Impulssin ja liikemäärän törmäykset – ongelmat ja ratkaisut

Impulssin ja liikemäärän törmäykset – ongelmat ja ratkaisut

1. 40 gramman kumiluoti ammuttiin vaakasuunnassa seinään, kuten alla olevassa kuvassa näkyy. Luoti heijastui samalla nopeudella. Mikä on muutos? vauhti pallosta?

Tunnettu:

Massa (m) = 40 grammaa = 0.04 kg

Alkunopeus (v_o) = – 50 m/s

Loppunopeus (v_t) = 50 m/s

Pallon liikkumissuunta (nopeuden suunta) on vastakkainen, joten alkunopeudella ja loppunopeudella on vastakkaiset merkit.

Etsitään: Pallon liikemäärän muutos

ratkaisu:

Momentin muutos:

Δp = m (v_t - v_o) = (0.04)(50 – (-50)) = (0.04)(50 + 50)

Δp = (0.04)(100) = 4 Ns

2. 75 gramman painoinen kumipallo heitetään vaakasuunnassa seinään, kuten alla olevassa kuvassa näkyy. Pallo heijastuu samalla nopeudella. Mikä on impulssi?

Tunnettu:

Pallon massa (m) = 75 grammaa = 0.075 kg

Alkunopeus (v_o) = -20 m/s

Loppunopeus (v_t) = 20 m/s

Pallon liikkumissuunta (nopeuden suunta) on vastakkainen, joten alkunopeudella ja loppunopeudella on vastakkaiset merkit.

Etsitään: Impulssi

ratkaisu:

Impulssi = Liikemäärän muutos

I = Δp

I = m (v_t - v_o) = 0.075 (20 – (-20)) = 0.075 (20 + 20) = 0.075 (40)

I = 3 N·s = 3 Newtonin sekuntia

Täydellisen elastinen törmäys

3. Kaksi palloa, A ja B, lähestyvät toisiaan vaakasuorassa tasossa. Pallon A nopeus on v_A = 4 m/s ja pallon B nopeus, v_B = 6 m/s. Törmäys on täysin elastinen. Kappaleen B nopeus törmäyksen jälkeen on 4 m/s. Mikä on pallon A nopeus törmäyksen jälkeen?

Tunnettu:

Pallon A massa (m_A) = m

Pallon B massa (m_B) = m

Pallon A nopeus ennen törmäystä (v_A) = 4 m/s

Pallon B nopeus ennen törmäystä (v_B) = 6 m/s

Pallon B nopeus törmäyksen jälkeen (v_B') = 4 m/s

Halusi: Pallon A nopeus törmäyksen jälkeen (v_A')

ratkaisu:

Pallojen massat ovat samat, joten:

Pallon A nopeus ennen törmäystä (v_A) = pallon B nopeus törmäyksen jälkeen (v_B') = 4 m/s

Pallon B nopeus ennen törmäystä (v_B) = pallon A nopeus törmäyksen jälkeen (v_A') = 6 m/s

Osittain elastiset törmäykset

4. Kaksi kohdetta sama massa liikkuu suorassa linjassa lähestyen toisiaan, kuten alla olevassa kuvassa näkyy. Jos v₂ on kohteen nopeus 2, törmäyksen jälkeen oikealle 5 ms:n kohdalla^-1, sitten nopeus esineestä (1) törmäyksen jälkeen on…

Tunnettu:

Kappaleen massa = m

Kohteen 1 nopeus ennen törmäystä (v₁) = 8 m/s

Kohteen 2 nopeus ennen törmäystä (v₂) = 10 m/s

Kohteen 2 nopeus törmäyksen jälkeen (v₂') = 5 m/s

Etsitään: Kohteen 1 nopeus törmäyksen jälkeen (v₁')

ratkaisu:

m₁ v₁+m₂ v₂ = m₁ v₁' + m₂ v₂"

m (v₁ + v₂) = m (v₁' + v₂')

v₁ + v₂ = v₁' + v₂"

8 + 10 = v₁+ 5

18 = v₁+ 5

v₁' = 18-5

v₁' = 13 m/s

5. Kappale A, jonka massa on 4 kg, ja kappale B, jonka massa on 5 kg, lähestyvät toisiaan vaakasuorassa tasossa alla olevan kuvan mukaisesti. Törmäyksen jälkeen pallon A nopeus = 4 m/s ja pallon B nopeus = 2 m/s. Mikä on pallon B nopeus ennen törmäystä?

