Artigo sobre a ecuación de continuidade
Tenta abrir a billa lentamente prestando atención á velocidade da auga que sae pola boca da billa. Agora compara onde é o caudal de auga máis rápido, cando a boca da billa está pechada ou non? Por que? Para entendelo, estuda a ecuación de continuidade.
Racionalizar
Nunha corrente constante, a velocidade de cada partícula de fluído nun punto, por exemplo o punto A, é sempre a mesma. Ao pasar polo punto B, a velocidade das partículas de fluído pode cambiar. Non obstante, ao chegar ao punto B, as partículas de fluído que as seguen flúen á mesma velocidade que as partículas de fluído que as preceden. Do mesmo xeito, ao chegar ao punto C, etc. A liña de fluxo é unha curva que conecta os puntos A, B e C.
Tubo de fluxo
Podemos describir cada liña de corrente a través de cada punto do fluxo de fluído. Se percibimos un fluxo de fluído constante, algunhas liñas de corrente que pasan un ángulo particular na superficie imaxinaria forman un tubo de fluxo. Non hai partículas de fluído que se intersequen, senón que son sempre paralelas, e o tubo de fluxo asemellarase a un tubo cuxa forma segue sendo a mesma. O fluído que entra por un extremo do tubo sairá do tubo polo outro extremo.
[irp]
Débito
O caudal indica o volume dun fluído que flúe a través dunha determinada sección transversal nun determinado intervalo de tempo. Matematicamente, pódese enunciar:
Caudal = Volume de fluído / intervalo de tempo
Q = V / t
Para mellorar a túa comprensión, empregamos un exemplo. Por exemplo, un fluído flúe a través dunha tubaxe. As tubaxes adoitan ser cilíndricas e teñen unha determinada área de sección transversal. A tubaxe tamén ten unha lonxitude.
Cando o fluído flúe pola tubaxe ata L, o volume de fluído na tubaxe é V = AL (V = volume de fluído, A = área da sección transversal e L = lonxitude da tubaxe). Dado que mentres flúa por unha tubaxe ao longo de L, o fluído necesita un certo intervalo de tempo, podemos dicir que a cantidade de fluído é:
Dado que v = s / t = L / t —> L = vt, a ecuación anterior cámbiase a:
Así, cando o fluído flúe a través dunha tubaxe que ten unha determinada área de sección transversal e lonxitude, durante un determinado período, a cantidade de descarga de fluído (Q) é igual á área da sección transversal (A) multiplicada pola velocidade do fluxo de fluído (v).
A ecuación de continuidade
Revisa o fluxo de fluído nunha tubaxe que ten un diámetro diferente, como se mostra na figura seguinte.
Esta imaxe mostra o fluxo de fluído de esquerda a dereita (o fluído flúe dunha tubaxe de gran diámetro a unha de pequeno diámetro). A liña discontinua está aerodinámica.
A1 = área da sección transversal da tubaxe de gran diámetro, A2 = área da sección transversal de pequeno diámetro, v1 = velocidade do fluxo de fluído nunha tubaxe de gran diámetro, v2 = velocidade do fluxo de fluído nunha tubaxe de pequeno diámetro, L = distancia percorrida polo fluído.
Nunha corrente constante, a velocidade do fluxo de partículas de fluído nun punto é igual á velocidade do fluxo doutras partículas de fluído que pasan por ese punto. O fluxo de fluído tampouco se interseca (as liñas son paralelas). Polo tanto, a masa de fluído que entra nun extremo da tubaxe debe ser igual á masa de fluído que sae polo outro extremo. Se o fluído ten unha determinada masa que chega ao tubo cun diámetro grande, entón o fluído sairá por unha tubaxe de diámetro pequeno coa mesma masa.
Agora considere a figura da tubaxe de arriba. Revise a tubaxe de gran diámetro e a tubaxe de pequeno diámetro.
Durante un certo intervalo de tempo, algúns fluídos flúen a través da sección da tubaxe de gran diámetro (A1 ) ata L1 ( L1 = v1t ) . O volume de fluído que flúe é V1 = A1 L1 = A1 v1t . Durante o mesmo intervalo de tempo, outros fluídos flúen a través da sección da tubaxe de pequeno diámetro (A2 ) ata L2 ( L2 = v2t ) . O volume de fluído que flúe é V2 = A2 L2 = A2 v2t.
