Artigo sobre o principio de Bernoullis e a ecuación de Bernoullis
Cando andamos en moto, a roupa que levamos posta ínchase cara atrás. Ás veces, se o vento sopra forte, a porta pode pecharse soa. Aínda que o vento sopra fóra da casa, a porta está dentro.
Isto pódese explicar usando o principio de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) descubriu un principio que podía empregarse para explicar o fenómeno anterior.
Principio de Bernoulli
O principio de Bernoulli afirma que cando a velocidade do fluxo de fluído é alta, a presión do fluído é baixa. Pola contra, se a velocidade do fluxo de fluído é baixa, a presión do fluído é alta. Cando unha motocicleta se move rapidamente, a velocidade do aire na parte dianteira e lateral do corpo é alta. Polo tanto, a presión do aire baixa. A parte traseira do corpo está obstruída pola parte dianteira, polo que a velocidade do aire na parte traseira non aumenta. Como resultado, a presión do aire na parte traseira do corpo aumenta. Porque hai unha diferenza na presión do aire, onde na parte traseira do corpo a presión do aire é maior que a do aire, o que empurra a camisa cara atrás, de xeito que a roupa parece inchada cara atrás.
Que pasa coa porta da casa que se pecha soa cando sopra o vento cara a fóra? O aire do exterior da casa móvese máis rápido que o aire do interior. Como resultado, a presión do aire do exterior da casa é menor que a presión do aire do interior. Debido a que hai unha diferenza de presión, onde a presión do aire do interior da casa é maior, a porta é empurrada cara a fóra. Noutras palabras, a folla da porta móvese dun lugar onde a presión do aire é grande cara a un lugar onde a presión do aire é pequena.
Ecuación de Bernoulli
Anteriormente, aprendemos sobre o principio de Bernoulli. Bernoulli tamén desenvolveu o principio cuantitativamente. Para derivar a ecuación de Bernoulli, asumimos que o fluxo de fluído é estacionario e laminar, sen comprimir, e que a viscosidade é mínima, polo que se pode ignorar.
Na discusión da ecuación de continuidade, aprendemos que o caudal do fluído tamén pode variar dependendo da área de fluxo do tubo de fluxo. Baseándose no principio de Bernoulli descrito anteriormente, a presión do fluído tamén pode variar dependendo do caudal do fluído. A presión do fluído tamén pode variar dependendo da altura do fluído. A relación entre a presión, o caudal e a altura do fluxo pódese obter na ecuación de Bernoulli.
A ecuación de Bernoulli é fundamental porque se pode empregar para analizar voos de avións, centrais hidroeléctricas, sistemas de tubaxes, etc. Para derivar a ecuación de Bernoulli en xeral, asumimos que o fluído flúe a través dun tubo de fluxo cunha área de sección transversal que non é a mesma e a altura tamén é diferente. Para derivar a ecuación de Bernoulli, aplicamos o teorema do traballo e a enerxía ao fluído no tubo de fluxo.
A cor opaca no tubo de fluxo da figura seguinte mostra o fluxo de fluído, mentres que a cor branca non mostra ningún fluído.
O fluído na área da sección transversal 1 (lado esquerdo) flúe ata L1 e forza o fluído na sección 2 (lado dereito) a moverse ata L2Debido a que a área da sección transversal 2 á dereita é menor, a velocidade do fluxo de fluído no lado dereito do tubo de fluxo é maior (lembre a ecuación de continuidade). Isto provoca unha diferenza de presión entre a sección 2 (o lado dereito do tubo de fluxo) e a sección 1 (o lado esquerdo do tubo de fluxo). Lembre o principio de Bernoulli. O fluído que está á esquerda da sección 1 proporciona presión (P1) no fluído da dereita e funciona:
Entón o W.1 ecuación pódese escribir:
W1 =p1 A1 L1
Na sección 2 (o lado dereito do tubo de fluxo), o traballo realizado sobre o fluído é:
W2 = − p2 A2 L2
Un signo negativo indica que a forza aplicada é oposta á dirección do movemento. Polo tanto, o fluído fai traballo á dereita da sección transversal 2. Ademais, a forza gravitacional fai traballo sobre o fluído. No caso anterior, algunhas masas de fluído transfírense desde a sección 1 ata L.1 á sección 2 ata L2, onde é o volume de fluído na sección 1 (A1 L1) = volume de fluído na sección 2 (A2 L2). O traballo realizado pola gravidade é:
W3 = − mg (h2 - h1)
W3 = − mgh2 + mgh1)
W3 = mgh1 - mgh2
Un signo negativo débese ao fluxo do fluído cara arriba, en contraste coa dirección da gravidade. Polo tanto, o traballo neto realizado sobre o fluído é:
O = O1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P.2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
O teorema da enerxía traballo afirma que o traballo neto realizado nun sistema é o mesmo que o cambio na enerxía cinética. Polo tanto, podemos substituír o traballo (W) polos cambios na enerxía cinética (EK2 – EK1).
A ecuación anterior pódese escribir de novo:
W = P1 A1 L1 - P.2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 =P1 A1 L1 - P.2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 =P1 A1 L1 - P.2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
A masa de fluído que flúe ata L1 na sección transversal A1 = a masa de fluído que flúe ata L2 (sección transversal A2). A masa do fluído, por exemplo m, ten un volume de A1 L1 e A2 L2 onde A1 L1 = A2 L2 (L2 é máis longo que L1).
Agora substituímos m na ecuación anterior por m = ρ AL:
Esta é a ecuación de Bernoulli. A ecuación de Bernoulli derívase baseándose no principio da enerxía-traballo, polo que é unha forma de conservación da enerxía.
P = presión, ρ = densidade, v = velocidade do fluído, g = aceleración da gravidade, h = altura da tubaxe sobre o chan.
Os segmentos esquerdo e dereito da ecuación de Bernoulli anterior poden referirse a dous puntos en calquera lugar do tubo de fluxo, polo que podemos reescribir a ecuación anterior como:
Agora revisemos a ecuación de Bernoulli para algúns casos.
Ecuación de Bernoulli en fluídos estáticos
O caso especial da ecuación de Bernoulli é o do fluído estático, onde o fluído non ten velocidade. Polo tanto, v1 = v2 = 0. No caso dun fluído estático, podemos formular a ecuación de Bernoulli como:
Se h2 – h1 = h, esta ecuación pódese escribir como:
p1 - p.2 = ρg (h2 - h1)
p1 - p.2 = ρ gh
Ecuación de Bernoulli para unha tubaxe da mesma altura
Se a altura da tubaxe é a mesma, a ecuación de Bernoulli cambia a:
