پایستگی انرژی مکانیکی - مسائل و راهحلها
۱. یک بلوک به جرم m-kg از بالای صفحه شیبدار صاف ، مطابق شکل زیر، رها میشود. مقایسه بین انرژی پتانسیل گرانشی و انرژی جنبشی بلوک در نقطه M به صورت زیر است:
راه حل
انرژی پتانسیل گرانشی در نقطه M:
PE M = میلیگرم (1/3 ساعت) = 1/3 میلیگرم در ساعت
انرژی جنبشی در نقطه M:
KE M = EP = میلی گرم (2/3 ساعت) = 2/3 میلی گرم در ساعت
ای پی ام : ای کی ام
۱/۳ میلیگرم در ساعت: ۲/۳ میلیگرم در ساعت
۱/۶ : ۶/۶
1: 2
۲. یک اسکیباز روی یخ، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، از ارتفاع A سر میخورد. اگر سرعت اولیه = ۰ و شتاب گرانش ۱۰ متر بر ثانیه -۲ باشد ، سرعت اسکیباز در نقطه B چقدر است؟
شناخته شده:
سرعت اولیه (v o ) = 0
شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ثانیه
تغییر ارتفاع = ۵۰ متر – ۱۰ متر = ۴۰ متر
مورد نظر: سرعت اسکی باز در نقطه B
راه حل :
اصل پایستگی انرژی مکانیکی بیان میکند که انرژی مکانیکی اولیه = انرژی مکانیکی نهایی.
انرژی مکانیکی اولیه = انرژی پتانسیل در نقطه B (ارتفاع = ۴۰ متر)
انرژی مکانیکی نهایی = انرژی جنبشی در نقطه B
انرژی مکانیکی نهایی = انرژی مکانیکی اولیه
½ میلی ولت تی ۲ = میلی گرم در ساعت
½ ولت تی ۲ = غ
½ ولت t 2 = (10)(50-10)
½ ولت t 2 = (10)(40)
½ ولت تی ۲ = ۴۰۰
vt2 = ( 2 )(400) = 800
vt = √800 = √(2)(400) = 20√2 متر بر ثانیه
۳. جسمی از نقطه A بدون سرعت اولیه شروع به سر خوردن میکند. اگر نیروی اصطکاک وجود نداشته باشد، سرعت جسم در پایینترین نقطه چقدر است؟
شناخته شده:
جرم جسم = m
سرعت اولیه (v o ) = 0
ارتفاع (ساعت) = ۴۵ متر
شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ثانیه
مورد نظر: سرعت نهایی (v t )
راه حل :
انرژی مکانیکی اولیه (ME1 ) = انرژی پتانسیل گرانشی در نقطه A (PEA ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
انرژی مکانیکی نهایی (ME2 ) = انرژی جنبشی (KE) = ½ mv t2
سرعت جسم در پایینترین نقطه (v t )؟
اصل پایستگی انرژی مکانیکی را به کار ببرید که بیان میکند انرژی مکانیکی اولیه = انرژی مکانیکی نهایی.
EM1 = EM2
۲۰۰ متر = ½ میلی ولت تی ۲
۲۰۰ = ½ ولت تی ۲
۴۰۰ = v t 2
vt = 20 متر بر ثانیه
۴. یک توپ ۲ کیلوگرمی از نقطه A سقوط آزاد میکند، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است (g = 10 ms -2 ). پس از رسیدن به نقطه B، انرژی جنبشی = ۲ برابر انرژی پتانسیل است. ارتفاع نقطه B از سطح زمین چقدر است؟
شناخته شده:
جرم توپ (متر) = 2 کیلوگرم
شتاب گرانش (g) = 10 ms -2
ارتفاع نقطه A (h A ) = ۹۰ متر
مورد نظر: ارتفاع نقطه B (h B )
راه حل :
وقتی به نقطه B میرسیم، انرژی جنبشی توپ در نقطه B برابر است با ۲ برابر انرژی پتانسیل گرانشی در نقطه B.
EK = 2 EP
½ میلی ولت 2 = 2 میلی گرم بر ساعت B
½ ولت به توان ۲ = ۲ گرم بر لیتر
v 2 = 2(2)(10) h B
v 2 = 40 ساعت B
سرعت (v) گلوله هنگام رسیدن به نقطه B پس از سقوط آزاد از نقطه A:
v 2 = 2 gh = 2(10)(90-h B ) = 20(90-h B )
v2 را در معادله بالا با v2 در این معادله جایگزین کنید .