Tunnettu:

Kappaleen A massa (m_A) = 4 kg

Kappaleen BB massa (m_B) = 5 kg

Kohteen A nopeus ennen törmäystä (v_A) = 6 m/s

Kohteen A nopeus törmäyksen jälkeen (v_A') = 4 m/s

Kohteen B nopeus törmäyksen jälkeen (v_B') = -2 m/s

Plus- ja miinusmerkit osoittavat, että pallojen suunnat ovat vastakkaiset.

Etsitään: Pallon B nopeus ennen törmäystä (v_B)

ratkaisu:

m_A v_A +m_B v_B = m_A v_A' + m_B v_B"

(4) (6) + (5) (-2) = (4) (4) + (5) (v_B')

24 – 10 = 16 + 5(v_B')

14 – 16 = 5 (v_B')

-2 = 5 (v_B')

v_B' = -2/5

v_B' = -0.4

Miinusmerkki osoittaa, että pallon suunta törmäyksen jälkeen on päinvastainen kuin pallon suunta ennen törmäystä.

IneMuovitörmäykset

6. 2 kg:n pallo ja 1 kg:n pallo lähestyvät toisiaan vaakasuorassa tasossa, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty.

Pallon 1 nopeus, v₁ = 2 ms^-1 ja pallon 2 nopeus, v₂ = 4 ms^-1Törmäyksen jälkeen molemmat pysyvät yhdessä. Mikä on nopeus törmäyksen jälkeen?

Tunnettu:

Pallon 1 massa (m₁) = 2 kg

Pallon 2 massa (m₂) = 1 kg

Pallon 1 nopeus ennen törmäystä (v₁) = 2 m/s

Pallon 2 nopeus ennen törmäystä (v₂) = -4 m/s

Pallon suunta siirtymä (nopeuden suunta) on vastakkainen, joten pallon 1 ja pallon 2 nopeudella on vastakkaiset merkit.

Etsitään: Nopeus törmäyksen jälkeen (v')

ratkaisu:

m₁ v₁ +m₂ v₂ = (m₁ +m₂) v'

(2)(2) + (1)(-4) = (2 + 1) v'

4 – 4 = (3) v'

0 = (3) v'

v' = 0

1. Mikä on impulssi-momentti-lause?

Vastaus: Impulssi-momentti-lause sanoo, että kappaleeseen kohdistettu impulssi on yhtä suuri kuin sen liikemäärän muutos. Matemaattisesti, $Impulse=F\times \Delta t=\Delta p$, Jossa $F$ on keskimääräinen käytetty voima, $\Delta t$ on aika, jonka voimaa kohdistetaan, ja $\Delta p$ on momentin muutos.

2. Miten liikemäärän säilymisperiaatetta sovelletaan törmäyksissä?

Vastaus: Eristetyssä järjestelmässä (ei ulkoisia voimia) kokonaisliikemäärä ennen törmäystä on yhtä suuri kuin kokonaisliikemäärä törmäyksen jälkeen. Tämä pätee sekä elastisiin että joustamattomiin törmäyksiin.

3. Erota elastinen ja joustamaton törmäys.

Vastaus: Elastisessa törmäyksessä sekä liikemäärä että liike-energia säilyvät. Tämä tarkoittaa, että kokonaisliike-energia ennen törmäystä on yhtä suuri kuin kokonaisliike-energia törmäyksen jälkeen. Elastisessa törmäyksessä liikemäärä säilyy, mutta liike-energia ei välttämättä säily, ja osa siitä voi muuttua muiksi energiamuodoiksi, kuten lämmöksi tai ääneksi.

