Hoekmomentum

Hoekmomentum

De kwantiteit fan 'e rotaasjebeweging, dy't identyk is oan massa (m) yn 'e lineêre beweging, is it traachheidsmomint (I). De kwantiteit fan 'e rotaasjebeweging, dy't identyk is oan 'e snelheid (v) yn 'e lineêre beweging, is de hoeksnelheid (ω). Sa hat it rotearjende objekt in hoekmomentum dat berekkene wurde kin mei de fergeliking:

L = I ω

L = hoekmomentum (kg m² ^/ s), I = traachheidsmomint (kg m² ⁾ , ω = hoeksnelheid (rad/s)

Foarbyldproblemen fan it hoekmomentum

Foarbyldprobleem 1.

In dieltsje mei in massa fan 0.5 gram beweecht yn in sirkel mei in konstante hoeksnelheid fan 2 rad/s. Bepale it hoekmomentum fan it dieltsje as de straal fan it paad fan it dieltsje 10 sm is.

Oplossing:

It traachheidsmomint fan it dieltsje:

Ik = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m²) ⁼ (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻¹ kg ^m²

De hoeksnelheid fan it dieltsje:

ω = 2 rad/s

De hoekmomentum fan it dieltsje:

L = (0.5 x 10⁻⁶ ^kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg m² ^/ s

De wet fan behâld fan hoekmomentum

De wet fan behâld fan hoekmomentum stelt dat as it resultearjende krêftmoment op in stive lichem by rotaasje nul is, dan is it hoekmomentum fan it stive lichem by rotaasje altyd konstant. De wet fan behâld fan hoekmomentum kin wiskundich ôflaat wurde troch de fergeliking fan Newton syn twadde wet fan hoekmomentum oan te passen. Hjir is de fergeliking fan Newton syn twadde wet oer it hoekmomentum:

As it resultearjende krêftmomint nul is, dan feroaret de boppesteande fergeliking nei:

I _t = it lêste traachheidsmomint, I _o = it earste traachheidsmomint, ω _t = de lêste hoeksnelheid, ω _o = de earste hoeksnelheid, L _t = it lêste hoekmomentum, L _o = it earste hoekmomentum.

Foarbyldproblemen fan 'e wet fan behâld fan hoekmomentum

Foarbyldprobleem 1.

In homogene fêste silinderskiif draait yn earste ynstânsje om syn as mei in snelheid fan 4 rad/s. De massa en straal fan 'e skiif binne 1 kg en 0.5 m. As boppe de plaat in ring pleatst wurdt mei in massa en straal fan 0.2 kg en 0.1 m en it sintrum fan 'e ring,

krekt boppe it sintrum fan 'e skiif, dan sille de skiif en ring tegearre draaie mei de hoeksnelheid fan…..

Oplossing:

Traachheidsmomint fan in fêste silinder: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m² ⁼ (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Traachheidsmomint fan 'e ring: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Begjin hoekmomentum (L1 ₎ = Einhoekmomentum ( _L2 )

Ik ₁ ω ₁ = Ik ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Konseptuele fragen en antwurden

