Painovoiman keskipiste

1. Määritelmä Painovoiman keskipiste

Jäykkä kappale koostuu monista hiukkasista; siksi painovoima vaikuttaa jokaiseen näistä hiukkasista. Toisin sanoen jokaisella hiukkasella on oma painonsa. Kappaleen painopiste on piste kappaleella, jossa kaikkien kappaleen osien painon katsotaan olevan keskitettynä kyseiseen pisteeseen.

Jos kappale on homogeeninen (kappaleen jokaisen osan tiheys on sama tai kappale koostuu samanlaisesta materiaalista) ja kappaleen muoto on symmetrinen (esimerkiksi neliö, suorakulmainen, ympyrä)

silloin kappaleen paino on sama kuin kappaleen massakeskipiste, joka sijaitsee kappaleen keskellä. Kolmioiden massakeskipiste sijaitsee kohdassa 1/3 h (h = kolmion korkeus).

2. Painopisteen yhtälö

Jos kappaleen muoto on symmetrinen ja kappale on homogeeninen, niin kappaleen painopiste on sama kuin kappaleen massakeskipiste,

jossa painopiste ja massakeskipiste sijaitsevat kappaleen keskellä. Käänteisesti, jos kappale on homogeeninen mutta ei symmetrinen, kappaleen painon sijainti voidaan määrittää seuraavalla kaavalla.

Kappaleen painon koordinaatit x-akselilla:

Kappaleen painon koordinaatit y-akselilla:

x = kappaleen keskipiste x-akselilla, y = kappaleen keskipiste y-akselilla, A = pinta-ala. Jos kappale on kolmiulotteinen, se määrittää kappaleen painon koordinaattien x- ja y-akseleilla lisäksi myös kappaleen painon koordinaatit z-akselilla. Pinta-ala (A) korvataan tilavuudella (V).

Näytötehtävä 1.

Määritä kuvan sivussa olevan homogeenisen kappaleen painopisteen koordinaatit!

Ratkaisu:

Jaa esineet kolmeen osaan.

A1 = (10 - 0)(10 _- 0) = (10)(10) = 100

A₂ = (20 - 10)(30 - 0) = (10)(30) = 300

A3 = (30 - 20)(10 _- 0) = (10)(10) = 100

x² = 1⁄1 (10-0) = 1⁄2 (10) = ₅

x ₂ = 1⁄2 (20 - 10) + 10 = 1⁄2 (10) + 10 = 5 + 10 = 15

x ₃ = 1⁄2 (30-20) + 20 = 1⁄2 (10) + 20 = 5 + 20 = 25

y ₁ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

y ₂ = 1⁄2 (30-0) = 1⁄2 (30) = 15

y ₃ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

Kappaleen painon koordinaatit x-akselilla:

Kappaleen painon koordinaatit y-akselilla:

Kappaleen painon koordinaatit ovat (15; 11)

Näytötehtävä 2.

Määritä kuvassa olevan kappaleen painon koordinaatit!

Ratkaisu:

Jaa esine kahteen osaan, alue 1 = neliö, alue 2 = kolmio.

A1 = (5 - 1)(3 _- 0) = (4)(3) = 12

A2 = 1⁄2 ₍ 6-0)(9-3) = 1⁄2 (6)(6) = (3)(6) = 18

x ₁ = 1⁄2 (5 - 1) + 1 = 1⁄2 (4) + 1 = 2 + 1 = 3

x² = 1⁄2 (6-0) = 1⁄2 (6) = ₃

y ₁ = 1⁄2 (3-0) = 1⁄2 (3) = 1.5

y ₂ = 1/3 (9-3) + 3 = 1/3 (6) + 3 = 2 + 3 = 5

Kappaleen painon koordinaatit x-akselilla:

Kappaleen painon koordinaatit y-akselilla:

Kappaleen painon koordinaatti on (3; 3.6)