Techniken foar it berekkenjen fan de mediaan foar ienkele en groepearre gegevens
De mediaan is in mjitte fan sintrale oanstriid dy't faak brûkt wurdt yn statistyk. Oars as it gemiddelde (gemiddelde), dat alle wearden byinoar optelt en dan dielt troch it oantal wearden, beklammet de mediaan de "middelste wearde" fan in sortearre dataset. Fanwegen syn fokus op posysje is de mediaan relatyf resistint tsjin ekstreme wearden (útsjitters), lykas wannear't ien wearde tige grut of tige lyts is yn ferliking mei de oaren. Dêrom wurdt de mediaan in soad brûkt yn ekonomyske gegevensanalyse, ûnderwiis, sosjaal ûndersyk en sels testskoare-evaluaasje.
Yn dit artikel sille wy techniken beprate foar it berekkenjen fan de mediaan foar twa soarten gegevens: ienkele gegevens (ûngroepearre) en groepearre gegevens (presintearre yn in frekwinsjeferdielingstabel). Neist de formule sil de diskusje praktyske stappen omfetsje foar maklike ymplemintaasje.
-
1. Basiskonsept fan mediaan
De mediaan is de middelste wearde nei't de gegevens sortearre binne fan lytste nei grutste. As it oantal gegevenspunten ûneven is, is de mediaan de krekte middelste wearde. As it oantal gegevenspunten even is, is de mediaan it gemiddelde fan 'e twa middelste wearden.
Yntuïtyf ferdielt de mediaan de gegevens yn twa dielen:
– 50% fan 'e gegevens is ûnder (of gelyk oan) de mediaan
– 50% fan 'e gegevens is boppe (of gelyk oan) de mediaan
Omdat de mediaan op folchoarder basearre is, is de earste stap dy't hast altyd fereaske is it sortearjen fan de gegevens.
-
2. De mediaan berekkenje foar ienige gegevens
Ienkelde gegevens binne gegevens dy't presintearre wurde sa't se binne (bygelyks in list mei studintecijfers), net gearfette yn yntervalklassen lykas yn groepsgegevens.
A. Algemiene stappen
1. Sortearje de gegevens fan lytste nei grutste wearde.
2. Bepale de hoemannichte gegevens, bygelyks n.
3. Bepale de posysje fan 'e mediaan:
– As n ûneven is, is de mediaan op posysje \((n+1)/2\).
– As n even is, is de mediaan it gemiddelde fan 'e gegevens op posysjes \(n/2\) en \((n/2)+1\).
B. Mediaanformule foar ienkele gegevens
– As n ûneven is:
\[
Ik = x_{(n+1)/2}
\]
Dit betsjut dat de mediaan de gegevenswearde is yn 'e \((n+1)/2\)de oarder.
– As n even is:
\[
Ik = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Foarbyld fan ienkelde gegevens (n ûneven)
Gegevens: 7, 2, 9, 4, 3
1) Sortearje: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (ûneven)
3) Mediaanposysje = \((5+1)/2 = 3\)
Mediaan = 3e gegevens = 4
Dat betsjut dat de mediaan fan 'e gegevens 4 is.
D. Foarbyld fan ienkele gegevens (n Even)
Gegevens: 10, 4, 6, 8
1) Sortearje: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (even)
3) De middelste posysje is de 2e en 3e gegevens
Mediaan = \((6 + 8)/2 = 7\)
Dat betsjut dat de mediaan fan 'e gegevens 7 is.
E. Wichtige notysje: Gegevens mei frekwinsje
Soms kin in inkele dataset jûn wurde as in wearde en in frekwinsje (bygelyks, 60 ferskynt twa kear, 70 ferskynt fiif kear). Yn dit gefal wurdt de mediaan noch fûn op basis fan 'e "folchoarder" fan 'e gegevens, mar wy kinne de kumulative frekwinsje brûke om de mediaanposysje te bepalen sûnder de gegevenspunten yndividueel op te listjen. It prinsipe is itselde: fyn de (n+1)/2e posysje (ûneven) of de (n/2) en (n/2)+1e posysje (even), en sjoch dan nei de wearden dy't dy posysje dekke op basis fan 'e kumulative frekwinsje.
-
3. De mediaan berekkenje foar groepearre gegevens
Groepearre gegevens binne gegevens dy't gearfette binne yn klasse-yntervallen en harren frekwinsjes. Bygelyks: 3 minsken mei in hichte fan 150–154 sm, 8 minsken mei in hichte fan 155–159 sm, ensafuorthinne. Oars as by ienkele gegevens wurdt de mediaan fan groepearre gegevens meastal net presys bepaald, om't wy de yndividuele wearden binnen it ynterval net kenne. Dêrom wurdt de mediaan berekkene mei in benadering (skatting) mei de mediaanformule foar groepearre ferdielingen.
