بردار - مشکلات و راه حل ها
برداری و اسکالر
۱. در میان گزینههای زیر، که جفتهای اسکالر-بردار هستند…
الف. نیرو - شتاب
ب. فشار - نیرو
ج. جابجایی - سرعت
د. جریان الکتریکی - فشار
راه حل :
نیرو = بردار، شتاب = بردار
فشار = اسکالر، نیرو = بردار
جابجایی = بردار، سرعت = اسکالر
جریان الکتریکی = اسکالر، فشار = اسکالر
پاسخ صحیح ب است.
2.
پاسخ صحیح با شماره نشان داده شده است…
الف. ۱ و ۴
ب. ۱ و ۲
ج. ۲ و ۳
د. ۳ و ۴
راه حل :
سرعت = اسکالر
جابجایی = بردار
وزن = بردار
شتاب = بردار
پاسخ صحیح c است.
اجزای بردارها
۳. دو بردار، F1 = 20 N و F2 = 30 N، دارای جهتی مطابق شکل زیر هستند. برآیند مؤلفههای بردارها را در محور x و محور y تعیین کنید.
الف. 5√3 شمالی و -25 شمالی
ب. -5√3 شمالی و 25 شمالی
ج. ۲۵ درجه شمالی و ۵√۳ درجه شمالی
د. 30 درجه شمالی و 25 درجه و 3 درجه شمالی
شناخته شده:
F 1 = 20 نیوتن
زاویه بین F1 و محور x = 30 درجه
F 2 = 30 نیوتن
زاویه بین F2 و محور x = 30 درجه
مورد نظر: F x و F y
راه حل :
F 1x = F 1 cos 30 o = (20)(0.5√3) = 10√3 نیوتن (علامت مثبت به دلیل اشاره به محور x+)
F 1y = F 1 sin 30 o = (20)(0.5) = 10 نیوتن (علامت مثبت به دلیل اشاره به محور +y)
F 2x = F 2 cos 30 o = (30)(0.5√3) = -15√3 نیوتن (علامت منفی است زیرا به محور -x اشاره دارد)
F 2y = F 2 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 نیوتن (علامت مثبت زیرا به محور +y اشاره دارد)
حاصلِ مؤلفه x:
F x = F 1x + F 2x = 10√3 N – 15√3 N = -5√3 نیوتن
حاصلِ مؤلفهی y:
Fy = F 1y + F 2y = 10 N + 15 N = 25 نیوتن
پاسخ صحیح ب است.
حاصلضرب دو بردار
۴. دو کودک A و B یک بلوک را هل میدهند، اگر A بلوک را با نیروی ۴۰۰ نیوتن به سمت جنوب هل دهد و همزمان B بلوک را با نیروی ۳۰۰ نیوتن به سمت شرق هل دهد، آنگاه برآیند نیروهای A و B را تعیین کنید.
الف. ۱۰۰ شمال به سمت جنوب
ب. ۱۰۰ درجه شمالی به سمت شرق
ج. ۵۰۰ شمال به سمت جنوب شرقی
D. ۷۰۰ شمال به سمت جنوب شرقی
شناخته شده:
U = شمال، T = شرق، S = جنوب، B = غرب
TL = شمال شرقی، TG = جنوب شرقی، BD = جنوب غربی، BL = شمال غربی
A = ۴۰۰ نیوتن به سمت جنوب
B = 300 نیوتن به سمت شرق
مورد نظر: بزرگی و جهت نیروی خالص (R)
راه حل :
پاسخ صحیح c است.
برآیند بردار جابجایی
۵. شخصی با موتورسیکلت از خانهاش ۶ کیلومتر به سمت شمال و سپس ۸ کیلومتر به سمت شرق میرود. موقعیت نهایی شخص را از موقعیت اولیهاش تعیین کنید.
الف. ۱۴ کیلومتری شمال شرقی
ب. ۱۴ کیلومتری جنوب غربی
ج. ۱۰ کیلومتری شمال شرقی
د. ۱۰ کیلومتری شمال غربی
شناخته شده:
مورد نظر: بزرگی و جهت جابجایی حاصل
راه حل :
پاسخ صحیح c است.
6.
