રાજાનો મુગટ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે કે નહીં તે નક્કી કરવા પાછળનો વિચાર એ છે કે પહેલા મુગટની ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ નક્કી કરવી અને પછી તેની સરખામણી સોનાની ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે કરવી. જો મુગટ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો હોય, તો મુગટની ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ = સોનાની ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ.
કોઈ પણ વસ્તુનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ એ વસ્તુના વજન અને વસ્તુના વજન વચ્ચેનો ગુણોત્તર છે જે વસ્તુના જથ્થા જેટલું જ હોય છે. ગાણિતિક રીતે, તે લખાયેલું છે:
કોઈ પદાર્થના જથ્થા જેટલું જ કદ ધરાવતા પાણીનું વજન કેવી રીતે નક્કી કરવું?
આર્કિમિડીઝના મતે, પદાર્થના જથ્થા જેટલા જ પાણીનું વજન = પદાર્થ ડૂબતી વખતે ઉછાળા બળનું મૂલ્ય (સમગ્ર પદાર્થ પાણીમાં ડૂબી જાય છે). આ પદાર્થનું પાણીમાં વજન કરતી વખતે ઘટેલા વજન જેટલું જ છે. આમ:
તાજનું ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ નક્કી કરવા માટે, તાજનું વજન પહેલા હવામાં કરવામાં આવે છે (હવામાં તાજનું વજન). ત્યારબાદ, તાજને પાણીમાં નાખવામાં આવે છે અને પછી ખોવાયેલા તાજનું વજન મેળવવા માટે ફરીથી વજન કરવામાં આવે છે. તેથી:
એકવાર તાજનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રાપ્ત થઈ જાય, પછી તેની સરખામણી સોનાના વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે કરવામાં આવે છે. સોનાનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ 19,3 છે. જો તાજનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ સોનાના વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ જેટલું હોય, તો તાજ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે. જો કે, જો તાજ શુદ્ધ સોનાનો ન બનેલો હોય, તો તાજનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ સોનાના વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ જેટલું નહીં હોય.
જહાજો કેમ ડૂબતા નથી?
જો કોઈ વસ્તુની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી હોય, તો તે વસ્તુ તરતી રહેશે. તેનાથી વિપરીત, જો કોઈ વસ્તુની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા વધારે હોય, તો તે વસ્તુ ડૂબી જશે. મોટાભાગના જહાજો લોખંડ અને સ્ટીલના બનેલા હોય છે. લોખંડ અને સ્ટીલની ઘનતા = 7,8 x 103 kg /m3 જ્યારે પાણીની ઘનતા = 1,00 x 103 kg /m3 . એવું લાગે છે કે લોખંડ અને સ્ટીલની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા વધારે છે. આ કિસ્સામાં, લોખંડ અને સ્ટીલનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ = 7,8. લોખંડ અને સ્ટીલથી બનેલા જહાજો ડૂબવા જોઈએ. જહાજો કેમ ડૂબતા નથી? વહાણની કુલ ઘનતા પાણી અથવા દરિયાઈ પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી હોય છે.
આર્કિમિડીઝના નિયમ પર ઉદાહરણ પ્રશ્નો
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨:
એક 40 કિલો વજનનો ખડક એક કુંડના તળિયે છે. જો ખડકનું કદ = 0,2 મીટર 3 હોય, તો ખડકને ઉપાડવા માટે ઓછામાં ઓછું કેટલું બળ જરૂરી છે ?