A. Wichtige termen yn groepsgegevensmediaan
Foardat wy de formule brûke, moatte wy ferskate komponinten begripe:
– n = totale frekwinsje (totaal oantal gegevens)
– n/2 = kumulative mediaanposysje
– Mediaanklasse = de earste yntervalklasse dy't in kumulative frekwinsje ≥ n/2 produseart
– L = ûnderste râne fan 'e mediaanklasse (net de ûnderste limyt, mar de klassegrins; foar trochgeande gegevens meastentiids in oanpassing fan 0,5 brûke as de gegevens hiele getallen binne)
– F = kumulative frekwinsje foar de mediaanklasse
– f = mediane klassefrekwinsje
– c = klasselingte (yntervalbreedte)
B. Stappen om de mediaan fan groepsgegevens te bepalen
1. Meitsje in frekwinsjeferdielingstabel en foegje in kumulative frekwinsjekolom ta.
2. Berekenje n (oantal frekwinsjes) en bepaal n/2.
3. Bepale de mediaanklasse, nammentlik de klasse dy't n/2 posysjes omfettet op basis fan kumulative frekwinsje.
4. Fier de wearden yn yn 'e mediaanformule foar de groepgegevens.
C. Mediaanformule foar groepsgegevens
\[
Me = L + \left(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\right)\times c
\]
Dizze formule fiert lineêre ynterpolaasje út binnen de mediaanklasse, oannommen dat de gegevens lykwichtich ferdield binne oer it klasse-ynterval.
D. Foarbyld fan mediaan fan groepsgegevens
Bygelyks, de folgjende testskoaregegevens:
| Wearde-ynterval | Frekwinsje (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Totale frekwinsje:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) Berekenje n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Kumulative frekwinsje:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Posysje 20 is yn 'e klasse mei de earste kumulative skoare ≥ 20, nammentlik 60–69. Dat is dus de mediane klasse.
4) Bepale de komponinten:
– L = ûnderste râne fan mediaanklasse. Foar it ynterval 60–69 is de ûnderste râne 59,5 (as de gegevens in hiel getal binne).
– F = kumulative frekwinsje foar de mediaanklasse = 13
– f = mediane klassefrekwinsje = 12
– c = klaslingte = 10
5) Fier yn 'e formule yn:
\[
Me = 59,5 + \lofter(\frac{20 – 13}{12}\rjochter)\kear 10
\]
\[
Me = 59,5 + \left(\frac{7}{12}\right)\kear 10
\]
\[
Ik = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Dat betsjut dat de mediaan fan 'e groepsgegevens sawat 65,33 is.
-
4. Faak foarkommende flaters
Guon faak foarkommende flaters by it berekkenjen fan de mediaan:
1. De gegevens wurde net sortearre foar ienige gegevens, sadat de middelste wearde net akkuraat is.
2. Ferkeard bepalen fan 'e posysje fan' e mediaan as n even is (moat it gemiddelde fan 'e twa middelste wearden nimme).
3. Foar groepsgegevens is it ferkeard om de mediaanklasse te kiezen, om't it gjin kumulative frekwinsje makket.
4. Mei help fan de ûnderste limyt fan 'e ûnderste râneklasse (L) as de gegevens trochgeande/ynterval-hielgetallen binne.
5. Ferkeard bepalen fan 'e klaslingte (c), foaral as de yntervallen net konsekwint binne.
-
5. Konklúzje
De mediaan is in ienfâldige, mar krêftige mjitte fan sintrale oanstriid, foaral as de gegevens ekstreme wearden befetsje. Foar ienkelde datasets wurdt de mediaan direkt bepaald fanút de middelste posysje nei't de gegevens sortearre binne, mei in oare behanneling foar ûneven en even oantallen datasets. Underwilens wurdt foar groepearre datasets de mediaan berekkene mei in ynterpolaasjeformule basearre op 'e mediaanklasse, kumulative frekwinsje en klasselingte.
Troch it konsept en de stappen te begripen, kinne jo de mediaan fluch en sekuer berekkenje, sawol op ienfâldige gegevens as op gegevens dy't gearfette binne yn tabellen. Yn in protte analytyske situaasjes is de mediaan in mear represintative kar as it gemiddelde, foaral as de gegevensferdieling asymmetrysk is of útsjitters befettet.
As jo wolle, kin ik ek oefenfragen tafoegje tegearre mei diskusjes om jo begryp fan 'e mediaan fan ienkele en groepsgegevens te fersterkjen.