1. Wat is hoekmomentum?
   Antwurd: Hoekmomentum is in mjitte fan 'e hoemannichte rotaasje dy't in objekt hat, rekken hâldend mei syn massa en foarm. It is de rotaasje-analogon fan lineêr momentum.
2. Hoe wurdt hoekmomentum wiskundich bepaald?
   Antwurd: Hoekmomentum (L) wurdt definiearre as $L=r\times p$, dêr't $r$ is de posysjevektor fan 'e rotaasjeas nei it tapassingspunt, en $p$ is it lineêre momentum.
3. Is hoekmomentum in skalêre of in fektorgrutte?
   Antwurd: Hoekmomentum is in fektorhoeveelheid.
4. Wat is de ienheid fan hoekmomentum yn it SI-systeem?
   Antwurd: De ienheid fan hoekmomentum yn it SI-systeem is kilogram-meter kwadraat per sekonde (kg·m²/ s).
5. Hoe wurdt hoekmomentum bewarre?
   Antwurd: Yn in sletten systeem sûnder eksterne koppels bliuwt it totale hoekmomentum konstant.
6. Wat is it prinsipe fan behâld fan hoekmomentum?
   Antwurd: It prinsipe stelt dat it totale hoekmomentum fan in sletten systeem konstant bliuwt, útsein as der in ekstern koppel op ynwurke wurdt.
7. Hoe ferhâldt de rotaasje fan in figuerreedrider him ta hoekmomentum?
   Antwurd: As in keunstrider syn earms en skonken ticht by syn lichem lûkt tidens in draai, ferminderje se syn traachheidsmomint, wêrtroch't se rapper draaie. Dit demonstrearret it behâld fan hoekmomentum.
8. Wat is de relaasje tusken koppel en hoekmomentum?
   Antwurd: Koppel ($\tau$) is de feroaringssnelheid fan hoekmomentum. Wiskundich, τ=dL/sek​.
9. Is it mooglik foar in objekt om hoekmomentum te hawwen sûnder hoeksnelheid?
   Antwurd: Nee, as in objekt in hoekmomentum hat, hat it in hoeksnelheid. De grutte en rjochting fan it hoekmomentum hinget ôf fan sawol it traachheidsmomint as de hoeksnelheid.
10. Hoe beynfloedet it traachheidsmomint de hoekmomentum?
    Antwurd: Hoekmomentum (L) is it produkt fan traachheidsmomint (I) en hoeksnelheid (ω). US $L=I\omega$, in tanimming fan it traachheidsmomint foar in bepaalde hoekesnelheid sil it hoekmomentum ferheegje.
11. Wat is it ferskil tusken spin en orbitale hoekmomentum yn kwantummeganika?
    Antwurd: Spin-hoekmomentum is in yntrinsike eigenskip fan dieltsjes, lykas elektroanen, en ûntstiet net út beweging yn 'e romte. Orbitaal hoekmomentum, oan 'e oare kant, ûntstiet út 'e beweging fan in dieltsje om in sintraal punt.
12. Hokker rol spilet hoekmomentum yn 'e foarming fan planetêre systemen?
    Antwurd: As in molekulêre wolk ynstoart om stjerren en planeten te foarmjen, feroarsaket it behâld fan hoekmomentum dat it materiaal plat wurdt ta in skiif om 'e nijberne stjer, wêrút planeten ûntstean kinne.
13. Hoe hâldt in gyroskoop syn oriïntaasje yn 'e romte?
    Antwurd: In draaiende gyroskoop hat in hoekmomentum. As in ekstern koppel besiket syn oriïntaasje te feroarjen, feroaret de gyroskoop syn rotaasjeas yn in rjochting dy't loodrecht op it tapaste koppel stiet fanwegen it behâld fan hoekmomentum.
14. Wat feroarsaket presesje yn in tol?
    Antwurd: Presesje yn in tol wurdt feroarsake troch it koppel troch swiertekrêft dat ynwurket op it massasintrum fan 'e tol, dat ferskowe is fan syn draaipunt. Dit koppel resulteart yn in feroaring yn 'e rjochting fan it hoekmomentum fan 'e tol, wêrtroch't it in presesje ûndergiet.
15. Wêrom wurde stjerren flak by harren poalen?
    Antwurd: As stjerren draaie, ûnderfine se in sintrifugale krêft dy't matearje nei bûten drukt. Dit effekt is sterker oan 'e evener as oan 'e poalen, wat liedt ta in ôfplatte, of oblate, foarm.
16. Hoe is hoekmomentum relatearre oan de twadde wet fan Kepler?
    Antwurd: De twadde wet fan Kepler stelt dat in linestik dat in planeet en de sinne ferbynt, gelikense oerflakken útslacht yn gelikense tiidsintervallen. Dit is in gefolch fan it behâld fan hoekmomentum.
17. Wêrom lânet in kat altyd op syn fuotten as er falt?
    Antwurd: Katten brûke it behâld fan hoekmomentum. Troch har lichems te draaien en har traachheidsmominten yn 'e loft te feroarjen, kinne se harsels opnij oriïntearje om op har fuotten te lânjen sûnder de behâldswetten te skeinen.
18. Hoe is it magnetyske momint relatearre oan hoekmomentum yn elektroanen?
    Antwurd: It magnetyske momint fan in elektron ûntstiet út syn spin en orbitale hoekmomentum. It magnetyske momint is evenredich mei it hoekmomentum fan it elektron.
19. Wat is hoekmomentum yn termen fan poalkoördinaten?
    Antwurd: Yn poalkoördinaten, hoekmomentum $L$ foar in puntmassa kin útdrukt wurde as $L=mrv$, dêr't $m$ is de massa, $r$ is de radiale ôfstân, en $v$ is de tangensiële snelheid.
20. Wat bart der mei it hoekmomentum fan in sletten systeem as twa objekten botsje?
    Antwurd: Yn in sletten systeem dêr't twa objekten botsje, is it totale hoekmomentum foar de botsing gelyk oan it totale hoekmomentum nei de botsing, oannommen dat der gjin eksterne koppels op it systeem ynwurkje.