v 2 = 40 ساعت B
20 (90-h B ) = 40 h B
۱۸۰۰–۲۰ ساعت بر ساعت = ۴۰ ساعت بر ساعت
۱۸۰۰ = ۴۰ ساعت B + ۲۰ ساعت B
۱۸۰۰ = ۶۰ ساعت ب
ساعت ب = ۱۸۰۰ / ۶۰
h B = 30 متر
۵. یک توپ ۱ کیلوگرمی رها میشود و از نقطه A به نقطه C میلغزد، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. اگر شتاب گرانش = ۱۰ متر بر ثانیه -۲ باشد، انرژی جنبشی توپ هنگام رسیدن به نقطه C چقدر است؟
شناخته شده:
جرم توپ (متر) = 1 کیلوگرم
شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ثانیه
تغییر ارتفاع (ساعت) = 0.75 متر
انرژی پتانسیل اولیه (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 ژول
انرژی جنبشی اولیه (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
انرژی پتانسیل گرانشی نهایی (PEt ) = mgh = mg (0) = 0
مورد نظر: انرژی جنبشی توپ در نقطه C
راه حل :
انرژی مکانیکی اولیه (ME₂o ) = انرژی مکانیکی نهایی ( ME₂t )
انرژی پتانسیل گرانشی اولیه (PE o ) + انرژی جنبشی اولیه (KE o ) = انرژی پتانسیل گرانشی نهایی (PE t ) + انرژی جنبشی نهایی (KE t )
۲۴ ژول + ۰ = ۰ + KE t
۲۴ ژول = KE t
انرژی جنبشی گلوله در نقطه C = 7.5 ژول.
۶. یک توپ ۲ کیلوگرمی از نقطه A رها میشود، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. صفحه منحنی هموار است. اگر شتاب گرانش ۱۰ متر بر ثانیه باشد ، انرژی جنبشی توپ در نقطه B چقدر است؟
شناخته شده:
جرم توپ (متر) = 2 کیلوگرم
شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ثانیه
تغییر ارتفاع (h) = 120 سانتیمتر = 1.2 متر
انرژی پتانسیل گرانشی اولیه (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 ژول
انرژی جنبشی اولیه (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
انرژی پتانسیل گرانشی نهایی (PEt ) = mgh = mg (0) = 0
مورد نظر: انرژی جنبشی توپ در نقطه B
راه حل :
انرژی مکانیکی در نقطه A (انرژی مکانیکی اولیه) = انرژی مکانیکی در نقطه B (انرژی مکانیکی نهایی)
انرژی مکانیکی اولیه (ME₂o ) = انرژی مکانیکی نهایی ( ME₂t )
انرژی پتانسیل گرانشی اولیه (PE o ) + انرژی جنبشی اولیه (KE o ) = انرژی پتانسیل گرانشی نهایی (PE t ) + انرژی جنبشی نهایی (KE t )
۲۴ ژول + ۰ = ۰ + KE t
۲۴ ژول = KE t
انرژی جنبشی (KE) توپ در نقطه C = 24 ژول.
۷. یک جسم انرژی مکانیکی ثابت، انرژی جنبشی بیشتر و انرژی پتانسیل گرانشی کمتری دارد. این جسم ...
الف) در حالت استراحت
ب. حرکت به سمت بالا
ج. حرکت به سمت پایین
د. با شتاب به سمت بالا
راه حل :
انرژی جنبشی بزرگتر میشود، به این معنی که سرعت جسم بزرگتر میشود و انرژی پتانسیل گرانشی کوچکتر میشود، به این معنی که ارتفاع جسم از سطح خاک کوچکتر میشود. این اتفاق زمانی میافتد که جسم از ارتفاع مشخصی به سمت زمین حرکت میکند.
رابطه بین سرعت و انرژی جنبشی با فرمول انرژی جنبشی نشان داده شده است:
KE = ½ میلی ولت ۲
شرح فرمول: KE = انرژی جنبشی، m = جرم، v = سرعت
رابطه بین ارتفاع و انرژی پتانسیل گرانشی با فرمول انرژی پتانسیل گرانشی نشان داده میشود :
PE = میلیگرم
شرح فرمول: PE = انرژی پتانسیل گرانشی، m = جرم، g = شتاب گرانش، h = ارتفاع
پاسخ صحیح c است.
- انرژی مکانیکی چیست؟
- پاسخ: انرژی مکانیکی مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل یک جسم است. انرژی جنبشی مربوط به حرکت یک جسم است، در حالی که انرژی پتانسیل مربوط به موقعیت یا پیکربندی آن است.
- اصل پایستگی انرژی مکانیکی چه چیزی را بیان میکند؟
- پاسخ: این اصل بیان میکند که در یک سیستم ایزوله که فقط نیروهای پایستار عمل میکنند، کل انرژی مکانیکی ثابت میماند. این بدان معناست که مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل با گذشت زمان تغییر نمیکند.
- نیروهای پایستار و ناپایستار چگونه بر پایستگی انرژی مکانیکی تأثیر میگذارند؟
- پاسخ: نیروهای پایستار، مانند گرانش، کل انرژی مکانیکی یک سیستم را تغییر نمیدهند. آنها ممکن است انرژی پتانسیل را به انرژی جنبشی یا برعکس تبدیل کنند، اما مجموع آنها ثابت میماند. نیروهای غیرپایستار، مانند اصطکاک، میتوانند انرژی مکانیکی را تلف کنند و معمولاً آن را به انرژی حرارتی تبدیل کنند.
