کار انجام شده با زور
۱.۱ تعریف کار
اگر کتابی را روی سطح میز هل دهید تا کتاب جابجا شود، گفته می‌شود که روی کتاب کار انجام داده‌اید. اگر جسمی به دلیل کشش نیروی گرانش به زمین بیفتد، گفته می‌شود که نیروی گرانش روی جسم کار انجام داده است. برعکس، اگر جسمی را با تمام قدرت تا جایی هل دهید که به شدت عرق کنید، اما جسم اصلاً حرکت نکند، گفته می‌شود که هیچ کاری روی جسم انجام نداده‌اید. در زندگی روزمره، ممکن است مردم بگویند که با هل دادن جسم، کار سختی انجام داده‌اید، اما در فیزیک، روی جسم کار انجام نمی‌دهید زیرا هیچ جابجایی جسم رخ نداده است.
کار روی یک جسم می‌تواند توسط یک نیروی ثابت (که مقدار و جهت آن ثابت است) یا نیروی متغیر (که مقدار و جهت آن متغیر است) انجام شود. یک نمونه از نیرو با مقدار و جهت ثابت، نیروی گرانشی است که وقتی جسم نزدیک سطح زمین است، روی آن اثر می‌گذارد. وقتی جسمی در نزدیکی سطح زمین در حال سقوط آزاد است، مقدار و جهت شتاب سقوط آزاد جسم ثابت است زیرا مقدار و جهت نیروی گرانشی که به جسم شتاب می‌دهد ثابت است. یک نمونه از نیرو با مقدار متغیر (اما با جهت ثابت) نیروی فنر است . مثال دیگر، موشکی است که به فضا پرتاب می‌شود یا به سطح زمین برمی‌گردد. وقتی یک موشک پرتاب می‌شود، مقدار نیروی گرانشی که روی آن کار می‌کند به نسبت معکوس با مربع فاصله از مرکز زمین تغییر می‌کند.
۱.۱.۱ کار انجام شده توسط نیروهای ثابت f
از نظر ریاضی، کار انجام شده توسط یک نیروی ثابت روی یک جسم به صورت حاصلضرب جابجایی در نیرو یا مؤلفه‌ای از نیرو که جهتی مشابه جابجایی جسم دارد، تعریف می‌شود. جسمی را روی سطح یک صفحه صاف و ناهموار با جابجایی به سمت راست ناشی از نیروی رانش (F) در نظر بگیرید.
شکل ۱. (بالا) جهت جابجایی جسم همان نیروی F است. (پایین) جهت جابجایی جسم همان مؤلفه نیروی F در جهت افقی (F cos) است.
کار انجام شده توسط نیروی رانش (F) برابر است با:
W = (F)(s)(cos θ) = Fs (cos 0) = Fs (1)
W = Fs
کار انجام شده توسط مؤلفه نیروی F در جهت افقی (F cos θ) برابر است با:
W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos)(s)(1)
W = Fs cos θ
کار انجام شده توسط نیروی اصطکاک جنبشی (fk ) برابر است با:
W = (f k )(s)(cos 180) = (f k )(s)(-1)
W = – (f k )(s)
کار انجام شده توسط نیروی عمودی (N) برابر است با:
W = (N)(s)(cos 90) = (N)(s)(0) = 0
کار انجام شده توسط وزن (w) برابر است با:
W = (w)(s)(cos 90) = (w)(s)(0) = 0
شرح: W = کار، s = مقدار جابجایی، θ = زاویه بین نیرو و جابجایی.
شکل 2.
(الف) جسم در حال سقوط آزاد است. وزن در همان جهت جابجایی است. (ب) جسم به صورت عمودی به سمت بالا حرکت می‌کند. جهت وزن خلاف جهت جابجایی است.
در مثال قبلی، کار انجام شده توسط وزنه (w) مقدار صفر دارد زیرا جهت وزن جسم عمود بر جهت جابجایی جسم است. باید توجه داشت که اگر جهت وزنه مشابه یا مخالف جهت جابجایی جسم باشد، کار انجام شده توسط وزنه مقدار صفر نخواهد داشت.