بر اساس شکل بالا، اگر ۱ مربع نشان دهنده ۱ کیلومتر باشد، جابجایی کل چقدر است؟
راه حل :
فاصله = A + B + C = 6 + 6 + 2 = 14 کیلومتر
جابجایی = R = 12 کیلومتر
۷. خودرویی از نقطه A تا B به مسافت ۳۰ کیلومتر به سمت شمال، سپس ۶۰ کیلومتر به سمت شرق و در نهایت ۱۱۰ کیلومتر به سمت جنوب حرکت میکند. جابجایی خودرو از نقطه A تا D را تعیین کنید.
راه حل :
AA' = ۶۰ کیلومتر
A'D = 110 کیلومتر – 30 کیلومتر = 80 کیلومتر
۸. خودرویی از شهر A به شهر B در ۱۰۰ کیلومتری شمال، سپس به شهر C در ۶۰ کیلومتری شرق و پس از آن به شهر D در ۲۰ کیلومتری جنوب سفر میکند. جابجایی خودرو را تعیین کنید.
راه حل :
دی دی = ۶۰ کیلومتر
AD' = 100 کیلومتر – 20 کیلومتر = 80 کیلومتر
- وکتور چیست؟
- پاسخ: یک بردار کمیتی است که هم اندازه (مقدار) و هم جهت دارد. مثالها شامل سرعت، نیرو و شتاب هستند.
- یک بردار چه تفاوتی با یک اسکالر دارد؟
- پاسخ: یک اسکالر فقط بزرگی دارد، در حالی که یک بردار هم بزرگی و هم جهت دارد. برای مثال، دما یک اسکالر است زیرا مقدار دارد اما جهت ندارد، در حالی که سرعت یک بردار است زیرا سرعت (بزرگی) را در یک جهت خاص نشان میدهد.
- چگونه میتوان یک بردار را به صورت گرافیکی نمایش داد؟
- پاسخ: یک بردار را میتوان به صورت گرافیکی با یک فلش نشان داد. طول فلش نشان دهنده بزرگی بردار و جهت فلش نشان دهنده جهت بردار است.
- اهمیت دم و سر یک بردار چیست؟
- پاسخ: دم، نقطه شروع بردار و سر (یا نوک) نقطه پایانی آن است. هنگام انجام عملیاتی مانند جمع بردارها، دم یک بردار در سر بردار دیگر قرار میگیرد.
- بردارها چگونه با هم جمع میشوند؟
- پاسخ: بردارها با استفاده از روش سر به دم جمع میشوند. انتهای بردار دوم در ابتدای بردار اول قرار میگیرد. سپس بردار حاصل از انتهای بردار اول به ابتدای بردار دوم رسم میشود.
- تفاوت بین بردار واحد و بردار تهی چیست؟
- پاسخ: یک بردار واحد دارای بزرگی یک است و در جهت مشخصی قرار دارد. از آن برای نمایش جهت یک بردار بدون توجه به بزرگی آن استفاده میشود. یک بردار تهی (یا صفر) نه بزرگی دارد و نه جهت خاصی.
- چگونه میتوان یک بردار را در یک اسکالر ضرب کرد؟
- پاسخ: ضرب یک بردار در یک اسکالر، بزرگی آن را تغییر میدهد اما جهت آن را تغییر نمیدهد. اگر اسکالر مثبت باشد، جهت آن ثابت میماند؛ اگر منفی باشد، جهت آن معکوس میشود.
- منظور از متعامد یا عمود بودن دو بردار چیست؟
- پاسخ: دو بردار متعامد یا عمود بر هم هستند اگر زاویه بین آنها ۹۰ درجه باشد. حاصلضرب داخلی آنها صفر خواهد بود.
- برآیند دو بردار چگونه تعیین میشود؟
- پاسخ: حاصل جمع دو بردار است. از نظر گرافیکی، وقتی بردارها به صورت فلش نمایش داده میشوند، میتوانید با قرار دادن انتهای بردار دوم در بالای بردار اول و رسم یک فلش جدید (برآیند) از انتهای بردار اول به بالای بردار دوم، حاصل را پیدا کنید.
- اگر برداری با بزرگی ۱۰ واحد به سمت شرق باشد، چگونه میتوان نقطه مقابل آن را توصیف کرد؟
- پاسخ: بردار مقابل این بردار، همان قدر (۱۰ واحد) را خواهد داشت، اما در جهت مخالف، یعنی به سمت غرب، قرار خواهد گرفت.
