کاربرد قانون اول ترمودینامیک در برخی از فرآیندهای ترمودینامیکی (همفشار، همدما، همخور)

30 کاربرد قانون اول ترمودینامیک در برخی از فرآیندهای ترمودینامیکی (هم فشار، هم دما، هم حجم)

۱. نمودار زیر چرخه ترمودینامیکی یک گاز را نشان می‌دهد. کار انجام شده توسط گاز روی فرآیند ABCD برابر است با ...

شناخته شده:

فشار ۱ (P1 ₎ = ۲ × ^۱۰۵ پاسکال

فشار ۲ (P2 ₎ = ۶ × ^۱۰۵ پاسکال

حجم ۲ (V1 ₎ = ۳ متر ^مکعب

حجم ۲ (V2 ₎ = ۳ متر ^مکعب

مورد نظر: کار انجام شده توسط گاز روی فرآیند ABCD (W).

راه حل :

کار انجام شده توسط یک گاز برابر با مساحت ABCD است.

W = (P2 _– P1 ₎ ( _V2 – _V1 )

W = (4 × 10 ^{^5} – 2 × 10^ ⁵ )(3 – 1)

W = (2 × 10^ ⁵ )(2)

W = 4 x ¹⁰⁵ ژول

۲. کار انجام شده توسط گاز در فرآیند ABC برابر است با…

شناخته شده:

فشار ۲ (P1 ₎ = ۶ × ^۱۰۵ پاسکال

فشار ۲ (P2 ₎ = ۶ × ^۱۰۵ پاسکال

حجم ۲ (V ₁ ) = ۶ سانتی‌متر ^مکعب = ۶ × ۱۰ ^{به توان منفی ۶} متر ^مکعب

حجم ۲ (V ₂ ) = ۶ سانتی‌متر ^مکعب = ۶ × ۱۰ ^{به توان منفی ۶} متر ^مکعب

مورد نظر : کار انجام شده توسط گاز در فرآیند ABC

راه حل :

کار انجام شده توسط گاز = مساحت ABC.

W = ½ (P ₂ – P ₁ ) (V ₂ – V ₁ )

W = 1/2 (6 x 10 ⁵ - 3 x 10 ⁵ ) (60 x 10 ^{- 6} - 20 x 10 - ⁶ )

W = 1/2 (3 x 10 ⁵ ) (40 x 10 ^-6 )

W = 1/2 (120 x 10 ^-1 ژول)

W = 1/2 (12 ژول)

W = 6 ژول

۳. نمودار PV برای یک گاز در یک ظرف بسته که در شکل زیر نشان داده شده است. کار انجام شده توسط گاز در کدام فرآیند نشان داده شده است.

راه حل

فرآیند AB و فرآیند DC فرآیندهای ایزوباریک (همفشار) هستند (فشار ثابت نگه داشته می‌شود) . فرآیند AD و فرآیند BC فرآیندهای همفشار (هم‌فشار ) هستند ( حجم تغییر نمی‌کند).

کار توسط گاز انجام شده است، زمانی که گاز منبسط می‌شود (فرآیند DC).

در اینجا 9 مشکل و راه حل مربوط به فرآیند ایزوباریک (فشار ثابت) آورده شده است:

مسئله 1:
گازی با حجم ۳.۰ متر مکعب در فشار ثابت تا حجم ۲.۰ متر مکعب فشرده می‌شود. اگر دمای اولیه ۳۰۰ کلوین باشد، دمای نهایی چقدر است؟

راه حل:
با استفاده از معادله برای یک فرآیند ایزوباریک: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\)، می‌توانیم دمای نهایی را حل کنیم:

\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} \implies T_2 = \frac{2.0 \times 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]

مسئله 2:
کار انجام شده توسط 2 مول گاز را که به صورت ایزوبار از 1 لیتر به 3 لیتر در فشار 2 اتمسفر منبسط می‌شود، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله‌ی کار انجام شده در یک فرآیند ایزوباریک: \( W = P \Delta V \):

\[
W = 2\, \text{atm} \times (3 – 1)\, \text{liters} = 4\, \text{atm}\cdot\text{liters}
\]

