Principe et équation de Bernoulli
Quand on roule vite à moto, nos vêtements se gonflent dans le dos. Si vous ne savez pas encore faire de moto, observez vos parents ou vos amis qui en font. Leurs vêtements se gonflent généralement dans le dos quand la moto roule vite. Parfois, par grand vent, la porte d'entrée se ferme toute seule, même si le vent souffle à l'extérieur.
Ceci peut s'expliquer par le principe de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) a découvert un principe qui permet d'expliquer certains des phénomènes évoqués ci-dessus.
Le principe de Bernoulli
Le principe de Bernoulli stipule que là où la vitesse d'un fluide est élevée, sa pression est faible. Inversement, si la vitesse d'un fluide est faible, sa pression est élevée. Lorsqu'une moto roule vite, la vitesse de l'air devant et sur les côtés du corps est élevée. La pression atmosphérique y est donc faible. L'arrière du corps étant masqué par l'avant, la vitesse de l'air à l'arrière (juste derrière le corps) reste constante. Par conséquent, la pression atmosphérique à l'arrière du corps est plus importante. Cette différence de pression, plus forte juste derrière le corps, exerce une pression sur le vêtement, lui donnant un aspect gonflé dans le dos.
Que se passe-t-il lorsqu'une porte se ferme d'elle-même par grand vent ? L'air extérieur se déplace plus vite que l'air intérieur. Par conséquent, la pression atmosphérique extérieure est inférieure à la pression intérieure. Du fait de cette différence de pression, la porte est repoussée vers l'extérieur, là où la pression est plus élevée à l'intérieur. Autrement dit, la porte se déplace d'une zone de haute pression vers une zone de basse pression.
L'équation de Bernoulli
Nous avons précédemment étudié le principe de Bernoulli. Bernoulli a également développé ce principe de manière quantitative. Pour établir l'équation de Bernoulli, nous supposons un écoulement laminaire stationnaire, l'incompressibilité du fluide et une faible viscosité, paramètres que l'on peut négliger.
Lors de l'étude de l'équation de continuité, nous avons vu que le débit d'un fluide peut varier en fonction de la section transversale du tube. D'après le principe de Bernoulli expliqué précédemment, la pression du fluide varie également en fonction du débit et de la hauteur d'écoulement. La relation entre la pression, le débit et la hauteur d'écoulement est donnée par l'équation de Bernoulli.
L'équation de Bernoulli est fondamentale car elle permet d'analyser le vol des aéronefs, les centrales hydroélectriques, les réseaux de canalisations, etc. Afin d'assurer la généralité de l'équation de Bernoulli que nous allons établir, nous supposerons que le fluide s'écoule dans un tube dont les sections transversales et les hauteurs sont inégales (voir figure ci-dessous). Pour établir l'équation de Bernoulli, nous appliquerons le théorème de l'énergie cinétique au fluide dans la région du tube. Nous calculerons ensuite la quantité de fluide et le travail nécessaire pour le déplacer.
La couleur opaque du tube d'écoulement sur l'image indique un flux de fluide, tandis que la couleur blanche indique l'absence de fluide.
Le fluide dans la section 1 (côté gauche) parcourt une distance L₁ et contraint le fluide dans la section 2 (côté droit) à se déplacer d'une distance L₂ . La section 2 étant plus petite à droite, le débit du fluide y est plus important (voir l'équation de continuité). Ceci engendre une différence de pression entre la section 2 (côté droit) et la section 1 (côté gauche) – d'après le principe de Bernoulli. Le fluide situé à gauche de la section 1 exerce une pression P₁ sur le fluide situé à droite et effectue un travail de :
L'équation W 1 peut alors s'écrire :
W 1 = p 1 A 1 L 1
À la section transversale 2 (côté droit du tube d'écoulement), le travail effectué sur le fluide est :
W² = −p²A²L²
Le signe négatif indique que la force appliquée est opposée au sens du mouvement. Le fluide effectue donc un travail vers la droite de la section 2. De plus, la force de gravité effectue également un travail sur le fluide. Dans le cas présenté, une certaine masse de fluide est déplacée de la section 1 sur une distance L₁ à la section 2 sur une distance L₂ , où le volume de fluide à la section 1 (A₁L₁ ) est égal au volume de fluide à la section 2 (A₂L₂ ) . Le travail effectué par la gravité est :
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Le signe négatif s'explique par le fait que le fluide s'écoule vers le haut, à l'opposé de la gravité. Ainsi, le travail total effectué sur le fluide, comme illustré dans la figure ci-dessus, est :
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P₁A₁L₁ ‐ P₂A₂L₂ + mgh₁ ‐ mgh₂
Le théorème de l'énergie cinétique stipule que le travail total effectué sur un système est égal à la variation de son énergie cinétique. Ainsi, on peut remplacer le travail (W) par la variation d'énergie cinétique (EK₂ ‐ EK₁ ).
Nous pouvons réécrire l'équation ci-dessus comme suit :
W = P₁A₁L₁ ‐ P₂A₂L₂ + mgh₁ ‐ mgh₂
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1/2 mv² / 2 ‐ 1/2 mv₁ / 2 = P₁A₁L₁ ‐ P₂A₂L₂ + mgh₁ ‐ mgh₂
La masse de fluide s'écoulant sur une distance L₁ à la section A₁ est égale à la masse de fluide s'écoulant sur une distance L₂ ( section A₂ ) . Une masse de fluide, notée m, a un volume de A₁L₁ et A₂L₂ où A₁L₁ = A₂L₂ ( L₂ est plus long que L₁ ).
Maintenant, nous substituons, ou nous remplaçons m dans l'équation ci-dessus par m = ρ AL :
Voici l'équation de Bernoulli. Nous l'avons établie à partir du principe de conservation de l'énergie, elle constitue donc une formulation de la loi de conservation de l'énergie.
Information :
P = Pression
ρ = Densité du fluide
v = Vitesse d'écoulement du fluide
g = Accélération due à la gravité
h = Hauteur du tube/tuyau d'écoulement par rapport à la surface du sol
Les membres de gauche et de droite de l'équation de Bernoulli ci-dessus peuvent faire référence à deux points quelconques le long du tube d'écoulement, ce qui nous permet de réécrire l'équation ci-dessus comme suit :
Cette équation stipule que la somme totale des quantités qui la composent a la même valeur tout au long du tube d'écoulement.
Passons maintenant en revue l'équation de Bernoulli pour quelques cas.
Équation de Bernoulli pour les fluides au repos
Un cas particulier de l'équation de Bernoulli concerne les fluides au repos (fluides statiques). Lorsqu'un fluide est au repos, il n'a pas de vitesse. Ainsi, v₁ = v₂ = 0. Dans le cas d'un fluide au repos, l'équation de Bernoulli peut s'écrire :
Si h 2 ‐ h 1 = h, alors cette équation peut s'écrire :
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Équation de Bernoulli pour les tubes ou tuyaux d'écoulement de même hauteur
Si la hauteur du tube ou du tuyau d'écoulement est la même, alors l'équation de Bernoulli devient :
