Sampla de cheist phlé ar dhíorthach feidhme ailgéabraí
Is coincheap bunúsach é an díorthach sa chalcalas a úsáidtear chun cur síos a dhéanamh ar an gcaoi a n-athraíonn feidhm, nó fána feidhme ag pointe. Tá díorthaigh úsáideach i réimsí éagsúla ar nós na fisice, na heacnamaíochta agus na hinnealtóireachta toisc go soláthraíonn siad faisnéis faoin ráta athraithe. San alt seo, pléifimid roinnt samplaí de dhíorthaigh feidhmeanna ailgéabracha agus conas iad a réiteach.
Sampla 1: Díorthach Feidhme Polaiméach
Ceist: Agus an fheidhm \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) tugtha. Faigh díorthach na feidhme!
Réiteach:
Ag baint úsáide as an riail bhunúsach maidir le díorthaigh le haghaidh feidhmeanna iltéarmacha, eadhon \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), ríomhfaimid díorthach gach téarma den fheidhm ceann ar cheann.
\[
ailínigh
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0
f'(x) & = 9x^2 – 10x + 2.
\end{ailíniú}
\]
Mar sin, is é díorthach \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) ná \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Sampla 2: Díorthach Feidhme le hEaspónantáin Chodánacha
Ceist: Faigh amach díorthach na feidhme \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Réiteach:
Agus an riail dhíorthaithe chéanna á húsáid, is é sin \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
ailínigh
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{ailíniú}
\]
Mar sin, is é díorthach \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) ná \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Sampla 3: Díorthaigh Feidhmeanna Easpónantúla agus Triantánacha
Ceist: Faigh díorthach na feidhme \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Réiteach:
Chun an díorthach seo a réiteach, teastaíonn an Riail Táirge uainn, a deir \((uv)' = u'v + uv'\). Abair \(u(x) = e^x \) agus \(v(x) = \sin(x) \), ansin:
\[
ailínigh
u'(x) &= e^x, & \text{toisc gurb é } e^x \\ díorthach } e^x \text{
v'(x) & = \cos(x), & mar gheall ar an díorthach de \sin(x) is ea \cos(x).
\end{ailíniú}
\]
Ag baint úsáide as an riail dhíorthaithe le haghaidh táirgí:
\[
ailínigh
h'(x) & = (e^x \cdot \sin(x))'
&= e^x (sin(x))' + sin(x) (e^x)'
&= e^x ⋅cos(x) + sin(x) ⋅ e^x
&= e^x(cos(x) + sin(x)).
\end{ailíniú}
\]
Mar sin, is é díorthach \(h(x) = e^x \sin(x) \) ná \(h'(x) = e^x (cos(x) + \sin(x)) \).
Sampla 4: Díorthach Feidhme ag Úsáid an Riail Slabhra
Ceist: Faigh amach díorthach na feidhme \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Réiteach:
Chun an díorthach seo a réiteach, teastaíonn an riail slabhra uainn, eadhon \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) ≥ g'(x)). Abair \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) agus \( f(u) = u^5 \), ansin:
\[
ailínigh
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) & = 3x^2 – x + 4, & \text{mar sin} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5
k'(x) & = 5u^4 ⋅ u'(x)
u'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{ailíniú}
\]
Ag baint úsáide as an riail slabhra:
\[
ailínigh
k'(x) & = 5(3x^2 – x + 4)^4 ⋅ (6x – 1)
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{ailíniú}
\]
Mar sin, is é díorthach \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) ná \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Sampla 5: Díorthach Feidhme le Céannachtaí Triantánacha
Ceist: Faigh amach díorthach na feidhme \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Réiteach:
Úsáidfimid an riail díorthach le haghaidh táirgí. Abair go bhfuil u(x) = sin(x) agus v(x) = cos(x), ansin:
\[
ailínigh
u'(x) & = \cos(x), \
v'(x) & = -\sin(x).
\end{ailíniú}
\]
Ag baint úsáide as an riail dhíorthaithe le haghaidh táirgí:
\[
ailínigh
m'(x) & = (sin(x) \cdot \cos(x))'
&= (\sin(x))' ⋅ cos(x) + \sin(x) ⋅ (\cos(x))'
& = ∫cos(x)∫cos(x) + ∫sin(x)∫(-sin(x))
&= ∫cos²(x) – ∫sin²(x).
\end{ailíniú}
\]
Ag baint úsáide as an gcéannacht thriantánach \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Mar sin, is é díorthach \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) ná \(m'(x) = \cos(2x) \).
Conclúid
Is coincheap bunúsach sa chalcalas é díorthach feidhme ailgéabraí atá an-tábhachtach agus úsáideach i bhfeidhmeanna éagsúla. Cuidíonn rialacha éagsúla díorthaithe, amhail an riail bhunúsach díorthach, an riail táirge, an riail slabhra, agus na rialacha le haghaidh díorthaigh thriantánacha, le díorthaigh feidhmeanna níos casta a ríomh. Trí na samplaí thuas a thuiscint agus fadhbanna a chleachtadh, is féidir linn ár dtuiscint agus ár scileanna a fheabhsú maidir le díorthaigh feidhmeanna ailgéabracha a thógáil.