مسئله 3:
وقتی 4 مول از یک گاز دو اتمی ایده‌آل در فشار ثابت از 200 کلوین به 300 کلوین گرم می‌شود، تغییر انرژی درونی چقدر است؟

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر انرژی داخلی در فشار ثابت برای یک گاز دو اتمی: \( \Delta U = nC_pdT \)، که در آن \( C_p = \frac{7}{2}R \):

\[
\Delta U = 4 \times \frac{7}{2} \times 8.314 \times (300 – 200) \approx 6990\, \text{J}
\]

مسئله 4:
گرمای اضافه شده در طی یک فرآیند ایزوباریک را هنگامی که 2 مول از یک گاز تک اتمی در دمای 400 کلوین از 5 لیتر به 10 لیتر منبسط می‌شود، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله انتقال حرارت در یک فرآیند ایزوباریک: \( Q = nC_pdT \)، که در آن \( C_p = \frac{5}{2}R \)، و \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):

\[
Q = 2 ضربدر \frac{5}{2} ضربدر 8.314 ضربدر \left(400 ضربدر \frac{10}{5} – 400) = 3316\, \text{J}
\]

مسئله 5:
تغییر آنتالپی 3 مول از یک گاز سه اتمی را که در دمای 200 کلوین از 1 لیتر به 2 لیتر منبسط شده است، تعیین کنید.

راه حل:
با استفاده از فرمول تغییر آنتالپی برای یک فرآیند ایزوباریک: \( \Delta H = nC_pdT \)، که در آن \( C_p = \frac{f}{2}R \) و \( f = 6 \) :

\[
\Delta H = 3 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times \left(200 \times \frac{2}{1} – 200\right) = 4989\, \text{J}
\]

مسئله 6:
حجم نهایی 2 مول از یک گاز را در دمای 300 کلوین و حجم اولیه 5 لیتر، هنگامی که در فشار ثابت تا 500 کلوین گرم می‌شود، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله برای یک فرآیند ایزوباریک:

\[
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{5 \times 500}{300} \approx 8.33\, \text{liters}
\]

مسئله 7:
کار انجام شده توسط یک گاز تک اتمی را هنگامی که در فشار 2 اتمسفر از 6 لیتر به 3 لیتر فشرده می‌شود، بیابید.

راه حل:
با استفاده از معادله کار انجام شده در یک فرآیند ایزوباریک:

\[
W = P \Delta V = 2 \times (3 – 6) = -6\, \text{atm}\cdot\text{liters}
\]

مسئله 8:
یک گاز دو اتمی در دمای 300 کلوین، انبساط ایزوباریک از 3 لیتر به 6 لیتر را تجربه می‌کند. تغییر آنتروپی را بیابید.

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر آنتروپی در یک فرآیند ایزوباریک برای یک گاز دو اتمی، که در آن \( C_p = \frac{7}{2}R \):

\[
\Delta S = nC_p \ln\frac{T_2}{T_1} + nR \ln\frac{V_2}{V_1} = 2 \times \frac{7}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300 \times \frac{6}{3}}{300} + 2 \times 8.314 \times \ln\frac{6}{3} \approx 34.76\, \text{J/K}
\]

مسئله 9:
انتقال حرارت را در طی فشرده‌سازی ایزوباریک ۵ مول از یک گاز سه اتمی از حجم ۱۰ لیتر تا حجم ۵ لیتر در دمای ۵۰۰ کلوین محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله انتقال حرارت در یک فرآیند ایزوباریک، که در آن \( C_p = \frac{f}{2}R \) و \( f = 6 \) :

\[
Q = 5 ضربدر 6^2 ضربدر 8.314 ضربدر (500 ضربدر 5^10 – 500) = -12473, J
\]

این مسائل باید مروری جامع بر مفاهیم مختلف مربوط به فرآیند ایزوباریک ارائه دهند.