- چرا انرژی مکانیکی در سناریوهای دنیای واقعی که شامل اصطکاک هستند، پایسته نمیماند؟
- پاسخ: اصطکاک یک نیروی غیرپایستار است. هنگامی که اجسام به سمت یکدیگر حرکت میکنند، اصطکاک مقداری از انرژی مکانیکی سیستم را به انرژی حرارتی تبدیل میکند و منجر به کاهش کل انرژی مکانیکی سیستم میشود.
- چگونه پایستگی انرژی مکانیکی در یک آونگ در حال نوسان نشان داده میشود؟
- پاسخ: در غیاب مقاومت هوا (یک نیروی غیرپایستار)، هنگامی که آونگ به سمت بالا نوسان میکند، انرژی جنبشی آن به انرژی پتانسیل گرانشی تبدیل میشود. در بالاترین نقطه نوسان، حداکثر انرژی پتانسیل و حداقل انرژی جنبشی را دارد. هنگامی که به سمت پایین نوسان میکند، این انرژی پتانسیل دوباره به انرژی جنبشی تبدیل میشود. انرژی مکانیکی کل ثابت میماند، حتی اگر اشکال انرژی در حال تغییر باشند.
- چرا یک توپ در حال جهیدن، حتی در غیاب نیروهای خارجی، در نهایت متوقف میشود؟
- پاسخ: وقتی یک توپ بالا و پایین میرود، تمام انرژی جنبشی آن به انرژی پتانسیل تبدیل نمیشود. مقداری از انرژی تلف میشود، اغلب به صورت صدا یا تغییر شکل توپ، و به خصوص به دلیل اصطکاک داخلی درون ماده توپ. اینها اشکالی از نیروهای غیرپایستار هستند که در حال فعالیت هستند و انرژی مکانیکی توپ را با هر جهش تا زمان توقف آن کاهش میدهند.
- در یک ترن هوایی، بیشترین و کمترین انرژی مکانیکی در کجا قرار دارد؟
- پاسخ: اگر از مقاومت هوا و اصطکاک صرف نظر کنیم، کل انرژی مکانیکی ترن هوایی ثابت میماند. با این حال، در بالاترین نقطه، انرژی پتانسیل در حداکثر و انرژی جنبشی در حداقل است. با پایین آمدن، انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی تبدیل میشود، بنابراین در پایینترین نقطه، انرژی جنبشی در حداکثر و انرژی پتانسیل در حداقل است.
- چگونه پایستگی انرژی مکانیکی به درک مدارهای سیارهای کمک میکند؟
- پاسخ: سیاراتی که به دور ستارهای مانند خورشید میچرخند، هم انرژی جنبشی (به دلیل حرکتشان) و هم انرژی پتانسیل گرانشی (به دلیل موقعیتشان نسبت به خورشید) دارند. با نزدیک شدن یک سیاره به خورشید، سرعت آن افزایش مییابد و انرژی جنبشی آن افزایش مییابد در حالی که انرژی پتانسیل گرانشی آن کاهش مییابد و برعکس. با فرض ناچیز بودن سایر نیروها (مانند سایر سیارات) کل انرژی مکانیکی سیاره در طول زمان ثابت میماند.
- چرا ماهوارهای که در مدار پایدار قرار دارد به زمین نمیافتد؟
- پاسخ: اگرچه ماهواره به دلیل گرانش به سمت زمین کشیده میشود، اما انرژی جنبشی رو به جلوی آن، آن را در مدار خود به حرکت نگه میدارد. تعادل این انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی، ماهواره را در مداری پایدار با انرژی مکانیکی ثابت نگه میدارد.
- اگر یک اسکیباز از بالای یک تپه بدون اصطکاک از حالت سکون شروع به اسکی کند و سپس با اسکی به پایین بیاید، سرعت او در پایین تپه در مقایسه با زمانی که در نیمه راه پایین آمدن از تپه شروع به اسکی کرده باشد، چگونه خواهد بود؟
- پاسخ: روی یک تپه بدون اصطکاک، کل انرژی مکانیکی اسکیباز پایسته میماند. اگر او از بالاترین نقطه شروع کند، انرژی پتانسیل بیشتری برای شروع نسبت به زمانی که در نیمه راه شروع به پایین آمدن کند، خواهد داشت. این انرژی پتانسیل هنگام پایین آمدن کاملاً به انرژی جنبشی تبدیل میشود. بنابراین، اگر او از بالای تپه شروع کند، در پایین تپه سریعتر از زمانی خواهد بود که در نیمه راه شروع به پایین آمدن کند.
