Moment d'inertie

1. Moment d'inertie de la particule

Considérons une particule en rotation. Cette particule de masse m est soumise à une force F qui la met en rotation autour de l'axe O. Elle se situe à une distance r de l'axe de rotation. Initialement, la particule est au repos (v = 0). Sous l'effet de la force F, elle se déplace à une certaine vitesse, ce qui lui confère une accélération tangentielle. La relation entre la force (F), la masse (m) et l'accélération tangentielle de la particule est exprimée par l'équation 3 :

F = ma _tan (Équation 3)

Les particules tournent de sorte qu'elles subissent une accélération angulaire. La relation entre l'accélération tangentielle et l'accélération angulaire est exprimée par l'équation 4 :

a _tan = r α (Équation 4)

Remplacez le a de l'équation 3 par le a de l'équation 4 :

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (Équation 5)

rF représente le moment de la force et m r²  le moment d'inertie de la particule. L'équation 5 établit la relation entre le moment de la force, le moment d'inertie et l'accélération angulaire des particules en rotation. L'équation 5 correspond à la deuxième loi de Newton pour les particules en rotation.

Le moment d'inertie d'une particule est le produit de la masse de la particule (m) et du carré de la distance entre les particules et l'axe de rotation (r ² ).

I = mr² ⁽ Équation 6)

I représente le moment d'inertie de la particule, m sa masse et r la distance entre la particule et l'axe de rotation. L'équation 6 permet de déterminer le moment d'inertie d'une particule.

3.2 Exemples de problèmes liés au moment d'inertie d'une particule

Exemple de problème 1.

Une particule de masse 2 kg est attachée à une corde de 0.5 mètre de long, puis mise en rotation. Quel est le moment d'inertie de la particule en rotation ?

Solution:

I = mr ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

I = 0.5 kg ^m²

Exemple de problème 2.

Deux particules, l'une de masse 2 kg et l'autre de masse 4 kg, sont reliées par un fil conducteur léger de 2 mètres de long. On néglige la masse du fil. Déterminer le moment d'inertie des deux particules, sachant que :

a) L'axe de rotation est situé entre les deux particules

Solution:

I = _m₁r₁² + ^m₂r₂²​_​​​^​

I = (2)(12) + (4)(12)

je = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) L'axe de rotation se situe à une distance de 0.5 mètre de la particule de masse 2 kg

I = _m₁r₁² + ^m₂r₂²​_​​​^​

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

je = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) L'axe de rotation se situe à une distance de 0.5 mètre de la particule de masse 4 kg

I = _m₁r₁² + ^m₂r₂²​_​​​^​

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

je = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

D'après les résultats des calculs précédents, le moment d'inertie est fortement influencé par la position de l'axe de rotation. Bien que la forme et la taille restent identiques, la position de l'axe de rotation influe considérablement sur le moment d'inertie.

Les particules proches de l'axe de rotation ont un moment d'inertie plus faible, tandis que celles qui en sont éloignées ont un moment d'inertie plus élevé. Si l'on considère les deux particules ci-dessus comme des objets rigides, alors chacune d'elles est proche de l'axe de rotation.

possède un moment d'inertie inférieur à celui de la particule plus éloignée de l'axe de rotation.

3.3 Moment d'inertie d'un corps rigide homogène

Les objets rigides sont composés de nombreuses particules. Le moment d'inertie d'un corps rigide est la somme des moments d'inertie de chacune des particules qui le constituent.

I = Σ ^mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Pour déterminer le moment d'inertie d'un objet rigide, il est nécessaire d'étudier l'objet en rotation, car la position de l'axe de rotation influe sur son moment d'inertie. Le moment d'inertie (I) de chaque particule dépend également de sa masse (m) et du carré de sa distance (r² ⁾ à l'axe de rotation. La masse de l'objet est égale à la somme des masses de toutes les particules qui le composent.

Le problème est que la distance de chaque particule par rapport à l'axe de rotation varie.

Examinez la diminution dans la formule du moment d'inertie d'un anneau mince avec des doigts R et une masse M.

Si l'axe de rotation est situé au centre de l'anneau, toutes les particules de l'anneau mince sont alignées avec cet axe. Le moment d'inertie de l'anneau mince est égal à la somme des moments d'inertie de toutes ses particules.

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

La masse de toutes les particules = masse de l'anneau mince (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

Chaque particule de l'anneau mince est située à une distance r de l'axe de rotation, de sorte que _r₁ = r₂ ₌ r₃ ₌ rn = R

L'équation du moment d'inertie de l'anneau mince :

I = ^MR²

I = moment d'inertie de l'anneau mince, M = masse de l'anneau mince, R = rayon de l'anneau mince.

Que se passe-t-il si l'axe de rotation n'est pas situé au centre de l'anneau ? Si l'axe de rotation n'est pas situé au centre de l'anneau, la formule du moment d'inertie de l'anneau mince ne peut pas être établie à l'aide de la méthode ci-dessus.

Chaque particule se trouve à une distance différente de l'axe de rotation. Le calcul du moment d'inertie pour un tel problème n'est pas abordé dans ce chapitre.

Formule du moment d'inertie pour certains objets rigides

3.4 Exemple de problème du moment d'inertie d'un corps rigide homogène

Exemple de problème 1 :

Le cylindre à tige AB a une masse de 3 kg lorsqu'il tourne autour de B,

Le moment d'inertie est de 27 kg m² ^. Quel est le moment d'inertie si

rotation autour de C ?

Solution:

Solution:

Formule du moment d'inertie d'une tige solide homogène (l'axe de rotation est au centre de la tige) :

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Formule du moment d'inertie d'une tige solide homogène (l'axe de rotation se situe au bord de la tige) :

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²