[irp]
A ecuación de continuidade para fluídos incompresibles
Nos fluídos incompresibles, a densidade do fluído é sempre a mesma en cada punto polo que pasa. A masa de fluído que flúe nunha tubaxe que ten unha sección transversal de A1 (diámetro grande da tubaxe) durante un determinado intervalo de tempo é:
Do mesmo xeito, a masa de fluído que flúe nunha tubaxe que ten unha sección transversal de A2 ( diámetro pequeno da tubaxe) durante un determinado intervalo de tempo é:
Nunha corrente continua, a masa do fluído que entra é a mesma que a masa do fluído que sae, polo que:
m1 = m2
ρA₁ v₁ t = ρA₂ v₂ t
Un 1 contra un 1 = Un 2 contra un 2
Entón, a ecuación de continuidade en fluídos incompresibles:
A1 v1 = A2 v2 — Ecuación 1
A1 = área da sección transversal 1, A2 = área da sección transversal 2, v1 = velocidade do fluxo de fluído na sección 1, v2 = velocidade do fluxo de fluído na sección 2, Av = caudal volumétrico (V/t) = caudal.
A ecuación 1 mostra que o caudal é sempre o mesmo en cada punto da tubaxe ou tubo de fluxo. Cando a sección transversal da tubaxe diminúe, o caudal de fluído aumenta, mentres que cando a sección transversal da tubaxe aumenta, o caudal de fluído diminúe.
[irp]
Cando parte da boca da billa está pechada, o fluxo de auga faise máis pesado que cando parte da boca da billa non está pechada. Isto débese a que a área da sección transversal da billa faise pequena cando parte da boca da billa está pechada, de xeito que o caudal de auga aumenta. Pero é esencial saber que o caudal ou descarga de fluídos é sempre o mesmo en cada punto ao longo do fluxo de auga, estea ou non pechada parte da boca da nosa billa. Entón, que cambia o caudal do fluído?
Entón, que pasa co fluxo de auga no río? A sección profunda do río ten unha sección transversal maior que a parte pouco profunda do río, polo que o caudal de auga no río profundo é menor que a velocidade do fluxo de auga na parte pouco profunda do río.
A ecuación de continuidade para fluídos compresibles
Para os fluídos comprimidos, a súa densidade non sempre é a mesma. Noutras palabras, a densidade do fluído cambia ao comprimirse. Se o fluído non se comprime, a súa densidade elimínase da ecuación, polo que, neste caso, a densidade do fluído inclúese na ecuación. Referíndonos á ecuación que se derivou anteriormente, derivemos a ecuación para o fluído comprimido.
A masa do fluído que entra é igual á masa do fluído que sae, polo que:
m1 = m2
ρA₁ v₁ t = ρA₂ v₂ t
O intervalo de fluxo de fluído é o mesmo, polo que se pode eliminar. As ecuacións cambian a:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Ecuación 2
Esta é a ecuación para o fluído comprimido. A diferenza reside na densidade do fluído. Se o fluído se comprime, a densidade cambia. Pola contra, se o fluído non se comprime, a densidade é sempre a mesma, polo que se pode eliminar da ecuación.
Problema de exemplo 1:
A auga flúe a través dunha tubaxe cun diámetro de 10 cm a unha velocidade de 2 m/s. Cal é o caudal de auga?
Coñecido:
Diámetro do tubo = 10 cm
Radio da tubaxe (r) = 5 cm = 0.05 m
Velocidade da auga (v) = 2 m/s
Buscase: Débito
Solución:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) ² (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
[irp]
Problema de exemplo 2:
Unha tubaxe cun diámetro de 20 cm está conectada a outra tubaxe cun diámetro de 10 cm. Se a velocidade da auga nunha tubaxe cun diámetro de 20 cm é de 4 m/s, cal é a velocidade da auga nunha tubaxe cun diámetro de 10 cm?
Coñecido:
Diámetro 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0.1 m)
v² = 4 m/s
Diámetro 2 = 10 cm ( r2 = 5 cm = 0.05 m)
Buscase : v1
Resposta:
Q1 = Q2
Un 1 contra un 1 = Un 2 contra un 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) ² (4 m/s) = (0.05 m) ² ( v² )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/s
[irp]