Problemen en oplossings

1. Probleem: In puntmassa m = 2 kg beweecht mei in snelheid v = 3 m/s yn in sirkel mei straal r = 4 m. Bereken it hoekmomentum om it middelpunt fan 'e sirkel.

Oplossing: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Probleem: In fêste bol mei in massa fan 3 kg en in straal fan 0.5 m draait om syn diameter mei in hoeksnelheid ω = 2 rad/s. Wat is syn hoekmomentum?

Oplossing: ^Foar in fêste bol, I = 2/5 m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Probleem: In puntmassa fan 3 kg beweecht mei in snelheid fan 4 m/s yn in rjochte line. Wat is syn hoekmomentum om in punt 5 m fan syn bewegingsline ôf?

Oplossing:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Probleem: In skiif mei in massa fan 5 kg en in straal fan 3 m draait mei in hoeksnelheid fan 2 rad/s. Bereken it hoekmomentum.

Oplossing: Foar ⁱⁿ skiif, I = 1/2 m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Probleem: In stêf mei in lingte fan 4 m en in massa fan 2 kg draait om ien ein mei in hoeksnelheid fan 3 rad/s. Fyn syn hoekmomentum.

Oplossing: Foar ⁱⁿ stêf om ien ein, I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Probleem: Wat is de feroaring yn hoekmomentum as in rotearjend lichem syn hoeksnelheid ferdûbelet?

Oplossing: De relaasje tusken hoekmomentum (L) en hoeksnelheid (ω) is $L=I\times \omega$ . As ω ferdûbele wurdt, sil it hoekmomentum ek ferdûbelje.

7. Probleem: As de straal fan in sirkelfoarmich paad fan in bewegend dieltsje ferdûbelet wylst de snelheid konstant bliuwt, mei hokker faktor feroaret it hoekmomentum dan?

Oplossing: Hoekmomentum, $L=m\times r\times v$ . As r ferdûbelet, sil L ek ferdûbelje.

8. Probleem: In bern mei in massa fan 30 kg stiet oan 'e râne fan in draaimolen dy't yn rêst is. De straal fan 'e draaimolen is 2 m. As it bern begjint te rinnen mei in snelheid fan 2 m/s ten opsichte fan 'e grûn lâns de râne, fyn dan it hoekmomentum fan it bern ten opsichte fan it sintrum.

Oplossing: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Probleem: In silinder mei in massa fan 6 kg en in straal fan 2 m draait om syn sintrale as mei in hoeksnelheid fan 5 rad/s. Berekenje syn hoekmomentum.

Oplossing: Foar ⁱⁿ silinder, I = 1/2 m r²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 kg.m² ^/ s

10. Probleem: Wat sil it nije hoekmomentum fan in lichem wêze as syn traachheidsmomint halvearre wurdt en syn hoeksnelheid ferdrievoudige wurdt?