کار انجام شده توسط وزن (w) روی جسمی که در حال سقوط آزاد است و در شکل a نشان داده شده است، برابر است با:
W = Fs (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh
کار انجام شده توسط وزن (w) روی جسمی که به صورت عمودی به سمت بالا حرکت می‌کند (شکل b) برابر است با:
W = Fs (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh
شرح: w = وزن (نیوتن)، h = ارتفاع (متر)، m = جرم (کیلوگرم)، g = شتاب گرانشی (متر بر مجذور ثانیه).
طبق توضیحات قبلی، نتایج زیر حاصل می‌شود: اول، اگر جسمی هیچ جابجایی نداشته باشد، نیروی وارد بر جسم هیچ کاری انجام نمی‌دهد. اگر s = 0 و W = 0 باشد؛ دوم، اگر نیرویی زاویه مشخصی نسبت به جابجایی یک جسم تشکیل دهد، تنها مؤلفه‌ای از نیرو که جهت آن با جابجایی جسم یکسان است، روی جسم کار انجام می‌دهد؛ سوم، نیرویی در جهت عمود بر جهت جابجایی یک جسم، زاویه‌ای برابر با 90 درجه تشکیل می‌دهد . Cos 90 = 0؛ چهارم، کار ممکن است علامت مثبت یا منفی داشته باشد. اگر نیرو در همان جهت جابجایی جسم باشد و زاویه‌ای برابر با 0 درجه تشکیل دهد ، روی جسم کار مثبت انجام می‌دهد. برعکس، اگر نیرو جهتی مخالف جهت جابجایی جسم داشته باشد و زاویه‌ای برابر با 180 درجه تشکیل دهد ، روی جسم کار منفی انجام می‌دهد.
شکل ۳. نمودار نیرو (F) – جابجایی (s). کار برابر با مساحت سایه‌دار است.
کار انجام شده توسط نیروی ثابت بر روی یک جسم، هنگامی که جسم در حال جابجایی است، برابر با مساحت سایه‌دار در نمودار نیرو (F) - مکان (s) است.
کار با W (حروف بزرگ) و وزن با w (حروف کوچک) نشان داده می‌شود. واحد کار در سیستم SI، نیوتن ∙ متر (N m) است. این واحد معادل ژول است که به اختصار J نامیده می‌شود.
این نام به افتخار پزشک بریتانیایی قرن نوزدهم ، جیمز پرسکات ژول، انتخاب شده است.
مثال سوال ۱: کار انجام شده توسط نیروی ثابت
جسمی روی سطح بدون اصطکاک در حالت سکون قرار دارد. نیرویی به اندازه 10 نیوتن به جسم وارد می‌شود که زاویه 30 درجه با سطح زمین تشکیل می‌دهد. اگر جسم 1 متر جابجا شود، نیروی وارد بر جسم چقدر کار انجام می‌دهد؟
راه حل:
معلوم: F = 10 N، s = 1 متر
مورد نیاز: کار (W)
W = (F)(s)(cos 30 o ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N m
مثال سوال ۲: کار با نیروی ثابت
یک نارگیل ۰.۲ کیلوگرمی از ارتفاع ۱۰ متری از سطح زمین در حال سقوط آزاد است. اگر شتاب گرانش ۱۰ متر بر مجذور ثانیه باشد ، چه مقدار کار وزنی روی نارگیل انجام می‌شود؟
راه حل:
شناخته شده: m = 0.2 کیلوگرم، h = 10 متر، g = 10 متر بر ثانیه
مورد نیاز: کار (W) بر اساس وزن (w)
W = Fs = wh = mgh = (0.2 kg)(10 m/s2 ) (10 m) = 20 kg m2 /s2 = 20 N m = 20 Joules
۱.۱.۲ کار توسط نیروهای متغیر
یک نمونه از نیروی متغیر، نیروی فنر است. مقدار نیروی فنر دائماً در حال تغییر است. از این رو، کار انجام شده توسط نیروی فنر روی یک جسم را نمی‌توان با استفاده از فرمول کار نیروهای ثابت (W = F s cos θ) محاسبه کرد. اگر فنری کشیده شود، هر چه فنر بیشتر کشیده شود، نیروی کششی بیشتری برای کشش فنر لازم است. و اگر فنر فشرده شود، هر چه فنر بیشتر فشرده شود، نیروی رانش بیشتری لازم است. وقتی فنر فشرده یا کشیده می‌شود، نیروی فنر از 0 (x = 0) به مقدار حداکثر (F = kx) تغییر می‌کند. بنابراین، مقدار نیروی فنر با استفاده از میانگین محاسبه می‌شود. مقدار متوسط نیروی فنر برابر است با:
کار انجام شده توسط نیروی فنر روی یک جسم برابر است با:
W = کار، x = Δx = انحراف فنر (متر)، F = نیروی فنر (نیوتن).
