Équation de continuité
Ouvrez lentement le robinet en observant le débit d'eau. Dès que le robinet s'arrête, bouchez-le partiellement avec votre main. Comparez ensuite le débit : est-il plus important avec le robinet partiellement bouché ou non ? Si vous avez un tuyau d'arrosage, laissez-le couler. Bouchez-le partiellement avec votre main ou votre doigt. Plus le tuyau est bouché, plus l'eau coulera vite. À l'inverse, si le tuyau n'est pas bouché, l'eau coulera plus lentement. Pourquoi ? Pour le comprendre, consultez l'équation de continuité.
Lignes de courant et tubes d'écoulement
Commençons par comprendre les concepts de lignes de courant et de tubes d'écoulement. Ce concept est important car il vous permettra de comprendre l'équation de continuité.
Ligne aérodynamique
Regardez l'image ci-dessous, la ligne bleue représente la ligne de flux.
En régime permanent, la vitesse de chaque particule de fluide en un point donné, par exemple le point A, reste constante. Lorsqu'elle passe par le point B, la vitesse des particules de fluide peut varier. Cependant, une fois arrivées au point B, les particules de fluide qui les suivent conservent la même vitesse que celles qui les précèdent. Il en va de même lorsqu'elles arrivent au point C, et ainsi de suite. La ligne de courant est la courbe reliant les points A, B et C.
tube à flux
En résumé, on peut tracer chaque ligne de courant passant par chaque point de l'écoulement. Dans le cas d'un écoulement permanent, plusieurs lignes de courant formant un angle donné sur une surface imaginaire constituent un tube d'écoulement. Les particules de fluide ne se croisent pas, elles sont toujours parallèles, et le tube d'écoulement ressemble à un tuyau de forme constante. Le fluide entrant par une extrémité en sort par l'autre.
Débit
Le débit désigne le volume de fluide traversant une section donnée pendant un intervalle de temps déterminé. Mathématiquement, il peut s'exprimer comme suit :
Pour mieux comprendre, prenons un exemple. Imaginons un fluide s'écoulant dans un tuyau. Les tuyaux sont généralement cylindriques et ont une section transversale spécifique. Le tuyau a également une longueur.
Lorsque le fluide s'écoule dans la conduite sur une distance L, son volume est V = AL (V = volume du fluide, A = aire de la section transversale et L = longueur de la conduite). Comme le fluide parcourt une certaine distance L pendant un certain intervalle de temps, on peut dire que le débit du fluide est :
Puisque v = s/t = L/t —> L = vt, l'équation ci-dessus devient :
Ainsi, lorsqu'un fluide s'écoule dans un tuyau ayant une certaine section transversale et une certaine longueur pendant un certain intervalle de temps, l'ampleur du débit de fluide (Q) est égale à la surface de la section transversale (A) multipliée par la vitesse d'écoulement du fluide (v).
Équation de continuité
Considérons l'écoulement d'un fluide dans un tuyau de diamètres différents, comme illustré dans la figure ci-dessous.
Cette image illustre l'écoulement d'un fluide de gauche à droite (le fluide s'écoule d'un tuyau de grand diamètre vers un tuyau de petit diamètre). Les lignes pointillées représentent les lignes de courant.
Légende de l'image : A 1 = aire de la section transversale de la section de tuyau de grand diamètre, A 2 = aire de la section transversale de la section de tuyau de petit diamètre, v 1 = vitesse d'écoulement du fluide dans la section de tuyau de grand diamètre, v 2 = vitesse d'écoulement du fluide dans la section de tuyau de petit diamètre, L = distance parcourue par le fluide.
Dans l'introduction à la dynamique des fluides, il a été expliqué que cette discipline étudie l'écoulement des fluides incompressibles, non visqueux, non turbulents et stationnaires. En régime stationnaire, la vitesse des particules de fluide en un point donné est égale à celle des autres particules passant par ce point. Les lignes de courant sont parallèles et ne se croisent pas. Par conséquent, la masse de fluide entrant à une extrémité du tuyau est égale à la masse de fluide sortant à l'autre extrémité. Si un fluide d'une certaine masse entre dans un tuyau de grand diamètre, il en sortira par un tuyau de petit diamètre avec une masse constante.
Maintenant, regardez l'image du tuyau ci-dessus. Observez la partie du tuyau de grand diamètre et la partie de tuyau de petit diamètre.