در اینجا 9 مشکل و راه حل مربوط به فرآیند ایزوترمال (دمای ثابت) آورده شده است:

 مسئله 1:
مسئله: کار انجام شده توسط ۲ مول از یک گاز ایده‌آل را که به صورت ایزوترمال از ۱ لیتر به ۲ لیتر در دمای ۳۰۰ کلوین منبسط می‌شود، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله کار انجام شده در یک فرآیند ایزوترمال برای یک گاز ایده‌آل:
\[ W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} \]

\[
W = 2 \times 8.314 \times 300 \times \ln\frac{2}{1} \approx 3454\, \text{J}
\]

مسئله 2:
مسئله: گرمای منتقل شده را هنگامی که ۳ مول از یک گاز به صورت ایزوترمال از ۴ لیتر به ۲ لیتر در دمای ۴۰۰ کلوین فشرده می‌شوند، بیابید.

راه حل:
با استفاده از معادله انتقال حرارت در یک فرآیند ایزوترمال: \( Q = W \):

\[
Q = 3 \times 8.314 \times 400 \times \ln\frac{2}{4} \approx -3462\, \text{J}
\]

مسئله 3:
تغییر آنتروپی را هنگامی که 4 مول از یک گاز در دمای 300 کلوین، انبساط همدما از 1 لیتر به 5 لیتر را تجربه می‌کند، تعیین کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر آنتروپی در یک فرآیند ایزوترمال:

\[
\Delta S = nR \ln \frac{V_2}{V_1} = 4 \times 8.314 \times \ln \frac{5}{1} \approx 46.15\, \text{J/K}
\]

مسئله 4:
کار انجام شده را هنگامی که ۱ مول از یک گاز ایده‌آل در دمای ۲۰۰ کلوین به صورت ایزوترمال از حجم ۶ لیتر به حجم ۳ لیتر فشرده می‌شود، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله کار انجام شده در یک فرآیند ایزوترمال:

\[
W = 1 \times 8.314 \times 200 \times \ln\frac{3}{6} \approx -575\, \text{J}
\]

مسئله 5:
تغییر انرژی درونی 3 مول گاز را در حین انبساط همدما از 2 لیتر به 6 لیتر در دمای ثابت تعیین کنید.

راه حل:
برای یک فرآیند ایزوترمال یک گاز ایده‌آل، تغییر انرژی درونی صفر است:

\[
\دلتای U = 0\، \text{J}
\]

مسئله 6:
انتقال حرارت را هنگامی که ۵ مول از یک گاز به صورت همدما از ۳ لیتر به ۶ لیتر در دمای ۲۵۰ کلوین منبسط می‌شود، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله انتقال حرارت در یک فرآیند ایزوترمال:

\[
Q = 5 \times 8.314 \times 250 \times \ln\frac{6}{3} \approx 2879\, \text{J}
\]

مسئله 7:
کار انجام شده توسط ۲ مول از یک گاز در حین فشرده‌سازی همدما از ۴ لیتر به ۲ لیتر در دمای ۱۵۰ کلوین چقدر است؟

راه حل:
با استفاده از معادله کار انجام شده در یک فرآیند ایزوترمال:

\[
W = 2 \times 8.314 \times 150 \times \ln\frac{2}{4} \approx -1151\, \text{J}
\]

مسئله 8:
تغییر آنتروپی را هنگامی که ۳ مول از یک گاز به صورت ایزوترمال از ۵ لیتر به ۱ لیتر در دمای ۵۰۰ کلوین فشرده می‌شود، بیابید.

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر آنتروپی در یک فرآیند ایزوترمال:

\[
\Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln\frac{1}{5} \approx -34.77\, \text{J/K}
\]

مسئله 9:
کار انجام شده توسط ۴ مول از یک گاز ایده‌آل را که به صورت ایزوترمال از ۲ لیتر به ۸ لیتر در دمای ۱۰۰ کلوین منبسط می‌شود، تعیین کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله کار انجام شده در یک فرآیند ایزوترمال:

\[
W = 4 \times 8.314 \times 100 \times \ln\frac{8}{2} \approx 2304\, \text{J}
\]

این مسائل مفاهیم مختلف مربوط به فرآیند ایزوترمال، مانند کار انجام شده، انتقال حرارت و تغییر آنتروپی را پوشش می‌دهند.