مثال سوال ۳: کار با نیروی متغیر
روی فنری وزنه ای به جرم ۱ کیلوگرم آویزان است، بنابراین فنر ۲ سانتی متر امتداد می یابد. اگر شتاب گرانشی ۱۰ متر بر مجذور ثانیه باشد ، (الف) ثابت فنر (ب) کار انجام شده توسط نیروی فنر روی وزنه را تعیین کنید.
راه حل:
معلوم است: m = 1 kg، g = 10 m/s² ، x = Δx = 2 cm = 0.02 m.
(الف) ثابت فنر
(ب) کار توسط نیروی فنر روی وزنه انجام شده است
W = -1/2 kx ^2 = -1/2 (500)(0.02) ^2 = – (250)(0.0004) = -0.1 ژول
کار انجام شده توسط نیروی فنر روی وزنه مقدار منفی دارد زیرا جهت نیروی فنر خلاف جهت جابجایی وزنه است (نیروی فنر در جهت بالا و وزن در جهت پایین است).
۱.۲ کار خالص یا کار بر اساس نیروی خالص
اگر تنها یک نیرو وجود داشته باشد که هنگام جابجایی جسم، بر آن اثر کند، کار انجام شده توسط نیروی خالص برابر با کار انجام شده توسط نیرو است. به عنوان مثال، اگر جسمی در حال سقوط آزاد باشد و محدودیت هوا نادیده گرفته شود، تنها نیرویی که بر جسم اثر می‌کند، نیروی گرانش است. در این حالت، نیروی خالصی که بر جسم اثر می‌گذارد، نیروی گرانش است (شکل 2 را ببینید).
W خالص = W گرانش
اگر در حین جابجایی جسم، نیروهایی بر آن وارد شوند، کار انجام شده توسط نیروی خالص برابر با کار خالص انجام شده توسط تمام نیروهای وارد بر جسم است (شکل ۱ را ببینید).
W خالص = W 1 + W 2 + W 3 + W 4
کار انجام شده توسط نیروی خالص روی یک جسم را می‌توان با پیدا کردن نیروی خالص ابتدا و سپس ضرب کردن آن در مقدار جابجایی نیز محاسبه کرد.
W = ΣFs
مثال سوال ۴: شبکه
یک جعبه‌ی ساکن روی سطح زمین با نیروی 20 نیوتن هل داده می‌شود تا جعبه 1 متر جابجا شود. اگر نیروی رانش در همان جهت جابجایی جعبه باشد و نیروی اصطکاک جنبشی 2 نیوتن به جعبه وارد شود، مقدار کار خالص انجام شده توسط نیروی خالص روی جعبه را تعیین کنید.
راه حل:
شناخته شده: F = 20 N، f k = 2 N، s = 1 m
W 1 = F s = (20 N)(1 m) = 20 Nm = 20 ژول
W2 = fks s = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 ژول
کار خالص یا کار انجام شده توسط نیروی خالص
W خالص = W 1 – W 2 = 20 J – 2 J = 18 J
مثال سوال ۴) نیروی رانش (F) کار مثبت و نیروی اصطکاک جنبشی (fk ) کار منفی انجام می‌دهد.