Pendant un certain intervalle de temps, une certaine quantité de fluide s'écoule à travers une section de tuyau de grand diamètre (A).1) dans la mesure où L1 (L1 = v1 t). Le volume de fluide qui s'écoule est V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Pendant le même intervalle de temps, une autre quantité de fluide s'écoule à travers une section de tuyau de diamètre plus petit (A).2) dans la mesure où L2 (L2 = v2 t). Le volume de fluide qui s'écoule est V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Équation de continuité pour les fluides incompressibles (incompressible)
Considérons tout d'abord le cas d'un fluide incompressible. Dans un fluide incompressible, la masse volumique est constante en tout point. La masse de fluide s'écoulant dans une conduite de section A1 ( le grand diamètre de la conduite) pendant un intervalle de temps donné est :
De même, la masse de fluide s'écoulant dans un tuyau de section transversale A 2 (petit diamètre de tuyau) pendant un certain intervalle de temps est :
Étant donné qu'en régime permanent, la masse de fluide entrant est la même que la masse de fluide sortant, alors :
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (la densité du fluide et l'intervalle de temps sont identiques, donc ils s'annulent)
A₁ contre 1 = A₂ contre 2
Ainsi, dans les fluides incompressibles, l'équation de continuité s'applique :
A₁ v₁ = A₂ v₂ — Équation 1
Information :
A₁ = aire de la section transversale 1, A₂ = aire de la section transversale 2, v₁ = vitesse d'écoulement du fluide à la section transversale 1, v₂ = vitesse d'écoulement du fluide à la section transversale 2, Av = débit volumique V/t (ou débit).
L'équation 1 montre que le débit volumique, également appelé débit de sortie, est constant en tout point d'une conduite. Lorsque la section de la conduite diminue, le débit augmente ; inversement, lorsque la section de la conduite augmente, le débit diminue.
Lorsqu'on bouche partiellement le robinet, le débit d'eau augmente par rapport à un robinet partiellement fermé. En effet, la section du robinet diminue lorsqu'il est partiellement fermé, ce qui accroît le débit (l'eau s'écoule plus vite). Le même principe s'applique aux tuyaux d'arrosage. Toutefois, il est important de noter que le débit volumique reste constant tout au long du circuit d'eau, que le robinet soit partiellement fermé ou non. Seul le débit de l'eau varie donc.
Qu'en est-il du débit d'une rivière ? Les parties profondes d'une rivière ont une section transversale plus importante que les parties peu profondes ; par conséquent, le débit y est plus faible. Si vous observez une rivière très calme, cela signifie qu'elle est profonde. En revanche, si le courant s'accélère soudainement, la zone concernée est assurément peu profonde. Cependant, le débit volumique reste toujours le même, que la rivière soit profonde ou calme.
Équation de continuité pour les fluides compressibles (compressible)
Dans le cas des fluides compressibles , la masse volumique n'est pas constante. Autrement dit, elle varie lorsqu'on les comprime. Alors que pour les fluides incompressibles , la masse volumique est négligée dans l'équation, elle est ici prise en compte. En nous appuyant sur l'équation précédemment établie, établissons l'équation pour les fluides compressibles.
Étant donné qu'en régime permanent, la masse de fluide entrant est la même que la masse de fluide sortant, alors :
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
L'intervalle de temps d'écoulement du fluide étant constant, il peut être éliminé. L'équation devient alors :
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Équation 2
Voici l'équation d'un fluide compressible. La seule différence réside dans la masse volumique du fluide. Lorsqu'un fluide est comprimé, sa masse volumique change. Inversement, lorsqu'un fluide est incompressible, sa masse volumique reste constante et peut être annulée.
Exemple de question 1 :
L'eau s'écoule dans un tuyau de 10 cm de diamètre à une vitesse de 2 m/s. Quel est le débit d'eau ?
Discussion
Il est connu que :
Diamètre du tuyau = 10 cm (il s'agit du diamètre intérieur du tuyau)
Rayon du tuyau (r) = 5 cm = 0,05 m
v eau = 2 m/s
Question posée : Débit
Répondre :
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Exemple de question 2 :
Un tuyau d'eau de 20 cm de diamètre est raccordé à un autre tuyau de 10 cm de diamètre. Si le débit d'eau dans le tuyau de 20 cm de diamètre est de 4 m/s, quel est le débit d'eau dans le tuyau de 10 cm de diamètre ?
Discussion
Il est connu que :
Diamètre 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v 1 = 4 m/s
Diamètre 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0,05 m)
Question posée : v 1
Répondre :
Q1 = Q2
A₁ contre 1 = A₂ contre 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v 2 = 16 m/s