Oplossing: Jûn $L=I\times \omega$ , as $I$ halvearre wurdt en $\omega$ ferdrievoudige wurdt, sil de nije $L$ 1/2 × 3 = 1.5 × it orizjineel wêze.

11. Probleem: In ring mei in massa fan 2 kg en in straal fan 1 m draait mei in hoeksnelheid fan 4 rad/s. Bereken it hoekmomentum.

Oplossing: Foar in hoepel, I = m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m² ^/ s

12. Probleem: In fentilator hat blêden mei in lingte fan 0.5 m en in totale massa fan 1 kg. As er draait mei in hoeksnelheid fan 10 rad/s, bepaal dan syn hoekmomentum.

Oplossing: As wy oannimme dat de fentilatorblêden lykje op stangen dy't om ien ein draaie, dan is I =1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 kg.m² ^/ s

13. Probleem: Bereken it hoekmomentum fan 'e ierde om syn eigen as fanwegen syn rotaasje. Jûn: Massa fan 'e ierde ⁼ 5.972 × ¹⁰²⁴ kg , Radius $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10-5rad\text{/s}$.

Oplossing: As wy oannimme dat de ierde in fêste bol is, is ^I = 2/5 m / r²

$L=I\times \omega$ =2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Probleem: In bern beweecht nei it sintrum fan in draaiend platfoarm. Nimt it hoekmomentum ta, nimt it ôf of bliuwt it itselde?

Oplossing: Hoekmomentum bliuwt bewarre. As it bern nei it sintrum ta beweecht, nimt it traachheidsmoment ôf. Om hoekmomentum te behâlden, nimt de hoeksnelheid ta. Sa bliuwt it hoekmomentum itselde.

15. Probleem: As de kinetische enerzjy fan in rotearjend lichem ferdûbele wurdt, mei hokker faktor feroaret it hoekmomentum dan?

Oplossing: Kinetyske enerzjy K = 1/2 ​I ω ² en Hoekmomentum $L=I\omega$ . As de kinetyske enerzjy ferdûbele wurdt en $I$ konstant bliuwt, wurdt ω ² ferdûbele. Dit betsjut dat $\omega$ ferhege wurdt mei in faktor √2 ​. Sa nimt $L\; ek\; ta\; mei$in faktor √2 ​.

16. Probleem: In fytstsjil mei in straal fan 0.3 m hat in râne mei in massa fan 1.5 kg. As it draait mei in hoeksnelheid fan 5 rad/s, fyn dan syn hoekmomentum.

Oplossing: As wy oannimme dat de râne in hoepel is, dan ^is I = m/ r²

$L=I\times \omega$ =1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Probleem: In iisreedrydster lûkt har earms nei binnen by it draaien. Wat bart der mei har hoekmomentum?

Oplossing: It hoekmomentum fan 'e reedrider bliuwt bewarre. Troch har earms nei binnen te lûken, ferminderet se har traachheidsmomint, en sa draait se rapper (ferhege hoeksnelheid) om har hoekmomentum te behâlden.

18. Probleem: In flywheel hat in traachheidsmomint fan 0.2 kg.m² ^{kg.m² en} draait mei in hoeksnelheid fan 10 rad/s. Fyn syn hoekmomentum$\text{.}$

Oplossing:

$L=I\times \omega$ =0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Probleem: In systeem hat in netto ekstern koppel fan nul dat derop wurket. Wat kinne jo sizze oer syn hoekmomentum?

Oplossing: As it netto eksterne koppel nul is, dan bliuwt neffens it behâld fan hoekmomentum it totale hoekmomentum fan it systeem konstant.

20. Probleem: In puntmassa m = 5 kg beweecht mei in snelheid v = 3 m/s loodrecht op de line dy't it ferbynt mei in punt P. As de ôfstân fan it punt P 4 m is, fyn dan syn hoekmomentum om punt P.

Oplossing:

$L=m\times r\times v$ = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s