4. Miksi pomppiva pallo lopulta lakkaa pomppimasta, kun se pudotetaan tietyltä korkeudelta?

Vastaus: Vaikka pallo törmää maahan suunnilleen elastisesti, kaikki sen liike-energia ei muutu takaisin potentiaalienergiaksi. Osa energiasta häviää muihin muotoihin, kuten lämmöksi, ääneksi ja pallon sisäisiksi muodonmuutoksiksi. Tämän seurauksena pallon korkeus pienenee jokaisen pompun myötä, kunnes se lopulta pysähtyy.

5. Miten impulssi liittyy nopeuden muutokseen?

Vastaus: Impulssi on keskimääräisen voiman ja sen kappaleeseen kohdistuvan vaikutusajan tulo. Impulssi-momentti-lauseen nojalla impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos. Vakiomassaisen kappaleen liikemäärä ($p$) on $mass(m)\times velocity(v)$Näin ollen liikemäärän muutos tarkoittaa nopeuden muutosta.

6. Kahden auton törmäyksessä, jossa molemmat autot pysähtyvät kokonaan, säilyykö liikemäärä?

Vastaus: Kyllä, liikemäärä säilyy. Kahden auton yhteenlaskettu liikemäärä ennen törmäystä olisi yhtä suuri kuin niiden yhteenlaskettu liikemäärä törmäyksen jälkeen. Koska molemmat autot pysähtyvät, niiden erillinen liikemäärä on nolla, mutta niiden yhteenlaskettu liikemäärä on edelleen sama kuin ennen törmäystä.

7. Kuinka auton turvatyynyn antama impulssi vähentää matkustajaan kohdistuvaa iskua törmäyksen aikana?

Vastaus: Turvatyyny pidentää matkustajan vauhdin hidastuvuutta. Ajan pidentäminen pienentää matkustajan kokemaa keskimääräistä voimaa (impulssi-momentti-teoreeman mukaisesti), mikä vähentää loukkaantumisriskiä.

8. Miksi urheilijat tekevät "rullan" laskeutuessaan merkittävältä korkeudelta?

Vastaus: Pyörähtämällä alas laskeutuessaan urheilija pidentää iskun kestoa. Tämä pidempi aika vähentää laskeutumisen aikana koettua keskimääräistä voimaa, mikä vähentää loukkaantumisriskiä. Kyseessä on impulssi-momentti-teoreeman sovellus tosielämässä.

9. Miten liikemäärä liittyy Newtonin kolmanteen liikelakiin?

Vastaus: Newtonin kolmannen lain mukaan jokaista liikettä kohden on olemassa yhtä suuri ja vastakkainen reaktio. Törmäyksissä yksi kappale kohdistaa toiseen voiman ja toinen kohdistaa ensimmäiseen yhtä suuren ja vastakkaisen voiman. Tämä tarkoittaa, että yhden kappaleen kokema liikemäärän (tai impulssin) muutos on suuruudeltaan yhtä suuri ja suuntaltaan vastakkainen toisen kappaleen muutoksen kanssa, mikä varmistaa liikemäärän säilymislain.

10. Miten törmäyksen tulokulma vaikuttaa törmäävien kappaleiden resultanttinopeuksiin?

Vastaus: Tulokulma voi määrittää törmäyksen jälkeisten resultanttinopeuksien suunnan. Kaksiulotteisissa törmäyksissä liikemäärän säilymislaki on sovellettava erikseen vaakasuoraan ja pystysuoraan komponenttiin. Törmäyskulmasta ja kappaleiden ominaisuuksista riippuen tämä voi johtaa vaihteleviin tuloksiin resultanttinopeuksien suunnan ja suuruuden suhteen.

