Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Ghnìomhan a tha a’ Mèudachadh, Gnìomhan a tha a’ Lùghdachadh, agus Gnìomhan Stèisein
Tha gnìomhan matamataigeach nan cuspair gu math domhainn agus tha iad làn de dhiofar fheartan, agus is e aon dhiubh sin mar as urrainnear an sgrùdadh a thaobh staidean a tha a’ sìor fhàs, a’ lùghdachadh no a’ stad. Tha e deatamach fios a bhith agad a bheil gnìomh a’ sìor fhàs, a’ lùghdachadh no seasmhach aig eadar-ama sònraichte ann an diofar thagraidhean matamataig, a’ gabhail a-steach eaconamas, fiosaig agus innleadaireachd. Còmhdaichidh an artaigil seo eisimpleirean agus an deasbad a thaobh gnìomhan a tha a’ sìor fhàs, a’ lùghdachadh agus a’ stad.
Dè a th' ann an gnìomhan a tha a' sìor fhàs, gnìomhan a tha a' lùghdachadh, agus gnìomhan statach?
1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta. Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \).
– Airson (x ann an (-1, 2)): Gabh (x = 0)
[f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12]
Leis gu bheil (f'(0) < 0), tha (f(x)) a’ crìonadh air an eadar-ama (-1, 2)). - Airson (x) ann an (2, infty)): Gabh (x = 3) [f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24]. Leis gu bheil (f'(3) > 0), tha (f(x)) a’ meudachadh air an eadar-ama (2, infty)).
Mar sin, tha an gnìomh \(f(x) \) a’ sìor fhàs air an eadar-ama \((-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Eisimpleir de Dhuilgheadas 2: A’ dearbhadh an Eadar-ama Gnìomh Lùghdachaidh
Ma tha an gnìomh \(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) air a thoirt seachad. Obraich a-mach na h-eadar-amaichean far a bheil an gnìomh a’ crìonadh!
Deasbad:
1. Ceum 1: Lorg a’ chiad thoradh:
[g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2)]
[g'(x) = 16x^3 – 24x^2]
2. Ceum 2: Obraich a-mach a’ phuing chudromach:
[16x^3 – 24x^2 = 0]
[8x^2(2x – 3) = 0]
Mar sin is iad na puingean èiginneach _(x = 0_) agus _(x = \frac{3}{2}_).
3. Ceum 3: Obraich a-mach soidhne a’ chiad thoradh air an eadar-ama:
– Airson (x ann an (-infty, 0)): Gabh (x = -1)
[g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40]
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \).
- Untuk \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Ambil \( x = 1 \)
\[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \]
Karena \( g'(1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (0, \frac{3}{2}) \).
- Untuk \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ambil \( x = 2 \)
\[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \]
Karena \( g'(2) > 0 \), maka \( g(x) \) naik pada interval \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
Mar sin, tha an gnìomh \(g(x) \) a’ lùghdachadh air an eadar-ama \((-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Eisimpleir Ceist 3: A’ dearbhadh eadar-ama gnìomh aig fois
Ma tha an gnìomh _(h(x) = 7_ ann, obraich a-mach na h-eadar-amaichean far a bheil an gnìomh statach!
Deasbad:
Tha ciad thoradh de neoni aig gnìomh cunbhalach leithid \(h(x) = 7 \) airson gach \(x \):
[h'(x) = 0]
Leis gu bheil a’ chiad thoradh an-còmhnaidh neoni, tha an gnìomh statach air an raon gu lèir, agus mar sin is urrainn dhuinn a ràdh gu bheil an gnìomh _( h(x) = 7 _) statach air gach àireamh fhìor, a tha ann an comharradh eadar-ama _( (-_infty, _infty) _).
Co-dhùnadh
Tha tuigse air na h-eadar-amaichean de staidean a tha a’ sìor fhàs, a’ lùghdachadh, agus a tha stèidhichte ann an gnìomh na phàirt riatanach de mhion-sgrùdadh gnìomh. Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, tha sinn air na bun-bheachdan agus na ceumannan a dh’ fheumar gus na h-eadar-amaichean sin a lorg a chòmhdach. Tha an t-eòlas seo air leth feumail ann an diofar thagraidhean practaigeach agus teòiridheach de mhatamataig.
