Ceisteanna Samplacha a Phléann Feidhmeanna Logartamacha
Is coincheap lárnach iad logartaim sa mhatamaitic, go háirithe san ailgéabar agus san anailís. Tá dlúthbhaint acu le heaspónantáin agus úsáidtear go minic iad chun cothromóidí easpónantacha a réiteach agus in iarratais éagsúla eolaíochta agus innealtóireachta. Pléifear san alt seo roinnt fadhbanna logartaim a bhíonn le fáil go minic, mar aon le míniú cuimsitheach ar gach fadhb.
Réamhrá ar Logartaim
Is inbhéart na n-easpónant iad logartaim. Má tá an chothromóid easpónantúil againn, ansin is é a foirm logartaim ná y = log_b{x}, rud a chiallaíonn “is é y logartam x le bonn b”. I measc na logartaim a úsáidtear go coitianta tá an logartam nádúrtha (bonn e) agus an logartam deachúil (bonn 10).
Airíonna Logartam
Seo a leanas roinnt airíonna bunúsacha logartam a úsáidtear go minic chun fadhbanna a réiteach:
1. Logartam an táirge:
\[
\log_b{(xy)} = \log_b{x} + \log_b{y}
\]
2. Logartam an chomhréire:
\[
\log_b{(\frac{x}{y})} = \log_b{x} – \log_b{y}
\]
3. Logartam an easpónant:
\[
\log_b{(x^a)} = a \cdot \log_b{x}
\]
4. Athrú ar bhonn logartamach:
\[
\log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}
\]
Ceisteanna Samplacha agus Plé
1. Ceist 1:
Aimsigh luach \( \log_2{32} \).
Plé:
Tá a fhios againn gur féidir \(32\) a scríobh mar \(2^5\). Dá bhrí sin:
\[
\log_2{32} = \log_2{(2^5)} = 5 \cdot \log_2{2}
\]
Ós rud é go bhfuil \(\log_2{2} = 1\):
\[
\log_2{32} = 5 \cdot 1 = 5
\]
Mar sin, is é luach \( \log_2{32} \) ná 5.
2. Ceist 2:
Más ionann \( \log_3{x} agus 4 \), faigh luach \(x \).
Plé:
Bunaithe ar shainmhíniú an logartaim, is féidir \( \log_3{x} = 4 \) a athscríobh i bhfoirm easpónantúil:
\[
3^4 = x
\]
Ag ríomh \(3^4\):
\[
3 ^ 4 = 81
\]
Mar sin, is é luach \(x \) ná 81.
3. Ceist 3:
Tugtar cothromóid \( \log_{10}{x} = -2 \). Faigh luach \(x \).
Plé:
Tiontaigh foirm logartamach go foirm easpónantúil:
\[
10^{-2} = x
\]
Ag ríomh \(10^{-2}\):
\[
10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01
\]
Mar sin, is é luach \(x \) ná 0.01.
4. Ceist 4:
Aimsigh luach \( \log_5{(125 \cdot 25)} \).
Plé:
Tá a fhios againn go bhfuil \(125 = 5^3\) agus \(25 = 5^2\). Ansin:
\[
\log_5{(125 \cdot 25)} = \log_5{(5^3 \cdot 5^2)}
\]
Bunaithe ar airíonna tháirge na logartam:
\[
\log_5{(5^3 ⋅ 5^2)} = \log_5{5^5}
\]
Ag baint úsáide as airíonna cumhachtaí logartamacha:
\[
\log_5{5^5} = 5 \cdot \log_5{5}
\]
Ós rud é go bhfuil \(\log_5{5} = 1\):
\[
5 ∫1 = 5
\]
Mar sin, is é luach \( \log_5{(125 \cdot 25)} \) ná 5.
5. Ceist 5:
Aimsigh luach \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \).
Plé:
Tá a fhios againn go bhfuil \(8 = 2^3\) agus \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\). Ansin:
\[
\log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} = \log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})}
\]
Bunaithe ar airíonna tháirge na logartam:
\[
\log_{2}{(2^3 ⋅ 2^{1/2})} = \log_{2}{(2^{3 + 1/2})} = \log_{2}{(2^{3.5})}
\]
Ag baint úsáide as airíonna cumhachtaí logartamacha:
\[
\log_{2}{(2^{3.5})} = 3.5 \cdot \log_{2}{2}
\]
Ós rud é go bhfuil \(\log_{2}{2} = 1\):
\[
3.5 ∫1 = 3.5
\]
Mar sin, is é luach \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) ná 3.5.
6. Ceist 6:
Más ionann \( \log_4{y} – \log_4{2} agus 3 \), faigh luach \(y \).
Plé:
Bunaithe ar airíonna an chomhréire logartamach:
\[
\log_4{(\frac{y}{2})} = 3
\]
Tiontaigh foirm logartamach go foirm easpónantúil:
\[
4^3 = \frac{y}{2}
\]
Ag ríomh \(4^3\):
\[
4 ^ 3 = 64
\]
Mar sin:
\[
64 = \frac{y}{2}
\]
Mar sin:
\[
y = 64 ⋅ 2 = 128
\]
Mar sin, is é luach \(y \) ná 128.
7. Ceist 7:
Aimsigh luach \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \).
Plé:
Tá a fhios againn go bhfuil \(36 = 6^2\). Ansin:
\[
\log_{6}{\frac{1}{36}} = \log_{6}{(6^{-2})}
\]
Ag baint úsáide as airíonna cumhachtaí logartamacha:
\[
\log_{6}{(6^{-2})} = -2 \cdot \log_{6}{6}
\]
Ós rud é go bhfuil \(\log_{6}{6} = 1\):
\[
-2 ≈ 1 = -2
\]
Mar sin, is é luach \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \) ná -2.
Conclúid
Is uirlis mhatamaiticiúil an-úsáideach iad logartaim i réimse feidhmeanna eolaíochta agus innealtóireachta. Is féidir le tuiscint a fháil ar airíonna bunúsacha logartaim réiteach a dhéanamh ar go leor fadhbanna. Tá roinnt fadhbanna leagtha amach san alt seo agus pléitear logartaim a thagann chun cinn go minic i gcomhthéacsanna éagsúla. Beidh cleachtadh agus tuiscint ar na coincheapa seo an-chabhrach chun máistreacht a fháil ar ábhar na logartam.