در اینجا 9 مشکل و راه حل مربوط به فرآیند ایزوژوریک (حجم ثابت) آورده شده است:

مسئله 1:
تغییر انرژی درونی را برای 3 مول از یک گاز ایده‌آل تک اتمی هنگامی که دما از 200 کلوین به 400 کلوین در حجم ثابت افزایش می‌یابد، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر انرژی داخلی در حجم ثابت: \( \Delta U = nC_v \Delta T \)، که در آن \( C_v = \frac{3}{2}R \):

\[
\Delta U = 3 \times \frac{3}{2} \times 8.314 \times (400 – 200) \approx 3741\, \text{J}
\]

مسئله 2:
انتقال حرارت را برای 2 مول از یک گاز دو اتمی هنگامی که دما از 300 کلوین به 200 کلوین در حجم ثابت کاهش می‌یابد، تعیین کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله انتقال حرارت در حجم ثابت: \( Q = \Delta U = nC_v \Delta T \)، که در آن \( C_v = \frac{5}{2}R \):

\[
Q = 2 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times (200 – 300) \approx -4157\, \text{J}
\]

مسئله 3:
تغییر آنتروپی را برای 4 مول از یک گاز سه اتمی هنگامی که دما از 100 کلوین به 300 کلوین در حجم ثابت افزایش می‌یابد، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر آنتروپی در حجم ثابت، که در آن \( C_v = \frac{f}{2}R \) و \( f = 6 \) :

\[
\Delta S = nC_v \ln\frac{T_2}{T_1} = 4 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300}{100} \approx 115.36\, \text{J/K}
\]

مسئله 4:
کار انجام شده توسط گاز در فرآیند ایزوژوریک چیست؟

راه حل:
از آنجایی که حجم در طول یک فرآیند ایزوژوریک ثابت است، هیچ کاری انجام نمی‌شود:

\[
W = 0\, \text{J}
\]

مسئله 5:
انتقال حرارت را برای 5 مول از یک گاز ایده‌آل تک اتمی هنگامی که از دمای 500 کلوین به 300 کلوین در حجم ثابت سرد می‌شود، تعیین کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله انتقال حرارت در حجم ثابت، که در آن \( C_v = \frac{3}{2}R \):

\[
Q = 5 \times \frac{3}{2} \times 8.314 \times (300 – 500) \approx -6232\, \text{J}
\]

مسئله 6:
تغییر انرژی درونی یک مول از گاز دو اتمی را هنگامی که دما از ۱۵۰ کلوین به ۲۵۰ کلوین در حجم ثابت افزایش می‌یابد، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر انرژی داخلی در حجم ثابت، که در آن \( C_v = \frac{5}{2}R \):

\[
\Delta U = 1 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times (250 – 150) \approx 2079\, \text{J}
\]

مسئله 7:
تغییر آنتروپی را برای 3 مول از یک گاز تک اتمی هنگامی که دما از 600 کلوین به 300 کلوین در حجم ثابت کاهش می‌یابد، تعیین کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر آنتروپی در حجم ثابت، که در آن \( C_v = \frac{3}{2}R \) :

\[
\Delta S = 3 \times \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300}{600} \approx -34.59\, \text{J/K}
\]

مسئله 8:
انتقال حرارت برای 2 مول از یک گاز سه اتمی وقتی دما از 200 کلوین به 400 کلوین در حجم ثابت افزایش می‌یابد، چقدر است؟

راه حل:
با استفاده از معادله انتقال حرارت در حجم ثابت، که در آن \( C_v = \frac{6}{2}R \):

\[
Q = 2 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times (400 – 200) \approx 4986\, \text{J}
\]

مسئله 9:
تغییر انرژی درونی 4 مول از یک گاز ایده‌آل تک اتمی را هنگامی که در حجم ثابت از دمای 250 کلوین به 350 کلوین گرم می‌شود، محاسبه کنید.

راه حل:
با استفاده از معادله تغییر انرژی داخلی در حجم ثابت، که در آن \( C_v = \frac{3}{2}R \):

\[
\Delta U = 4 \times \frac{3}{2} \times 8.314 \times (350 – 250) \approx 4986\, \text{J}
\]

این مسائل جنبه‌های مختلف فرآیند ایزوکوریک، مانند انتقال حرارت، تغییرات انرژی داخلی و آنتروپی، را برای انواع مختلف گازها پوشش می‌دهند.