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
પથ્થરનું દળ (મી) = 40 કિગ્રા
પથ્થરનું કદ (V) = 0,02 મીટર 3
પાણીની ઘનતા = 1000 કિગ્રા/મીટર 3
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s 2
પૂછવામાં આવ્યું: F ન્યૂનતમ
જવાબ :
F ઉછાળો = w F
F ઉછાળો = m F g → m = pV
F ઉછાળો = ρ F g V
F ઉછાળો = (1000 કિગ્રા/મીટર 3 )(10 મીટર/સેકન્ડ 2 )(0,02 મીટર 3 )
F ઉછાળો = 200 કિગ્રા m/s 2
F ઉછાળો = 200 N
પથ્થરનું વજન (w) = મિલિગ્રામ
પથ્થરનું વજન = (40 કિગ્રા)(10 મીટર/સેકન્ડ 2 )
પથ્થરનું વજન = 400 કિગ્રા મીટર/સેકન્ડ 2
પથ્થરનું વજન = 400 N
ખડક ઉપાડવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ બળ:
પથ્થરનું વજન - ઉછાળા બળ = 400 N – 200 N = 200 ન્યૂટન.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨:
હવામાં પદાર્થનું વજન = 5000 kg m/s 2 અને પાણીમાં પદાર્થનું વજન = 4000 kg m/s 2. જો પદાર્થની ઘનતા = 2000 kg/m 3 હોય , તો પદાર્થનું દળ અને કદ કેટલું હશે? g = 10 m/s 2
ચર્ચા
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s 2
પદાર્થની ઘનતા = 2000 કિગ્રા/મીટર 3
પાણીની ઘનતા = 1000 કિગ્રા/મીટર 3
હવામાં પદાર્થનું વજન = 5000 કિગ્રા m/s 2
પાણીમાં પદાર્થનું વજન = 4000 કિગ્રા m/s 2
ઉછાળા બળ (F ઉછાળા) = હવામાં પદાર્થનું વજન – પાણીમાં પદાર્થનું વજન
F ઉછાળો = 5000 કિગ્રા મી/સેકન્ડ 2 – 4000 કિગ્રા મી/સેકન્ડ 2
F ઉછાળો = 1000 કિગ્રા m/s 2
F ઉછાળો = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
F ઉછાળો = (પાણીનું દળ)(g)
F ઉછાળો = (વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ)(પાણીની ઘનતા)(g)
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ = પાણીમાં ડૂબી ગયેલી વસ્તુનું કદ 😉
તો પદાર્થનું કદ = 0,1 મીટર 3
પદાર્થનું દળ = ?
ρ = m/V
મી = ρ વી
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
મીટર = 200 કિગ્રા
પદાર્થનું દળ = 200 કિલો
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨:
જો ફુગ્ગાને 500 કિલો વજન ઉપાડવું પડે તો કેટલા જથ્થામાં હિલીયમની જરૂર પડે?
ચર્ચા
હિલીયમ ઘનતા = 0,1786 કિગ્રા/મીટર 3
હવાની ઘનતા = 1,293 કિગ્રા/મીટર 3
ઉછાળા બળ = વિસ્થાપિત હવાનું વજન = ભારનું વજન + હિલીયમનું વજન
ઉછાળા બળ = ભારનું વજન + હિલીયમનું વજન
ઉછાળા બળ = (ભારનું દળ)(g) + (હિલીયમનું દળ)(g)
ઉછાળા બળ = (ભારનું દળ + હિલીયમનું દળ) ગ્રામ —- સમીકરણ 1
ઉછાળા બળ = વિસ્થાપિત હવાનું વજન
ઉછાળા બળ = (વિસ્થાપિત હવાનું દળ)(g) —- સમીકરણ 2
આપણે સમીકરણ 1 અને સમીકરણ 2 ને જોડીએ છીએ:
(ભારનું દળ + હિલીયમનું દળ)(g) = (વિસ્થાપિત હવાનું દળ)(g)
ભારનું દળ + હિલીયમનું દળ = વિસ્થાપિત હવાનું દળ
૫૦૦ કિગ્રા + (ρ હિલીયમ)(V હિલીયમ) = (ρ હવા)( V હવા)
૫૦૦ કિગ્રા = (ρ હવા)(V હવા) – (ρ હિલીયમ)(V હિલીયમ)
વિસ્થાપિત હવાનું પ્રમાણ (V હવા) = ફુગ્ગામાં ભરાતા હિલીયમનું પ્રમાણ (V હિલીયમ)
500 કિગ્રા = (ρ હવા - ρ હિલીયમ) (V)
પૃથ્વીની સપાટી પર વજન ઉપાડવા માટે આ હિલીયમનું ન્યૂનતમ પ્રમાણ છે. ફુગ્ગાને વધુ ઊંચે તરતો રાખવા માટે, હિલીયમનું પ્રમાણ વધારવું જરૂરી છે. આનું કારણ એ છે કે હવાની ઘનતા ઊંચાઈ સાથે ઘટતી જાય છે.