1. Mikä on impulssin ja liikemäärän välinen suhde?
   • VastausImpulssi on kappaleen liikemäärän muutos. Matemaattisesti impulssi on voiman ja sen vaikutusajan tulo, ja se on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos.
2. Miten liikemäärän säilymislaki pätee törmäyksiin?
   • VastausEristetyssä järjestelmässä (jossa ei vaikuta ulkoisia voimia) kokonaisliikemäärä ennen törmäystä on yhtä suuri kuin kokonaisliikemäärä törmäyksen jälkeen. Tämä on liikemäärän säilymislaki.
3. Erota elastiset ja joustamattomat törmäykset.
   • VastausElastisessa törmäyksessä sekä liikemäärä että kineettinen energia säilyvät. Elastisessa törmäyksessä liikemäärä säilyy, mutta kineettinen energia ei. Täydellisesti epäelastiset törmäykset ovat sellaisia, joissa kappaleet pysyvät yhdessä törmäyksen jälkeen.
4. Miksi pomppiva pallo lopulta lakkaa pomppimasta, kun sitä pudotetaan toistuvasti?
   • VastausMikään törmäys ei ole täysin kimmoisa johtuen esimerkiksi ilmanvastuksesta ja muodonmuutosenergiasta. Jokaisella pompulla osa pallon liike-energiasta muuttuu muihin muotoihin, kuten lämmöksi, mikä johtaa yhä pienempiin ja pienempiin seuraaviin pomppuihin, kunnes pallo pysähtyy.
5. Kuinka turvatyynyn antama impulssi vähentää loukkaantumisriskiä auto-onnettomuudessa?
   • VastausTurvatyyny pidentää törmäyksen kestoa. Näin se vähentää matkustajaan kohdistuvaa keskimääräistä voimaa ja siten loukkaantumisriskiä.
6. Miksi raaka kananmuna on helpompi saada kiinni liikuttamalla kättä kananmunan liikkeen mukana kuin pitämällä kättä paikallaan?
   • VastausLiikuttamalla kättäsi munan liikkeen mukana lisäät iskuaikaa. Tämä vähentää munaan kohdistuvaa keskimääräistä voimaa, mikä tekee siitä epätodennäköisemmän rikkoutua.
7. Kuinka karate-ekspertti voi rikkoa laudan tai tiilen kädellään loukkaamatta itseään?
   • VastausKarate-asiantuntija käyttää nopeaa ja tarkkaa liikettä antaakseen suuren impulssin lyhyessä ajassa. Nopea liikemäärän siirtyminen rikkoo laudan, mutta käsi ei pysy kosketuksessa riittävän kauan vaimentaakseen vahingoittavaa voimaa.
8. Miksi on vaarallista olla levossa keskellä suurnopeusmoottoritietä?
   • VastausJos suurella nopeudella ajava auto törmää paikallaan olevaan esineeseen (tai henkilöön), liikemäärän (ja siten impulssin) muutos tapahtuu hyvin lyhyessä ajassa, mikä johtaa erittäin suuriin voimiin. Nämä suuret voimat voivat aiheuttaa vakavia vaurioita.
9. Kun kaksi kappaletta törmää, miksi toinen voi kokea suuremman voiman kuin toinen, vaikka niiden liikemäärän muutokset olisivat samat?
   • VastausVaikka Newtonin kolmannen lain vuoksi liikemäärän muutos (ja siten myös impulssi) on sama molemmille kappaleille, kappaleeseen kohdistuva voima riippuu siitä, kuinka nopeasti liikemäärän muutos tapahtuu. Jos toisen kappaleen törmäysaika on lyhyempi, se kokee suuremman voiman.
10. Miksi joissakin urheiluvälineissä, kuten baseball-käsineissä tai krikettipehmusteissa, on pehmusteet?

• VastausPehmuste pidentää törmäysaikaa (kuten pallon osuessa laitteisiin). Tämä levittää impulssin pidemmälle ajalle, mikä vähentää keskimääräistä voimaa ja mahdollista loukkaantumista.